C. R., T. XVI, p. 783 (17 avril

L'Académie nous a chargés, M. Liouville et moi, de lui rendre compte d’un Mémoire de M. Amyot, qui a pour titre : Nouvelle méthode de génération et de discussion des surfaces du second ordre.

Dans ce Mémoire, l’auteur fait connaître de nouvelles propriétés des surfaces du second degré, autrement appelées surfaces du second ordre, et montre le parti qu’on peut en tirer pour la discussion de ces surfaces mêmes. Les résultats auxquels il est parvenu offrent assez d'intérêt pour qu'il nous paraisse convenable d'entrer à ce sujet dans quelques détails.

On sait que, étant donné dans un plan un point mobile dont les distances à un centre fixe et à un axe fixe conservent toujours entre elles le même rapport, ce point mobile décrit une courbe du second degré, que l’on peut faire coincider avec l’une quelconque des sections coniques. Alors le centre fixe estce qu’on nomme un foyer de la courbe, l’axe en

est une directrice, et le rapport entre les distances du-point mobile au centre et à l’axe fixe est ce qué l’on nomme l’excentricité. Ce rapport est inférieur, égal ou supérieur à l’unité, suivant que la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole. De plus, l’ellipse et l’hyperbole offrent chacune deux foyers et deux directrices situées à égales distances du centre de la courbe. Enfin, comme la distance des deux directrices est évidemment la somme ou la différence des distances qui les séparent d'un point de la courbe, il est clair que le produit de la première distance par l’excentricité se réduit à la somme ou à la différence des rayons vecteurs menés des deux foyers au point dont il s’agit. Donc les deux rayons vecteurs offrent une somme constante dans l’ellipse, une différence constante dans l’hyperbole, et l’on se trouve ainsi ramené à l’une des propriétés les plus anciennement connues de ces deux courbes du second degré.

On sait encore que, étant donnés un point et une courbe du second degré, les tangentes menées à la courbe par l'extrémité d’une sécante qui renferme ce point se coupent sur une certaine droite; que cette droite se nomme la polaire du point, tandis que le point est appelé le pôle de la droite, et que le pôle d'une droite quelconque, située dans le plan d’une section conique, appartient aux polaires de tous les points de cette droite.

Cela posé, il est facile de reconnaître que chaque directrice d’une courbe du second degré n’est autre chose que la polaire du foyer correspondant à cette directrice, et que le point où la directrice rencontre le grand axe ou l’axe réel de la courbe’ se confond précisément avec le pôle de la droite menée par le foyer perpendiculairement à cet axe.

Observons, en outre, que la considération des directrices des courbes du second degré fournit le moyen de résoudre très simplement divers problèmes de Géométrie. On pourra ainsi, par exemple, et sans employer d’autres instruments que la règle et le compas, fixer le point où une droite donnée rencontrera, soit une ellipse ou une hyperbole dont les foyers et le grand axe ou l’axe réel seraient connus, soit même la surface engendrée par la révolution de cette ellipse ou de cette hyper-

bole autour de ce grand axe ou de cet axe réel. On pourra, par suite, résoudre avec la plus grande facilité divers problèmes qui se ramènent aux deux précédents, par exemple le problème du cercle tangent à trois cercles donnés ou de la sphère tangente à quatre autres. D'ailleurs les définitions que l’on donne communément des foyers et des directrices dans les courbes du second degré, c’est-à-dire les définitions que nous avons ci-dessus rappelées, peuvent être, avec les propositions qui s’y rattachent, étendues et généralisées comme il suit. Considérons, dans un plan, un point mobile dont la distance à un centre fixe doive conserver toujours le même rapport, non plus avec la distance de ce point à un axe fixe, mais avec la moyenne géométrique entre les distances de ce point à deux axes distincts. Nommons foyer le centre fixe, directrices les deux axes fixes, et module le rapport constant dont il s’agit. On s’assurera aisément que le point mobile décrira, en général, non plus une seule courbe, mais deux courbes du second degré. En effet, les axes coordonnés étant supposés rectangulaires, la distance du point mobile à chaque directrice se trouvera représentée par la valeur numérique d’une certaine fonction linéaire des coordonnées æ, y du point mobile, c’est-à-dire par cette fonction linéaire prise avec le signe + si le point mobile est situé, par rapport à la directrice, du même côté que l’origine, et avec le signe — dans le cas contraire. Cela posé, le produit des distances du point mobile aux deux directrices par le carré du module se trouvera représenté par la valeur numérique d’une fonction du second degré, c’est-à-dire par cette fonction prise avec le signe + si le point mobile est situé, par rapport aux deux directrices à la fois, du même côté que l’origine ow du côté opposé, prise avec le signe — dans le cas contraire; et comme pour obtenir l'équation de la courbe décrite il suffira d’égaler ce produit à la fonction du second degré qui représentera Le carré de la distance du point mobilé au foyer, il est clair qu’on se trouvera définitivement conduit à une équation du second degré qui renfermera un double signe, et qui par suite représentera en général deux courbes distinctes. Concevons maintenant que l’on veuille faire coïncider l’une de ces

