PS RS SS
et, par suite, aux constantes positives
si l’on veut faire coïncider la section conique dont il s'agit avec une ellipse, une hyperbole, ou une parabole donnée.
L'équation générale d’une section conique dont le plan se confond avec celui des +, y, et dont un axe principal coineide avec l’axe des æ, est de la forme
(13) ÿ*=a+2bz+czx!,
a, b, ce désignant trois coefficients constants. Or, pour que l'équation (13) se réduise à l'équation (12), il est nécessaire et il suffit que l'on ait identiquement, c’est-à-dire pour une valeur quelconque de æ,
(14) p(æ—i)(æ—j)—(z—x)}=a+2bzx+cez",
par conséquent
(13) B=I+C et (16) p(i+j)=2(x—b), pÿ—a.
Lorsque les coefficients a, b, ec seront donnés, l'équation (15) fournira immédiatement la valeur de &. Quant aux valeurs de
X, d J) elles ne seront pas complètement déterminées par les formules (16); mais, après avoir choisi arbitrairement l’une d’entre elles, x par
exemple, on devra, en vertu de ces formules, prendre pour & et 7 les deux racines de l'équation
(17) (æ—x)} + a +2bx+cx=o.
On arrivera directement à la même conclusion, si l’on observe que r, sont les deux racines de l'équation
et que, la formule (14) étant identique, les équations (17), (18) se réduisent l’une à l’autre.
Les constantes 4, x, ?, j étant une fois connues, on déduira aisé-
ment de l'équation (9) et des formules (10) ou (11) les valeurs des
trois constantes
La première 0 sera, dans tous les cas, la valeur numérique de y. De plus, si les constantes £ et 7 sont réelles, alors, en vertu des formules (10), £, £ se réduiront simplement à z et à 7. Mais, si les constantes £, / deviennent deux expressions imaginaires conjuguées ou de la forme
ig 4 hV—:+, I=g-hV=s,
g, h désignant deux quantités réelles, alors, en vertu des formules (11),
on aura + PE D: 2 2 (Surss 2 y
par conséquent
Ajoutons que, dans l’un et l’autre cas, les équations des deux directrices seront
(20) CU ÉEo ou, ce qui revient au même,
Considérons maintenant le cas où les deux directrices, cessant d’être parallèles l’une à l’autre, se coupent en un certain point, et nommons &, n les coordonnées de ce point, qui sera le pôle correspondant au foyer donné. Les équations (4), réduites aux formules (3r) de la Note quatrième, deviendront
(22) +r=a(r—Ë)+6(y—n), ZHr—=a(xz—E#)+6,(y —n).
Si d’ailleurs on prend pour axe des æ un axe parallèle à l’une des droites qui divisent en parties égales les angles compris entre deux
directrices, on aura a ta;
OEuvres de C.—S.1,t. VII. | 47
et, comme les formules (5) donneront alors 82— 62— x?— x?—= 0,
on trouvera encore
Gi Gi:
puis on en conclura C2 6 23 = #—=+tI (25) = ë ,
attendu que, les directrices n’étant pas parallèles, on ne pourra sup-
poser Re Min Ne
Donc alors les formules (22) donneront
G4) s=tfa(e—E)+6(y7—nh = tla(r—#) —6(y nl
De ces dernières, combinées avec la première ou la seconde des formules (2), on tirera immédiatement
(25) AE [at(x —E)—6(y—n}]
(26) R— (x —E)}}+6(y —n}, par conséquent (27) OR = px —E)+v(y— 1),
les coefficients 4, v étant liés aux coefficients &, 6, 0 par l’une des formules
(28) Au Ce Ms Fi de ts
ou, ce qui revient au même, eu égard à la pt des formules (5), par l’un des deux systèmes d'équations
(29) =E (pu —v), Ve me 6 F : 82— + ERA CRE
(30) O—=p+v, 朗 PE, es
Enfin, en vertu des formules (3) et (27 }# l'équation (1) deviendra (31) sr =n(r—é)+v(y—n}.
Les équations (29) et (30) fournissent le moyen de tirer les valeurs de &, 6, 9 des valeurs supposées connues des coefficients w et v. Ireste à chercher quelles valeurs on doit attribuer aux constantes
X;, y; ë, 1, Ps y
pour faire coincider la courbe du second degré, représentée par léquation (26), avec une ellipse, une hyperbole ou une parabole donnée.
