LE S

on réduira chacune des équations précédentes à (3) rt 0,

il est clair que, pour chacun des points situés sur la ligne ou sur la surface du second degré, à égales distances des directrices ou des plans directeurs, le rapport des longueurs r, « sera précisément égal au module.

Pour que la ligne ou surface décrite par le point mobile se réduise à une ligne ou à une surface du second ordre, représentée par une équa-

tion donnée

dans laquelle S désignerait une fonction des coordonnées de ce point entière et du second degré, il sera nécessaire et il suffira que cette fonction S se réduise au produit de la différence

r?— Üix, où r°— ur t?)

par un facteur constant s que nous nommerons coefficient de réduction, et que l’on ait en conséquence, pour des valeurs quelconques des

coordonnées, (5) S—s(r?— Ou) ou 9 g) 1 (6) sfr een]

Si le point mobile se meut dans l’espace, alors, en nommant

x, y, Z les coordonnées du foyer;

k, k, les longueurs des perpendiculaires abaissées de l’origine sur les plans directeurs ; Û

2,6, 7302, 6, y, les cosinus des angles formés par ces deux perpendiculaires avec les demi-axes des coordonnées positives;

on aura, non seulement

(7) (mes A CHAT + (5 — 2)

et

(8) v=+(az+68y+ys—E), t=TF(arz+6é,y+7y,3—Kk,),

mais encore

(9) a+ + y — rx, +6? + y} —I.

Alors aussi, l'équation (4) pouvant être présentée sous la forme

(io) Ax+By°+Cz3+ 2Dyz+2Ezx +2Fzxzy+2Gx+2Hy+21:=K, on pourra supposer

(TES Aat+By+ Cs+92Dy5+2Ezx+2Fzy+2Gxr+2Hy+21:—K; et, comme cette valeur de S renferme dix termes distincts, l'équa-

tion (5) ou (6) établira dix relations distinctes entre les treize constantes arbitraires

S, 0, CHEN TRS À k, k , x, 6, Ÿ» Œ,s 6,, PE

qui pourront être réduites à onze, eu égard aux formules (9). Parmi ces relations, celles qui proviendront de la comparaison des termes semblables du second degré seront évidemment celles que l’on obtiendrait en substituant dans les formules (5), (6) les valeurs de $, r°, «et x, fournies, non plus par les équations (7), (8), (11), mais par les suivantes :

(12) = a+ y? + 2, (13) v=+(axz+6y+ys), = (ax +6,y+ 7,2) (14) S—Az+By?+Cz+92Dysz+2Ezx+2Fzy.

Par conséquent six relations distinctes, que l’on pourra joindre aux

formules (9), lieront entre elles les huit constantes arbitraires $, 0, ds 65: Y a, :65:Y;

dont chacune se trouvera, par suite, complètement déterminée. Les

quatre autres relations, qui lieront l'une à l’autre les cinq constantes arbitraires PRES LE EE,

ne suffiront pas pour déterminer complètement celles-ci, dont l’une, x par exemple, pourra être choisie arbitrairement. Done, pour une surface donnée du second ordre, le coefficient de réduction, le module et les angles formés par les plans directeurs avec les plans coordonnés ont des valeurs déterminées, mais on ne saurait en dire autant du foyer, qui peut se déplacer arbitrairement sur une ou plusieurs courbes. Il est naturel de donner à ces courbes le nom de focales, et à la ligne d'intersection de deux plans directeurs, lorsque ces deux plans se coupent, le nom d’axe directeur. Cela posé, à chaque point d’une focale, considéré comme foyer de la surface donnée, correspondra généralement un certain système de plans directeurs, et, si ces deux plans se coupent, un certain axe directeur.

Si le point mobile se meut, non plus dans l’espace, mais sur un plan donné, alors, ce plan étant pris pour plan des æ, y, les équations (5), (8), (9), (ro), (11) se trouvent remplacées par d’autres équations de la forme

(16) t=+(ar +6y—Kk), 1,—TF(a,xz+6,y—k,), (19) a+ ét p, a+ 68?—1,

(18) Ax°+ By+2Fxy +2Gx+2Hy=K, (19) ÿ S— Az + By +2Fxy +2Gx+2Hy—K,

dans lesquelles x, y représenteront les coordonnées du foyer, #, # les longueurs des perpendiculaires abaissées de l’origine sur les deux directrices, et x, 6, &,, 6, les cosinus des angles formés par ces perpendiculaires avec les demi-axes des coordonnées positives. Alors aussi, comme la valeur de S renfermera six termes seulement, l'équation (5) ou (6) établira six relations entre les dix constantes arbitraires

qui pourront être réduites à huit, eu égard aux formules (17). Parmi ces relations, celles qui proviendront de la comparaison des termes semblables du second degré seront évidemment celles qu’on obtien-

drait en substituant dans les formules (5), (6) les valeurs de Do ol. +

fournies, non plus par les équations (15), (16), (19), mais par les sui-

vantes :

(21) t=+(ax+6y), :—=+(axz+é,y), (22) S—Az +By+2Fzxry.