deux courbes avec une section conique de forme déterminée. La question reviendra évidemment à choisir le foyer, les directrices et le module de telle sorte que l'équation obtenue s'accorde avec une équation donnée du second degré entre æ et y. D'ailleurs une équation du second degré entre deux variables renferme généralement six termes dont les coefficients peuvent être quelconques. D’autre part, l’équation de la courbe décrite par le point mobile renfermera sept constantes arbitraires qui pourront être censées représenter les deux coordonnées du foyer, les quatre coordonnées des pieds des deux perpendiculaires abaissées de l’origine sur les deux directrices et le module. Enfin, pour réduire à l’équation donnée celle de la courbe décrite par le point mobile, il suffira de multiplier tous les termes de cette dernière par un certain coefficient qui, en raison de l’usage auquel il sera consacré, peut être appelé coefficient de réduction. Cela posé, la comparaison des termes semblables des deux équations du second degré fournira seize relations distinctes entre le coefficient de réduction et les sept constantes arbitraires. Donc, après avoir choisi à volonté, non seulement le coefficient de réduction, mais en outre l’une des sept constantes arbitraires, on pourra déterminer encore les six autres constantes, de manière à faire coincider l'équation de la courbe décrite avec l'équation donnée. Il est important d’observer que la comparaison des termes du second degré, dans ces deux équations, fournit trois relations entre le module, le coefficient de réduction et les deux angles formés par les directrices avec l’un des axes coordonnés, par exemple avec l'axe des abscisses. Donc le coefficient de réduction étant donné, on peut en déduire immédiatement le module, ainsi que les angles formés par les directrices avec les axes coordonnés. Mais on ne saurait en dire autant des coordonnées du foyer, dont l’une peut être arbitrairement choisie, et, par suite, sans que la courbe décrite soit altérée, le foyer pourra se déplacer arbitrairement sur une courbe nouvelle. Cette courbe nouvelle, qu'il est naturel d'appeler la focale, sera elle-même une courbe du second degré, dont les axes principaux se confondront avec ceux de la courbe décrite par le point mobile. Done, si celle-ci est une

courbe à centre, savoir, une ellipse ou une hyperbole, on pourra en dire autant de la focale qui aura le même centre.

Il est bon d'observer encore que la somme des termes du second degré, dans le carré de la distance du point mobile au foyer et dans le produit de ses distances aux deux directrices, se réduit au carré de la distance qui sépare le point mobile de l’origine, et au produit des distances de ce point mobile à deux axes fixes menés par l’origine parallèlement aux deux directrices, ou du moins à une quantité qui ne peut différer de ce produit que par le signe. Cela posé, concevons que, dans l'équation donnée, le premier membre se compose de tous les termes du second degré, le second terme étant la somme des autres termes. Supposons d’ailleurs qu'après avoir divisé le premier membre par le coefficient de réduction on en retranche le carré de la distance du point mobile à l’origine. Le reste devra représenter, au signe près, le produit du carré du module par les distances du point mobile à deux axes fixes, menés par l’origine parallèlement aux deux directrices. Donc le système de ces deux axes fixes sera représenté par l'équation du second degré que l’on obtiendra en égalant le reste dont il s’agit à zéro. ILest aisé d’en conclure que les deux directrices correspondantes à un même foyer formeront toujours des angles égaux avec chaque axe principal de la courbe décrite par le point mobile. Donc, si ces deux directrices deviennent parallèles l’une à l’autre, chacune d’elles sera perpendiculaire à un axe principal de la courbe. Alors aussi la focale se réduira simplement à cet axe, ou, en d’autres termes, les divers foyers seront situés sur cet axe. Si, la courbe étant une hyperbole, l’axe principal dont il s’agit est celui qui ne rencontre pas la courbe, on pourra prendre pour foyer un point quelconque de cet axe. Mais si le même axe se réduit au grand axe, ou à l’axe réel d’une ellipse, d’une parabole ou d’une hyperbole, alors tout foyer auquel correspondront deux directrices perpendiculaires à cet axe ne pourra ètre que l’un des points situés sur le même axe, soit entre les deux foyers de l’ellipse décrite, soit au delà du foyer ou des foyers de la parabole ou de l’hyperbole.