L’équation (31) représentera une ellipse ou une hyperbole dont les axes principaux seront parallèles aux axes des æ et des y, si chacune des constantes u,, v diffère de l’unité. De plus, le centre de cette ellipse . ou de cette hyperbole sera l’origine même des coordonnées, si l’on a
(32) RTE, Y — vn, et alors la formule (31) sera réduite à (33) (i—pat+(1—v)p = pE + vn? — x? — y?.
D'autre part, l'équation générale d’une ellipse ou d’une hyperbole, rapportée à son centre et à ses axes principaux, est de la forme
(34). | Ax?+By?=K;
et, pour faire coincider l'équation (34) avec l'équation (33), il suffira de poser
(35) m=1— À, v=iI1—RB,
(36) DE + vn?— x?— y —K.
Enfin de l'équation (36), jointe aux équations (32) et (35), on tirera évidemment
A 2 Lis (37) RS du Y=K,
(38) A(1—A)E+B(1—Bj)n=K.
Ilest bon d'observer qu’on pourrait encore réduire l'équation (34) à l’équation (33), en supposant que dans ces deux équations les coefficients des termes correspondants fussent, non plus égaux, mais proportionnels, le rapport des uns aux autres étant un certain coefficient de réduction s. Alors on devrait, dans les formules (37), (38), substituer aux deux binômes 1— À, 1 — B
les deux binômes
Dans le cas particulier que nous avons ici considéré, le coefficient de réduction est simplement l’unité. Dans ce même cas, les formules (32) déterminent complètement les valeurs des constantes &, v; mais les formules (32), (36) ne suffisent pas à la détermination des constantes
X; y; : ci Lu
dont l’une, x par exemple, peut être choisie arbitrairement. Donc le foyer (x, y) et le pôle correspondant (£, n) peuvent se déplacer sur deux courbes. Ces deux courbes, c’est-à-dire la focale et le lieu géométrique des pôles, se trouvent précisément représentées par les équations (37), (38) et, par suite, chacune d'elles se réduit à une nouvelle ellipse ou à une nouvelle hyperbole.
Comme nous l’avons vu dans la Note quatrième, et comme on peut le conclure immédiatement de l'équation (31), le foyer (x, y) est, dans le plan de la courbe représentée par l’équation (31), un point de la polaire correspondante au pôle (£, n). J'ajoute que ce même foyer est aussi un point de la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur la polaire de l’ellipse ou de l’hyperbole représentée par
une équation de la forme (39) RAM 6
c désignant une constante que l’on peut réduire à l'unité. En effet, les équations de cette autre polaire et de la perpendiculaire abaissée sur
elle de l’origine seront respectivement (40) pÊx + vny —C et, par suite,
or il suit évidemment des formules (32) que l’on vérifiera l'équa-
tion (41) en posant (42) l'es de Va T
Observons d’ailleurs que, en vertu des formules (29) ou (30), on tire
de l’équation (39)
ax? — 6? y?— const.
ou
ax? + 62y?— const.
Il est aisé d’en conclure que l’équation (39) représentera, ou une hyperbole dont les asymptotes se confondront avec les droites représen-
tées par les équations
(43) ax +6y—=o, ax —6y—0o,
c'est-à-dire, avec les axes fixes menés par l’origine parallèlement aux directrices données, ou une ellipse dont ces mêmes droites seront les axes quadratiques.
Comme dans les formules (28) les constantes «&, 4, 0 sont assujetties seulement à vérifier la première des conditions (5), il est clair que, étant donnée dans le plan des +, y une ellipse ou une hyperbole, on peut choisir arbitrairement le module 0 et l’angle formé par chacune des directrices avec un axe principal. Cela posé, les remarques diverses que nous venons de faire entrainent évidemment la proposition suivante :
THÉORÈME 1. — Sozent données, dans le plan d'une ellipse ou d'une hy-
perbole, deux axes fixes qui passent par le centre de cette courbe et
forment des angles égaux avec chaque axe principal. Soient d’ailleurs, pour un module donné, F et P un foyer et un pôle correspondants de la courbe, auxquels répondent des directrices parallèles aux deux axes fixes. Le foyer F sera le point de rencontre de la polaire correspondante au pôle P avec la perpendiculaire abassée de l’origine sur une autre polaire qui appartiendra, non plus à l’ellipse ou à l'hyperbole donnée, mais à une hyperbole ou à une ellipse dont le centre sera le méme, et dont les asym-
ptotes ou les axes quadratiques coïincideront avec les deux axes fixes.
