UE

(1) Barr) re) 4 (sm 2}, par conséquent (2) | = (œ— x) + (y — y} + (5 — 2} Soient maintenant k la longueur de la perpendiculaire OA abaissée de l'origine O sur un

‘ plan fixe;

«, 6, y les cosinus des angles formés par la droite OA avec les demiaxes des coordonnées positives ;

6, n, € les coordonnées d’un point situé dans le plan fixe ;

p le rayon vecteur mené du point mobile (x, y, =) au point fixe CE 6):

à l'angle aigu ou obtus formé par ce rayon vecteur avec la droite OA.

Les cosinus des angles formés par ce même rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives seront

CE NY C3 rue CNE a mure.

et l’on aura, par suite,

de ne enr ni p p (3) PCOSÈ— a(E—x)+6(n—y)+y(E— 3).

Si le point (x, y, z) devient l’origine même, alors, l'angle à étant aigu, le produit p cosè sera positif et se réduira évidemment à la longueur désignée par #. On aura donc

(4) k — oË + En + y, OEuvres de C.— S.1, 1. VII. 44

en sorte que la formule (3) pourra être réduite à (5) pcosd—k—ax—6y—7yz.

Soit maintenant « la distance du point (æ,y, 3) au plan fixe. On

aura LE CUS

et, par suite, (6) r=+t(k— ax —67y—7yz),

le double signe + devant être réduit au signe + ou au signe —, suivant que l'angle à sera aigu ou obtus, c’est-à-dire, en d’autres termes, suivant que le point (æ, y, z) se trouvera situé, par rapport au plan fixe, du même côté que l’origine ou du côté opposé.

Si le point (æ, y, 3) appartient au plan fixe, la distance

t—= + p cosô

s'évanouira. Done, en vertu des formules (3) et (6), l'équation du

plan fixe sera

(7) a(E—æ)+8(n—y)+y(f—-:)=0 ou

(8) axm+6y+yz—=kK.

Sile point (Ë, n, €) se confond avec le pied de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan fixe, on aura

k=(PEar 0), et l'équation (7) deviendra (9) E(E—x)+n(n—7)+6(f—:)=0.

Telle est la forme très simple sous laquelle se présente l'équation d’un plan lorsque les constantes renfermées dans cette équation se ré-

duisent aux trois coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur ce plan.

Si l’on transformait les coordonnées rectangulaires en coordonnées obliques, les degrés des fonctions de æ, y, 3 renfermées dans les seconds membres des équations (2) et (6) ne varieraient pas, et la valeur de « resterait toujours affectée du double signe +. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

TaéorÈme I. — Sr l’on fait usage des coordonnées rectilignes x, y, z, le carré de la distance d’un point mobile (x, y, z) à un centre fixe sera représenté par une fonction du second degré des coordonnées x, y, z. De plus, la distance d'un point mobile à un plan fixe sera représentée par la valeur numérique d'une fonction linéaire des coordonnées, savoir, par celte fonction prise avec le signe + si le point mobile est situé par rapport au plan fixe du même côté que l'origine, et prise avec le signe — dans le cas contraire.

En supposant le point mobile renfermé dans un plan, on verrait le théorème qui précède se réduire au suivant :

TuéorÈme IT. — Si, dans un plan, on fait usage de coordonnées reculignes x, y, le carré de la distance d'un point mobile ( x, y) à un centre fixe sera représenté par une fonction du second degré des coordonnées x, y. De plus, la distance du point mobile à un axe fixe sera représentée par la valeur numérique d'une fonction linéaire des coordonnées, savoir, par cette fonction prise avec le signe + si le point mobile est situé par rapport à l'axe fixe du même côté que l’origine, et prise avec le signe — dans le cas contraire.

Observons encore que l'équation (2) entraine immédiatement la proposition suivante :

TuéorÈME IT. — Les coordonnées étant supposées rectilignes dans un plan ou dans l'espace, la différence entre les carrés des distances d’un point mobile à deux centres fixes sera toujours représentée par une fonction linéatre des coordonnees de ce point. |