OEuvres de C. — S.1, t. VII. 42

Jusqu'ici nous avons tacitement supposé que la focale correspondante au coefficient de réduction donné était une courbe réelle, et que les angles formés par les directrices avec un axe principal de la courbe donnée étaient pareillement réels. Alors l'équation du second degré qui représente le système des axes fixes, menés par l’origine parallèlement aux directrices, a nécessairement pour premier membre un trinôme décomposable en deux facteurs réels du premier degré. Mais il peut arriver que la focale devienne imaginaire. Il peut arriver aussi que, la focale étant réelle, le trinôme dont nous venons de parler offre pour termes deux quantités de même signe, et se décompose par suite en deux facteurs linéaires, mais non réels. Dans ce dernier cas, eu égard aux définitions adoptées, les directrices imaginaires correspondent à des foyers que le calcul indiquait comme existants. Mais, pour retrouver des directrices réelles, il suffira de modifier ces définitions et d'admettre que la distance du point mobile au foyer est le produit du module par une longueur dont le carré représente, non plus le produit des distances du point mobile aux deux directrices, mais la demi-somme des carrés de ces distances. Alors, pour obtenir les équations des deux axes menés par l’origine parallèlement aux deux directrices, il suffira de décomposer le trinôme ci-dessus mentionné en deux facteurs imaginaires du premier degré, puis d’égaler à zéro chaeun de ces facteurs, en y remplaçant Ÿ— 1 par l'unité.

On prouve aisément que, dans le cas où les deux directrices correspondantes à un même foyer se coupent, le point d’intersection, considéré comme pôle de la courbe décrite, a pour polaire une droite passant par le foyer. Pour cette raison, nous désignerons désormais sous le nom de pôle le point de rencontre de deux directrices non parallèles et correspondantes à un foyer donné.

Lorsque la courbe donnée se réduit à une circonférence de cercle, les deux directrices se coupent à angles droits, et par suite la demisomme des carrés des distances du point mobile aux deux directrices se réduit à la moitié du carré de la distance comprise entre ce point et le pôle. Donc alors les distances du point mobile au foyer et au pôle

sont entre elles daps un rapport constant, savoir, dans le rapport du module à la racine carrée du nombre 2. Alors aussi, le foyer et le pôle se trouvent situés sur un même diamètre de cercle, et l’on est immédiatement ramené à une proposition connue, savoir, qu’une circonférence de cercle représente la courbe décrite par un point mobile dont les distances à deux points fixes conservent toujours entre elles le même rapport.

Puisque, pour un coefficient de réduction donné, ou, ce qui revient au même, pour un module donné, les deux directrices forment des angles déterminés et invariables avec les axes principaux de la courbe décrite, il est clair que chacun des deux angles compris entre ces directrices restera encore invariable, quelle que soit la position du foyer sur la focale. Si le plus petit de ces deux angles ne se réduit pas à zéro, les deux directrices correspondantes à un même foyer se couperont. Mais leur point d’intersection ou le pôle changera de position avec le foyer, en se déplaçant à son tour sur une certaine courbe du second degré, . distincte de la focale. Cette nouvelle courbe, ou le lieu géométrique des pôles correspondants à un même coefficient de réduction, est, non seulement réelle ou imaginaire en même temps que la focale, mais, de plus, elle est toujours de même espèce que la focale, les deux courbes se réduisant simultanément à deux ellipses, ou à deux paraboles, ou à deux hyperboles.

Considérons maintenant un point de la courbe donnée qui soit situé sur une droite menée par le pôle parallèlement à un axe principal de la courbe. Ce point se trouvera placé à égale distance des deux directrices. Donc le produit de ses distances aux deux directrices et la demi-somme des carrés de ces distances se réduiront à l’une d’elles. Donc les distances de ce point au foyer et au pôle seront entre elles dans un rapport équivalent au produit du module par le sinus de l'angle qu'une directrice forme avec l’axe principal que l’on considère. D'autre part, une droite parallèle à cet axe principal renfermera généralement deux pôles correspondants à deux foyers que l’on peut appeler foyers conjugués. Cela posé, il est clair que la distance de ces

deux pôles sera dans un rapport constant avec la somme des rayons vecteurs menés des deux foyers au point dont il s’agit, et se réduira au produit qu’on obtient quand on multiplie cétte somme par le module et par le sinus de l’angle que forme une directrice avec l’axe principal. Enfin, comme la même droite parallèle à un même axe principal coupe généralement la courbe donnée en deux points, on peut affirmer que les sommes des rayons vecteurs menés des foyers conjugués à l’un et à l’autre de ces deux points seront égales entre elles. Ajoutons que, en chacun de ces points, comme il est aisé de le prouver, les deux rayons vecteurs formeront des angles égaux avec la normale à la courbe donnée.

Pour réduire à une forme très simple l'équation de la courbe donnée, il suffit de faire coincider les axes coordonnés supposés rectangulaires, ou du moins l’axe des abscisses, avec les axes principaux ou avec l’axe principal de cette courbe, et de prendre en même temps pour origine le centre de la courbe, si elle en a un, ou son sommet dans le cas contraire. Alors, si l’on fait passer dans le premier membre de l'équation tous les termes du second degré, ce premier membre renfermera seulement les carrés des coordonnées ou le carré de l’ordonnée, chacun de ces carrés étant multiplié par un coefficient constant, et le second membre étant une quantité constante ou proportionnelle à l’abscisse. Alors aussi, en prenant l'unité pour coefficient de réduction, on obtiendra facilement le module, l'équation de la focale et l'équation du lieu géométrique des pôles à l’aide des règles très simples que nous allons énoncer.