Observons encore que, en supposant le coefficient de réduction différent de l'unité, on pourra toujours choisir ce coefficient de manière à faire passer la focale ou le lieu géométrique par un point quelconque du plan des +, y. Il en résulte que, dans le même plan, l’un des deux points P, F peut être pris arbitrairement. Mais, en vertu du théorème que nous venons d’énoncer, la position de l’un de ces points étant donnée, la position de l’autre s’en déduira immédiatement.
Supposons maintenant que l’une des constantes 1, v, par exemple la constante w, se réduise à l’unité. Alors la formule (31) sera réduite à
et représentera une parabole dont l’axe principal sera parallèle à l'axe des æ. Le sommet de cette parabole sera l’origine même des coordonnées, si l’on a
(45) Y=V", x? + y?— Ë2+ vn?, et alors la formule (44) deviendra (46) (1—v)7y?+2(È—x)x —0o.
D'autre part, l'équation générale d’une parabole dont le sommet coincide avec l’origine, et l’axe principal avec l’axe des æ, est de la forme
(47) By*+2Gx—o;
et pour faire coincider l'équation (47) avec l'équation (46), il suffira de poser
Enfin des équations (45), jointes aux équations (48), on tirera évidemment
(49) de Y°+2Gx + G?=0, 1— B (50) B(1—B)n+2GE — G?=— 0.
Ces deux dernières formules sont celles que doivent vérifier les coordonnées x, y ou &, n d’un foyer et d’un pôle correspondants de la parabole représentée par l'équation (47), dans le cas où le coefficient de réduction est l’unité. Si ce même coefficient, étant distinct de l’unité, se trouvait représenté par la lettre s, on devrait, dans les formules (49) et (50), c’est-à-dire, dans les équations de la focale ou du lieu géométrique des pôles, substituer au binôme 1 — B le binôme
1 — —, et au carré G? le rapport —.
Enfin, si, en supposant & = 1, on laisse le coefficient de réduction arbitraire, l’un des deux points P, F qui représentent un pôle et un foyer correspondants pourra être pris arbitrairement. Mais la position de l’un de ces points étant donnée, la position de l’autre s’en déduira immédiatement, en vertu de la première des équations (45). Alors aussi l’on obtiendra, au lieu du théorème I, la proposition suivante :
TuÉORÈME IT. — Soient donnés, dans le plan d'une parabole, deux axes fixes qu passent par le sommet de cette courbe et forment des angles égaux avec son axe principal. Soient d’ailleurs, pour ur module donne, Fet P un foyer et un pôle correspondants de la parabole, auxquels repondent des directrices parallèles aux deux axes fixes. Enfin, construisons une hyperbole ou une ellipse qui ait pour centre un point situé sur l'axe principal de la parabole à une très grande distance de l’origine, et pour
asymptloles ou pour axes quadratiques deux droites parallèles aux deux
aæes fixes. Le foyer F se confondra sensiblement avec le point où la polaire correspondante au pôle P de la parabole sera rencontrée par la perpendiculaire abaissée du centre de l'hyperbole ou de l’ellipse sur une autre polaire
appartenant à cette hyperbole ou à cette ellipse.
Si les coefficients &, v se réduisaient l’un et l’autre à l'unité, l'équation (31), réduite à la formule
(51) (2x) + (y 3 =(e 40 nn) ou, ce qui revient au même, à la suivante (52) 2(Ë—x)æ+2(n—y)y=E+n— x— 7,
représenterait, non plus une courbe du second degré, mais une ligne droite. Alors aussi, en posant, pour abréger,
t-x=6G, n—y=H, (53) Et mx y =K,
on verrait l'équation (52) se réduire à (54) 2Gzxz + 2Hy=K, et, à la place des équations (37), (38), on obtiendrait les suivantes :
(55) 2Gx +2Hy + G+H=K, (56) 2GEË + 2Hn — G — H=K.
Alors enfin un foyer et un pôle correspondants seraient toujours deux points situés à égales distances de la droite donnée, sur une perpendiculaire à cette droite, et la formule (51) exprimerait seulement que tout point de la droite est également éloigné de ce foyer et de ce pôle. |
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Suite des Notes anneæxées au Rapport sur le Mémoire de M. Amyot.