Par conséquent trois relations distinctes, que l’on pourra joindre aux formules (17), lieront entre elles les six constantes arbitraires

dont l’une, s par exemple, restera complètement indéterminée. Mais, pour une courbe donnée et pour une valeur donnée du coefficient de réduction s, le module et les angles formés par les directrices avec les axes coordonnés auront des valeurs déterminées. Quant aux trois autres relations, qui lieront l’une à l’autre les quatre constantes arbitraires L CS 7 RE

elles ne sufliront pas, même après la détermination dont nous venons de parler, pour fixer complètement les valeurs de ces quatre constantes, dont l’une, x par exemple, pourra être choisit arbitrairement. Donc, pour une courbe donnée du second ordre et pour un coefficient de réduction donné, le foyer pourra se déplacer arbitrairement sur une ou plusieurs courbes qu’il est naturel d'appeler focales. D'ailleurs, à chaque point d’une focale, considéré comme foyer de la courbe donnée, correspondra généralement un système de directrices, dont le point d’intersection, si elles se coupent, se déplacera en même temps que le foyer.

Revenons maintenant à la surface du second degré représentée par l'équation (4), dans laquelle on suppose la valeur de S déterminée par la formule (5) ou (6), jointe aux équations (7) et (8). Si l’on prend pour plan des +, y un plan mené par le foyer, perpendiculairement aux plans directeurs, on aura, dans les équations (7), (8),

Par suite, l'équation (7) donnera simplement ES DANS DRM NUS À DL

et, comme +, «, deviendront indépendantes de z, S, considéré comme fonction de z, renfermera seulement le carré de =. Done, le plan des æ, y partagera la surface du second degré en deux parties symétriques, comme on pouvait aisément le prévoir, et sera ce qu'on nomme un plan principal de cette surface. Donc, pour une surface quelconque du second ordre, chaque focale est nécessairement une courbe plane renfermée dans un plan principal, et à un point d’une focale considéré comme foyer de la surface correspondent deux plans directeurs perpendiculaires à ce plan principal.

Si le point mobile se meut dans un plan et décrit, en conséquence, non plus une surface du second ordre, mais une section conique, alors aux formules (7), (8) on devra substituer les formules (15), (16). Si d’ailleurs les deux directrices deviennent parallèles l’une à l’autre, et si l’on prend alors pour axe des x la droite menée par le foyer perpendiculairement à chacune d’elles, on aura, dans les équations (15)

et (16),

Les, 60, Geo:

Par suite, l'équation (15) donnera simplement M=(z—x) +y;

et, comme +, , deviendront indépendantes de y, S, considéré comme

fonction de y, renfermera seulement le carré de y. Donc l’axe des x

partagera la courbe du second degré en deux parties symétriques, OEuvres de C. — S. 1, t. VII. 46

comme on pouvait aisément le prévoir, et sera un axe prinéipal de cette courbe. Done, lorsque les deux directrices correspondantes à un même foyer d’une section conique sont parallèles l’une à l’autre, on peut affirmer que ce foyer est situé sur un axe principal, et que les deux directrices sont perpendiculaires à cet axe.

Concevons maintenant qu’à un foyer donné d’une surface du second ordre ou d’une section conique correspondent deux plans directeurs ou deux directrices qui se coupent. Désignons d’ailleurs par £, n, £, lorsque le point mobile se meut dans l’espace, et par £, n, lorsqu'il se meut dans un plan, les coordonnées d’un point quelconque de l'axe directeur, c’est-à-dire de l'axe suivant lequel se coupent les plans directeurs, ou du point unique commun aux deux directrices. En vertu de la formule (4) de la Note première, on pourra, si le mobile se meut dans l’espace, joindre aux équations (8) les deux suivantes

(23) k —0ë + En + y6, k,= a,Ë + 6,n + y,£, et, par conséquent, les équations (8) donneront

ri=a(xz—Ë)+6(y—n)+7y(z—£),

Fru=a(xz-Et)+6,(7-—n)+7,(s—E6).