1° Pour obtenir le module, il suffira de retrancher du premier membre de l'équation donnée le carré de la distance du point mobile à l’origine. Les valeurs numériques des coefficients que renfermera le reste ainsi trouvé donneront pour somme le carré du module. Par conséquent, ce carré ne sera autre chose que la somme des valeurs des différences qu'on formera en retranchant successivement de l'unité les coefficients qui affectent les carrés des coordonnées dans le premier membre de l'équation proposée. De plus, pour obtenir les équa-

tions des axes fixes menés par l’origine parallèlement aux directrices, il suffira de décomposer le reste en deux facteurs linéaires et d’égaler ces deux facteurs à zéro, en ayant soin d’y remplacer, s'ils deviennent imaginaires, ÿ— 1 par l'unité.

2° Pour obtenir l'équation de la focale, il suffira, si la courbe donnée est une ellipse ou une hyperbole, de diviser, dans le premier membre de l'équation proposée, le coefficient du carré de chaque coordonnée par l’unité diminuée de ce même coefficient. Si la courbe donnée est une parabole, on devra de plus, dans le second membre de l'équation proposée, soustraire de l’abscisse du point mobile la moitié du coefficient de cette abscisse.

3° Pour obtenir, au lieu de l'équation de la focale, l'équation du lieu géométrique des pôles, il suffira de changer la division et la soustraction ci-dessus indiquées en multiplication et en addition.

En vertu des règles que nous venons d’énoncer, si la courbe proposée est une ellipse réelle ou une hyperbole, la focale et le lieu géométrique des pôles seront encore deux ellipses réelles ou deux hyperboles, à moins que, le second membre de l’équation donnée étant positif, le terme positif ou les termes positifs du premier membre n’offrent des coefficients supérieurs à l'unité.

Si la courbe proposée se transforme en une parabole, la focale et le lieu géométrique des pôles seront toujours deux autres paraboles qui offriront des sommets situés à égales distances du sommet de la première.

Enfin, si, dans l'équation proposée, le carré de l’une des coordonnées a pour coefficient l'unité, les deux directrices correspondantes à un même foyer deviendront parallèles entre elles et perpendiculaires à un même axe principal. Alors aussi, comme on devait s’y attendre, l'équation de la focale se trouvera réduite à l'équation de cet axe principal. Quant au lieu géométrique des pôles, il n’y aura plus lieu de s’en occuper, puisque les pôles ou les points de rencontre des directrices parallèles disparaîtront évidemment.

Il est juste d'observer qu'un Mémoire de M. Chasles, inséré dans le

Tome IT du Journal de M. Liouville, renferme une partie des résultats jusqu'ici énoncés, savoir, ceux qui se rapportent au cas où une courbe du second degré est considérée comme engendrée par un point mobile dont la distance à un point fixe reste proportionnelle à la moyenne géométrique entre les distances de ce point à deux axes fixes.

Si nous nous sommes arrêtés quelques instants à la considération des foyers, des directrices, des pôles et des focales qui correspondent à divers modules pour une courbe donnée du second degré, c’est que, ces notions une fois établies, il devient très facile de saisir et même de démontrer les nouvelles propriétés des surfaces du second ordre auxquelles M. Amyot a été conduit par les recherches consignées dans le Mémoire dont nous avions à rendre compte.

Dans ce Mémoire, l’auteur rappelle d’abord qu’une courbe quelconque du second degré peut être engendrée par un point mobile dont les distances à un foyer et à un axe fixe situés dans le même plan restent proportionnelles l’une à l’autre; puis, en cherchant un mode de génération analogue pour les surfaces du second ordre, il observe que, pour obtenir l'équation la plus générale de ces surfaces, il suffit de poser la question suivante :

Quel est le Leu géométrique décrit dans l'espace par un point mobile dont la distance à un centre fixe offre un carré constamment proportionnel au rectangle construit sur les distances du même point à deux plans fixes donnes.

