PAK DEUX PLANS QUELCONQUES EN UN POINT DONNÉ D UN CORPS SOLIDE
Nous avons prouvé, tlans le H*" Volume des Exercices (p. /jB) (') (jue, si par un point donné d'un corps solide on mène deux axes qui se coupent à angles droits, la projection sur le premier axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au second sera équivalente à la projection sur ce second axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au premier. Nous allons maintenant faire voir que la même proposition s'étend au cas où les deux axes forment entre eux un angle quelconque. Effectivement, soient OL, OM deux axes ou plutôt deux demi-axes menés arbitrairement par lin j)oint donné d'un corps solide. Rapportons d'ailleurs tous les points du corps à (rois axes rectangulaires des x, r, z; et nommons
les angles formés par les demi-axes OL, OM avec ceux des coordonnées [)ositives.
Soient enfin
/>,, p.^ les pressions ou tensions supportées au point O, cl du côté des demi-axes OL, OM, par des plans perpendiculaires à ces demi-axes ;
(«) OEuvres de Cauchr, S. II, T. VII, p. 67.
o4 SUR LA RELATION QDl EXISTE
}v,, a,, V,; /;., a.,, Vo les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par les pressions ou tensions/?,, /^aî
n, l'angle formé par la direction de la force/?, avec le demi-axe OM;
rij l'angle formé par la direction de la force /-^^ avec le demi-axe OL;
A, F, E; F, B, D; E, D, C les projections algébriques des pressions ou tensions supportées au point 0, et du côté des coordonnées positives par trois plans perpendiculaires aux axes des a-, v, z.
On trouvera
/ Pi cos/.i := A cosai+ F coS|3i-4- E cos-/,,
(i) ' />i cos/jt-i = F cosa, -h B cos^Sj-f- D cosy,,
\ Pi cosv, =r E cosai+ D (•os|3,+ C cosy,,
('^0 coscT,^ cos>.i C0SCZ2 4- cos/jii cos(32+ cosvi cosy.,,
et, ])ar suite,
/ /)iC0S5T,;r: A cosaj coso;.2+ B cos,3i cosP^H- C cosy, cosy, .
1 + I)(cosl3i cosy, 4- cosS., cosy, )
-\- E (cosyi cosa2+ cosyj cosa, )
+ F (ces 3^1 ces 3,+ cosa2 coS|3i).
(kda posé, concevons que l'on vienne à échanger entre eux les demiaxes OL, OM. En vertu de cet échange, le premier membre de l'équation (3) se transformera dans le produit p., coswa, tandis que le second membre restera invariable. On aura, en conséquence,
(4) /?2COsrCT2 = /'i coscTi.
Or les produits /?,coscj,, /?^coscjo représenteront, au signe près, les projections de la force /?, sur la droite OM, et de la force p.^ sur la droite OL. On pourra donc énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Si, par un point donné d'un corps solide, on mène deux axes qui forment entre eux un angle quelconque, la projection sur le premier axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire
EMRK LKS IMiESSlONS OU TENSIONS iriC 5o
au second sera é(jaivalenle à la projection sur ce second axe de la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire au premier.
Il (^s( 1)011 (rohscrvci- (|U(î <Io ce théoriMnc, on de l'équation {')) (|iii le renferme, on peut immédiatement déduire les formules (7). ((S), (10), (1 I ), ([2), (i"^) et (1^1) de l'arlicle préeédenf.
