IJ I

Cette même nappe, successivement cou})ée par les trois j)lans coordonnés, donne pour sections les trois ellipses que représentent les formules (139), (iG3), (1O7). Quant auxdeux autres nappes, elles correspondent aux deux valeurs de s'^ déterminées par la formule (174)- Il est bon d'observer qu'on tire des conditions (i5()), (iGo), (i()\)

(.76) (L-Q)(M-R)(N-P) X (L-H)iM-P)(\-0) = G4P^QM<S et de celte dernière formule, combinée avec l'équation (172),

(177) [(L-Q)(M-R)(N-P)-(L-R)(M-P)(N-O)] = o, Donc les conditions (i jG), (iGo), (iG4), (172) entraînent la suivante :

(178) a-Q)(M-R)iN-P) = (L-R)(M-P)(N^Q) = 8PQR.

Remarquons aussi que l'équation (17/1') peut être présentée sous la forme

et (ju'on en tire par conséquent

CKuvres de C — S. U, l. IX. 55

43i APPLICATION DES FORMULES ETC.

Concevons maintenant que l'on désigne par 0, t, x les logarithmes népériens des rapports — ^T""' ^7ô^' ^n ' ^" ^^rte qu'on ait

(181) M-P = 2Pe^ N-Qrrr2Qe'-, L-Ur=2Ue\

Les conditions (i5G), (iGo), (iG\) donneront

(182) N-P = 2Pe-«, L-Q = 2Qe-', M-U = 2t{e-\ On trouvera par suite

et

(i84) N^P(H-2e-0), Lrr:Q(i + 2e-'), M = R ( I + 2 e^^).

Si le système offrait la même élasticité en tous sens autour d'un point quelconque, les formules (i83), (184) devraient s'accorder avec la suivante

(iS5) L:=M = ]N=.3P=3Q = 3R,

et l'on aurait en conséquence

(186) 0=zo, tz=:0, y. = o.

J'ajoute que, si les quantités 0, i, x ont des valeurs numériques différentes de zéro, mais très petites, on trouvera, en considérant ces valeurs comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

En effet, on tirera des formules (i83), (184)

LMN = PQR (i -h aeO) (i + 2e') (i + 2e^)

=:PQR(l + 2e-Q) (l + 2e-')(l ^- 2^-^^),

(188) (1 + 2eO) (i + 2e')(i-h 26"'') "(1 -+- 2e-^)(i -h 2e-') (i -+- 2^-^),

puis on en con(îlura, on prônant los logaritlimos népériens des deux inombres do l'équation (188),

D'ailleurs, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on Ironvora

, l(i-f-2e'*) =rl(3 + 2{}+^^^) = l(3)+l(I+^^--') = l(3)4-|5 + -';^

et par suite on réduira la formule (189) à

Or la formule (191) coïncidi' avec l'équation (187).

De ce qu'on vient de dire, il résulte que si, 0, t, x étant infiniment petits du premier ordre, on pose

; sera une quantité infiniment petite du troisième, pourvu que les coolTicientsL, M, N, P, Q, R vérifient los conditions (i jG), (iGo), (1G4). D'autre part, en admettant que ces conditions soion( remplies, on tirera des formules (181), (182)

( (M-P)(N-Q)(L-K)=8PQHeO+'+'' - SPQReS ^'^•'^ ( (N P)(L-Q)(.M-R) = 8PQRe-0-'-'' = 8PQRe-î,

/ (L-Q)(M- R)(N-P) + (L-R)(M-P)(N~0) -8PQR(eî4-6'-î) -^ir)PQR(i4- |-4-...j,

et par suite, en négligeant les puissances de ç supérieures à la seconde, (195) (L-Q)(M-R)(N-P) + (L-R)(M-P)(N-Q)=i6PQR4-8POR^-\

Donc alors la formule (172) sera sensiblement vérifiée, et la difierence entre ses deux membres sera une quantité infiniment petite du même ordre que ç-, c'est-à-dire du sixième ordre. Donc, en néi<ligeant seulement les infiniment petits du sixième ordre, on pourra remj)Iacer l'équation (171) par le système des deux équations (173) et (174).

Lorsque les quatre conditions (ijG), (iGo), (iG/i ), (172) sont toutes remplies, on tire des formules (i';'2) et (19^1)

et par suite

OU, ce qui revient au même,

Donc alors l'équation (187) se trouve rigoureusement vérifiée.

Puisque, dans le cas où 0, i, x s'évanouissent, les formules (i8'î), ([84) se réduisent à la formule (i8")), il est clair que, pour des valeurs infiniment petites de 0, i, x, les différences

seront elles-mêmes infiniment petites, et les rapports

0' ir R' P' P' Q' M' N' N' L' r:' M

infiniment peu différents de Funité. D'ailleurs, si l'on égale entre elles les valeurs de P, Q, Il ou de L, M, N tirées i» des formules (i8'3\ 2" des formules (18V), on en conclura, en négligeant les infiniment petits du second ordre et ayant égard à la formule (187),

. „, M i + 2eO 3-^2 5 4.

A LA TIIKOHIE DE LA LLMIÈHE. W7

et par suite

(200) M-Nr=|9N, N-L:=^tL, L-M = ^xM,

Los formules (200), (201) montrent que, dans riiypothèse admise, les difFérenees (t9(j) seront infiniment petites du premier ordre. !)e plus, en négligeant les infiniment petits du serond ordre, on (ii-era des formules (9.01 )

et de ces dernières, combinées avec les équations (^i8'3),

Supposons maintenant que, les quantités 0, t, x, et par suite les différences (k)^), étant regardées comme infiniment petites du premier ordre, on cherche l'équation propre à représenter les deux nappes de la surface des ondes qui correspondent aux valeurs de s'- déterminées par la formule (^180). Concevons d'ailleurs que, dans le calcul, on néglige les infiniment petits du second ordre. Si l'on [)ose, pour abréger,

et

la formule (180) deviendra •

et l'équation cherchée se réduira, en vertu de ce qui a été di( plus haut, à la formule ( ")8') ou plutôt à la suivante

hîs valeurs de x, y, z étant déterminées par les formules (^ >; ), qui.

438 API>L1CAÏI0N DES FOIiMULES ETC.

dans 1(^ cas j)résent, donneront

Xz^ ÛC,

i'I j)ai- conséquent

"""Q + li^'