M. Amyot appelle foyer le centre fixe, plans directeurs les deux plans fixes, axe directeur la droite d’intersection de ces deux plans; puis, en résolvant le problème que nous venons d’énoncer, il parvient à des résultats qui paraissent dignes d’attention et que nous allons indiquer en peu de mots. |

D'abord, il est aisé de reconnaître, avec M. Amyot, qu’au problème énoncé répond une équation du second degré, par conséquent une équation qui représente une surface du second ordre. En effet, les axes coordonnés étant supposés rectangulaires entre eux, la distance du point mobile à chaque plan directeur se trouvera représentée par

la valeur numérique d’une certaine fonction linéaire des coordonnées æ, y, z du point mobile, c’est-à-dire par cette fonction linéaire prise avec le signe +, si le point mobile est situé par rapport au plan directeur du même côté que l’origine, et avec le signe — dans le cas contraire. Cela posé, appelons module le rapport constant qui doit exister entre la distance du point mobile au foyer et la moyenne géométrique entre ses distances aux deux plans directeurs. Le produit de ces dernières distances par le carré du module se trouvera représenté par la valeur numérique d'une certaine fonction du second degré, c’est-à-dire par cette fonction prise avec le signe +, si le point mobile est situé, par rapport aux deux plans directeurs à la fois, du même côté que l’origine ou du côté opposé, prise avec le signe — dans le cas contraire; et, comme pour obtenir l'équation de la surface décrite par le point mobile, il suffira d’égaler ce produit à la fonction du second degré qui représentera le carré de la distance du point mobile au foyer, il est clair qu'on se trouvera définitivement conduit à une équation du second degré. Nous pouvons même ajouter que cette équation, qui renfermera un double signe, représentera en général deux surfaces du second ordre distinctes l’une de l’autre.

Concevons maintenant que l’on veuille faire coincider l’une de ces surfaces avec une surface du second ordre, de forme déterminée. La question reviendra évidemment à choisir le foyer, les plans directeurs et le module, de telle sorte que l'équation obtenue s’accorde avec une équation donnée du second degré entre æ, y, :. D'ailleurs, une équation du second degré entre trois variables renferme généralement dix termes dont les coefficients peuvent être quelconques. D'autre part, l'équation de la surface décrite par le point mobile renfermera dix constantes arbitraires qui pourront être censées représenter les trois coordonnées du foyer, les six coordonnées des pieds des deux perpendiculaires abaissées de l’origine sur les deux plans directeurs et le module. Enfin, pour réduire à l'équation donnée celle de la surface décrite par le point mobile, il suffira de multiplier tous les termes de cette dernière par un certain coeflicient qui, en raison de l'usage

auquel il sera consacré, peut être appelé coefficient de réduction. Cela posé, la comparaison des termes semblables des deux équations du second degré fournira dix relations distinctes entre le coefficient de réduction et les dix constantes arbitraires. Il est bon d'observer que la comparaison des termes du second degré, renfermés dans l’une et l’autre équation, fournira en particulier six relations entre le coefficient de réduction, le module et les quatre angles formés par les deux plans directeurs avec deux des plans coordonnés. Donc, pour la surface donnée du second ordre, ce coefficient, ce module et ces quatre angles se trouveront complètement déterminés. Mais on ne pourra en dire autant des coordonnées du foyer, dont l’une pourra être arbitrairement choisie, et par suite, sans que la surface décrite soit altérée, le foyer pourra se déplacer sur une certaine courbe. M. Amyot prouve que cette courbe, qu’il nomme avec raison la focale, est toujours renfermée dans un des plans principaux de la surface du second ordre. Il observe qu'à chaque position du foyer correspond une position particulière de l’axe directeur, et nomme synfocale la courbe décrite dans le plan de la focale par le pied de cet axe. I fait voir que la focale et la synfocale sont toujours deux sections de même espèce, qui offrent le même axe principal quand elles se réduisent à deux paraboles et, dans le cas contraire, les mêmes axes principaux, par conséquent le même centre; cet axe, ou ces axes, étant aussi l’axe principal ou les axes principaux de la section faite par le plan des deux courbes dans la surface du second ordre. Il prouve enfin que les deux plans directeurs, correspondants à chaque foyer, sont perpendiculaires au plan de la focale, et forment avec les axes principaux-.de cette courbe des angles égaux; puis il discute les équations des focales et des synfocales que peuvent renfermer les divers plans principaux d’une surface du: second ordre, et il arrive en particulier aux conclusions suivantes :

La focale et la synfocale sont généralement réelles sur deux plans principaux d’une surface quelconque de second degré, et toujours imaginaires sur Île troisième pour les surfaces qui offrent trois plans

principaux.

La détermination et la construction de la focale peuvent s'effectuer facilement dans chaque cas. Supposons, pour fixer les idées, que la surface donnée soit un ellipsoide. Alors, sur le plan du plus grand et du plus petit axe, la focale sera un hyperbole qui aura pour foyers et pour sommets les foyers des deux ellipses principales, dont l’axe commun coincidera en direction avec l’axe même de la focale. Quant à la synfocale, elle aura pour asymptotes deux droites qui formeront avec les asymptotes de la focale un système de diamètres conjugués appartenant à l’une des deux ellipses, savoir : à l’ellipse située dans leur plan, et elle aura pour sommets, non plus les deux foyers de l’autre ellipse, mais les deux plans correspondants à ces foyers.