Cela posé, si l’on représente par 08 le second membre de l'équation (1) ou (2), c’est-à-dire si Pon prend

RE, oubien AR—!(:?24+:}), l’équation (1) ou (2), réduite à (25) r°= OR,

offrira pour premier et pour second membre deux fonctions entières de æ, y, 3 qui seront homogènes et du second degré, l’une par rapport

aux trois binômes

l’autre par rapport aux trois binômes

TE, Y--n, 2—$%;

et l’on aura, en vertu du théorème des fonctions homogènes, (26) (æ—E) DR + (y —n)D,AR + (3: —E6) DR = 28. D'ailleurs, si le point (£, n, ©) est pris pour pôle de la surface repré-

sentée par l'équation (4), l'équation du plan polaire correspondant à ce pôle sera

(27) (E—x)D,S+(n-—y)D,S+(E— 2) DS +28 —=o;

et, puisque la même surface est encore représentée par l'équation (25), on pourra, dans la formule (27), substituer à la fonction S

la différence OR — r°.

Or, en effectuant cette substitution, puis ayant égard aux formules (5) et (26), on verra l'équation du plan polaire se réduire à

(28) (Ex) (m a) FN Pr I) 2) (5 — 72) —=0.

Donc on vérifiera cette équation en posant

Per da NES: sé,

c’est-à-dire que Le foyer (x, y, z) sera compris dans le plan polaire correspondant au pôle (£, n, ©). Nous dirons, pour cette raison, que les deux points (x, v,z) et (£, n, €) sont un foyer et un pôle correspondants de la surface décrite par le point mobile (æ, y, =).

On pourrait, au reste, démontrer encore que, le foyer (x, y, z) étant pris pour pôle, le plan polaire de la surface renfermera toujours le point (£, n, ©).

Si du pôle (Ë, n, ©) on abaisse une perpendiculaire sur le plan polaire que représente l'équation (28), cette perpendiculaire se trouvera elle-même représentée par les deux équations comprises dans la formule

"Me ES émet: Ni

(29) ss

Or cette dernière formule se vérifie évidemment lorsqu'on y pose

Lier À Y = }Y; rs

Donc le foyer (x, y, z) coincidera toujours avec le pied de la perpendiculare abaissée du pôle (£, n, ©) sur le plan polaire correspondant à ce même pôle.

Il importe d'observer que cette dernière proposition, étant une conséquence immédiate des formules (28), (29), ou, ce qui revient au même, de l'équation (27) jointe à la formule (26), continuera de subsister si, dans le second membre de l'équation (25), on prend pour & l’une quelconque des fonctions propres à vérifier la formule (26), c’est-à-dire si l’on suppose que la surface donnée du second ordre soit représentée par l'équation

(30) PUR, & désignant une fonction des trois différences Die p, N Aou! FE Aer +

entière, homogène, et du second degré. Observons encore que, dans ce cas, l'équation R = const.

représenterait une autre surface du second ordre qui aurait pour centre le point (£, n, €).

Si le point mobile se meut, non plus dans l’espace, mais dans un plan, alors, en prenant ce plan pour plan des æ, y, on verra Îles formules (24) se réduire aux suivantes

(31) Fr=a(z—E)+6(y—n), Era 0 +610

et les équations (28) et (29), réduites à celles-ci

(32) (É—x)(xæ —x)+(n—y)(y—7y)=0,

Les EEE dates PU es |

représenteront : 1° la polaire qui correspond au point (£, n) considéré comme pôle de la courbe du second degré décrite par le point mobile; 2° la perpendiculaire abaïssée sur cette polaire du pôle (£,n). Or on

vérifiera l'équation (32) en posant Cet ARRURL dure à À

Donc Le foyer (x, y) sera un point de la polaire correspondante au pôle (Ë, n). Nous dirons, pour cette raison, que les deux points (x, y), (Ë,n) sont un foyer et un pôle correspondants de la courbe décrite par le point mobile. Il y a plus : comme l’équation (32) sera elle-même

vérifiée quand on posera

il est elair que le foyer (x, y) sera le pied de la perpendiculaire abaissée du pôle (Ë, n) sur la polaire correspondante à ce pôle. Enfin, cette dernière proposition continuera évidemment de subsister si l'on suppose que la courbe décrite par le point mobile soit représentée par l'équation (30), & étant une fonction homogène quelconque des deux différences

As #0.

Dans le cas particulier où & devient proportionnel au produit des distances du point mobile à deux axes fixes, la dernière proposition se confond avec l’une de celles que renferme un Mémoire de M. Chasles, relatif aux lignes conjointes dans les coniques (vor le Tome HT du Journal de M. Liouville, p. 390).