Étant données la focale et la synfocale que renferme un plan principal d’une surface du second ordre, si l’on coupe à la fois la synfocale et la surface par un nouveau plan parallèle à un autre plan principal, la section faite dans la surface ne pourra offrir un centre, en se confondant avec une ellipse ou une hyperbole, sans que la synfocale offre le même centre. Donc alors le plan sécant rencontrera la synfocale en deux points auxquels correspondront deux foyers distincts, que l’on peut nommer avec M. Amyot foyers conjugués. Or, comme l’auteur le démontre, l’ellipse ou l’hyperbole qui représentera la section faite dans la surface du second degré, et les deux foyers conjugués, jouiront des deux propriétés suivantes :

1° Les deux rayons vecteurs, menés des deux foyers conjugués à un point de l’ellipse ou de l’hyperbole, offriront une somme ou-une différence constante;

2° Ces deux rayons vecteurs formeront des angles égaux avec la normale menée par le même point à la surface du second ordre.

La seconde de ces propriétés fournit évidemment un moyen général et fort simple de construire en un point donné une normale à une surface quelconque du second ordre.

Une remarque importante à faire, c’est que les plans directeurs, tels qu'ils ont été définis par M. Amyot, peuvent devenir imaginaires, lors même que la focale et la synfocale sont réelles. Ainsi en particulier,

CEuvres de C.— S.1,t. VII. +43

suivant l’auteur du Mémoire, les plans directeurs deviennent imaginaires pour toutes les surfaces susceptibles d’être engendrées par une ligne droite, et, pour les autres surfaces, ces plans ne sont réels que relativement à l’une des deux focales.

Les calculs par lesquels M. Amyot à été conduit aux diverses propositions énoncées dans son Mémoire, et spécialement à celles que nous avons rappelées, sont exacts et assez simples. Toutefois on peut les simplifier encore, les généraliser même, et arriver à des propositions nouvelles à l’aide des considérations suivantes :

Considérons, dans l’espace, la surface décrite par un point mobile dont la distance à un centre fixe est dans un rapport constant, ou bien avec la moyenne géométrique entre ses distances à deux plans fixes, ou bien encore avec la racine carrée de la demi-somme des carrés de ces distances. Nommons, dans l’un et l’autre cas, foyer le centre fixe, plans directeurs les deux plans fixes, et module le rapport constant dont il s'agit. La surface engendrée par le point mobile sera évidemment une surface du second ordre, ou plutôt le système de deux semblables surfaces. D'ailleurs on peut supposer, ou que les deux plans fixes soient parallèles entre eux, ou qu’ils se coupent suivant un certain axe : dans la première supposition, la surface engendrée sera évidemment une surface de révolution, l'axe de révolution étant la perpendiculaire menée par le foyer aux deux plans directeurs. Il y a plus : si, par l'axe de révolution on fait passer un plan quelconque, la section méridienne suivant laquelle ce plan coupera la surface, et les deux droites suivant lesquelles il coupera les plans directeurs, seront une courbe du second degré et les deux directrices de cette courbe correspondantes au foyer et au module donné.

Lorsque les deux plans directeurs, au lieu d’être parallèles entre eux, se couperont suivant un certain axe, le plan mené par le foyer perpendiculairement à cet axe partagera évidemment la surface du second degré en deux parties symétriques, et sera par suite un plan principal de cette surface. Il y a plus : la section faite dans la surface par ce plan, les deux droites suivant lesquelles il coupera les plans

directeurs, et le point d’intersection de ces deux droites, seront évidemment une section principale de la surface, deux directrices de cette section principale correspondantes au foyer et au module donné, enfin un pôle de la même section correspondant au même foyer. Ce n’est pas tout : si l’on conçoit que ce pôle devienne le sommet d’un cône circonscrit à la surface du second degré, le plan de la courbe suivant laquelle le cône touchera la surface, c’est-à-dire le plan polaire correspondant au pôle dont il s’agit, renfermera toujours le foyer. Pour cette raison, le pôle de la section principale ci-dessus mentionnée pourra être aussi appelé un péle de la surface correspondant au foyer donné.

Concevons maintenant qu'il s'agisse de trouver, non plus la surface correspondante à un foyer, à un module et à des plans directeurs donnés, mais les foyers, les pôles et les plans directeurs correspondants à une surface donnée. Alors on déduira immédiatement des définitions que nous avons adoptées, et des observations que nous venons d'y joindre, les conclusions suivantes :

1° Les foyers et les pôles de la surface donnée du second ordre seront en même temps les foyers et les pôles d’une section faite dans cette surface par l’un des plans principaux, ou, ce qui revient au même, les foyers et les pôles d’une section principale, pour un module égal au module de la surface. Par conséquent les focales et les synfocales de la surface se confondront avec les focales qui renfermeront les foyers des sections principales correspondantes à ce module, et avec les lieux géométriques des plans de ces mêmes sections.

2° Pour un foyer donné dans le plan d’une section principale, les plans directeurs se confondront avec les plans menés par les deux directrices de cette section perpendiculairement à son plan. Par suite, quand la focale sera réelle, les plans directeurs seront eux-mêmes toujours réels, ce qui n’avait pas lieu quand on adoptait exelusivement dans tous les cas les définitions données par M. Amyot.

3° L'une des propriétés les plus remarquables des sections faites dans la surface par des plans parallèles aux plans principaux, cette

propriété qui consiste en ce que les rayons vecteurs menés de deux foyers conjugués aux différents points d’une semblable section offrent une somme ou une différence constante, sera, dans tous les cas, une conséquence immédiate des définitions mêmes que nous avons adoptées, et cette propriété se démontrera synthétiquement à l’aide des seuls raisonnements dont nous avons fait usage pour établir les propositions qui se rapportent aux foyers conjugués des courbes du second degré.

4° Si la surface donnée se réduit à une surface de révolution qui ait un centre, c’est-à-dire à un ellipsoide ou à un hyperboloïde de révolution, et si de plus le foyer donné est situé dans Le plan principal mené par le centre perpendiculairement à l'axe de révolution, les deux plans directeurs se couperont à angles droits. Par suite, les distances d’un point de la surface au foyer et à l'axe directeur seront entre elles dans un rapport constant dont le carré sera la moitié du carré du module. Cette dernière proposition se déduit encore immédiatement de la proposition analogue qui se rapporte à une circonférence de cercle.

M. Amyot observe avec raison que, chercher un foyer d’une surface du second ordre, c’est tout simplement chercher un point tel que le carré de sa distance à un point quelconque de la surface soit décomposable en deux facteurs réels ou imaginaires, mais représentés par des fonctions linéaires des coordonnées de ce dernier point. Il aurait pu ajouter qu’étant donnée une équation du second degré dont le dernier membre se réduit à zéro, avec un foyer d’une surface représentée par cette équation, il suffira toujours de retrancher du premier membre, considéré comme fonction des coordonnées +, y, 3 d’un point mobile, le produit du coefficient de réduction par le carré de la distance du point mobile au foyer donné, pour obtenir un reste décomposable en deux facteurs Ænéaires, réels ou imaginaires. Observons encore que, pour trouver les équations des deux plans directeurs correspondants au foyer donné, il suffira d’égaler ces deux facteurs linéaires à zéro, après y avoir remplacé, s’ils deviennent imaginaires, V— 1 par l'unité.

Si le premier membre de l'équation donnée renferme seulement les termes du second degré, les autres termes étant tous réunis dans le second membre, alors, en retranghant du premier membre divisé par le coefficient de réduction le carré de la distance du point mobile à l’origine, on obtiendra un reste qui représentera, au signe près, le produit du carré du module par les distances du point mobile à deux plans fixes, menés par l’origine parallèlement aux plans directeurs, ou par la demi-somme des carrés de ces distances. Donc, pour trouver les équations de ces deux plans fixes, il suffira de décomposer le reste obtenu en deux facteurs linéaires et d’égaler ces facteurs à zéro, en

ayant soin d’y remplacer, quand ils deviendront imaginaires, ÿ— 1 par l'unité.

Pour réduire à une forme très simple l'équation de la surface donnée, il suffit, comme l’on sait, de faire coïncider les trois plans coordonnés supposés rectangulaires, ou du moins les deux plans qui renferment l'axe des æ, avec les plans principaux de la surface, et de prendre en même temps pour origine le centre de la surface, si elle en a un, ou son sommet, dans le cas contraire. Alors, si l’on fait passer dans le premier membre de l'équation tous les termes du second degré, ce

premier terme renfermera seulement les carrés des trois coordonnées æ, y, 5, où des deux coordonnées y, 3, multipliés chacun par un coefficient constant, et le second membre sera une quantité constante ou proportionnelle à l’abscisse x. D'ailleurs, comme en retranchant de ce premier membre le coefficient de réduction multiplié par la somme de ces carrés on devra faire disparaitre au moins l’un d’entre eux, le coefficient de réduction devra toujours se réduire à l’un des trois coefficients par lesquels ces carrés se trouvent multipliés dans le premier membre.

Il importe d'observer qu’on peut toujours supposer, non seulement l'équation de la surface du second ordre réduite à la forme très simple dont nous venons de parler, mais de plus le coefficient du carré de l’ordonnée z réduit, dans cette même équation, à l’unité. Or, dans cette supposition, pour tout foyer compris dans le plan des +, y, le coefli-

cient de réduction sera évidemment l’unité. Donc alors, pour obtenir la focale et la synfocale de lx surface, renfermées dans le plan principal des æ, y, il suffira de chercher la focale et le lieu géométrique des pôles de la section principale faite dans la surface par ce plan, en prenant d’ailleurs pour coefficient de réduction l'unité même. D'ailleurs ce dernier problème est précisément celui que nous avons déjà résolu en nous occupant des foyers et des pôles des courbes du second degré. Done, à l’aide des règles que nous avons tracées, on pourra déterminer la focale et la synfocale renfermées dans le plan des:æ, y, qui peut être l’un quelconque des plans principaux de la surface donnée. De cette seule observation l’on déduit immédiatement divers théorèmes que M. Amyot a énoncés, et qui sont relatifs aux foyers, aux pôles, aux focales et aux synfocales d’une surface quelconque du second ordre.

Nous avons vu que, dans le cas où l'équation d’une surface du second ordre se trouve réduite à sa forme la plus simple et, par suite, renferme seulement trois termes du second degré respectivement proportionnels aux carrés des trois coordonnées, avec un terme constant ou proportionnel à l’abscisse, les coefficients de ces carrés sont précisément les trois valeurs du coefficient de réduction. D'autre part, étant donnée l'équation d’une surface du second ordre, un changement de coordonnées rectangulaires, produit par une rotation des axes autour de l’origine, ne saurait altérer ni les valeurs du module et du coeffcient de réduction, ni la somme des carrés des coordonnées d’un point mobile. Cela posé, on peut évidemment, de ce qui a été dit ci-dessus, conclure, avec M. Amyot, que, pour une surface représentée par une équation donnée du second degré, les trois valeurs du coefficient de réduction sont les trois racines de l'équation auxiliaire à laquelle on est conduit lorsque, sans déplacer l’origine, on fait tourner les axes de manière à chasser de l'équation de la surface les produits des coordonnées.

Au reste, comme l’a fait voir M. Amyot, on peut établir la proposition que nous venons de rappeler, par une démonstration directe, fondée sur un théorème d'Analyse qui mérite d’être remarqué. Ce

théorème, réduit à sa plus simple expression, se trouve renfermé luimême dans un autre théorème plus général qu’on peut énoncer comme il suit :

Tuéorème 1. — Étant données n quantités variables, st l’on forme n fractions dont chaque terme se réduise à une fonction linéaire de ces variables et s'évanoutsse avec elle, ces fractions seront généralemen+s lices

les unes aux autres par une seule équation rationnelle.

Pour démontrer ce théorème, il suffit d'observer que, si l’on représente chaque fraction par une lettre, les z fractions se trouveront liées aux À quantités variables par # équations que l’on pourra rendre linéaires par rapport à ces mêmes quantités. Or ces équations, divisées par l'une des quantités dont il s’agit, ne renfermeront plus que les A fractions et n — 1 rapports variables. En éliminant ces rapports on obtiendra une seule relation entre les fractions diverses.

Le théorème que nous venons de rappeler comprend évidemment le suivant :

TaéorèmE [. — Plusieurs quantités variables étant rangées dans un certain ordre sur une circonférence de cercle, st, aprés avoir divise la différence de deux variables consécutives par leur somme, on ajoute la fraclion ainsi obtenue à l'unité, le produit des sommes de cette espèce ne

vartera pas lorsque dans ce produit chaque fraction changera de signe.

Pour démontrer ce dernier théorème, il suffit d'exprimer à l’aide des diverses fractions les rapports entre les diverses variables prises consécutivement et deux à deux, puis d'observer que le produit de tous ces rapports se réduit à l'unité.

En supposant les variables données réduites à trois, on déduit aisément du théorème précédent l’équation du troisième degré qui a pour racines les trois valeurs du coefficient de réduction correspondantes à une surface donnée du second ordre, et l’on reconnaît, avec M. Amyot : 1° que cette équation du troisième degré se confond avec l'équation auxiliaire dont nous avons parlé; 2° qu’elle se présente sous la forme qui lui a été donnée par M. Jacobi et qui met en évidence la réalité

des trois racines. Ajoutons qu’à chaque racine de l’équation auxiliaire correspond généralement un plan principal de la surface, et que dans l'équation de ce plan le coefficient de chaque terme peut être exprimé, comme l’a remarqué M. Amyot, en fonction rationnelle de cette racine.

M, Amyot termine son Mémoire en appliquant les principes qu'il avait établis à la discussion des surfaces du second ordre, que représentent des équations données.

Nous en avons dit assez pour faire sentir l'intérêt qui s'attache aux recherches de M. Amyot sur les surfaces du second ordre. Nous pensons que des remerciments sont dus à l’auteur pour la communication du Mémoire où elles se trouvent exposées, et que ce Mémoire est digne d'être approuvé par l'Académie.

Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.

Nota. — À ce Rapport se trouvent jointes quelques Notes que le rapporteur a composées, dans le dessein de mieux faire saisir l’objet de quelques réflexions consignées dans le Rapport, et l'extension qui peut être donnée à quelques-uns des théorèmes établis par-M. Amyot.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Notes annexées au Rapport sur le Mémoire de M. Amyot.