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à un certain foyer et à deux plans directeurs soient liées entre elles par une équation de la forme

(1) At OR:

) désignant une constante positive, et la valeur de & étant elle-même déterminée par l’une des équations

(2) Ar, R—t(:2+:?).

S1, en supposant tous les points de l’espace rapportés à trois axes rectangulaires, on prend pour plan des æ, y un plan mené par le foyer perpendiculairement aux plans directeurs, on obtiendra pour & une fonction entière des coordonnées æ, y. D'ailleurs, en nommant alors

x, y les coordonnées du foyer, mesurées parallèlement aux axes des x et des y, on aura encore

(3) r—(T—x)+(y—y}+ 2? Cela posé, l'équation (1) deviendra

(4) (CZ —x}Ÿ+ (y —3}+ 308, OEuvres de C. — S.I,t. VII. , 48

et représentera évidemment une surface du second ordre dont un plan principal sera le plan même des æ, y.

Si l’on veut obtenir la section faite dans la surface par Le plan des x, y, il suffira de poser, dans l'équation (3), z — 0. Alors cette équation se trouvera réduite à la formule

qui coincidera précisément avec l'équation (1) de la Note quatrième, et représentera une section conique. Ajoutons que cette section conique aura pour foyer le foyer de la surface, et pour directrices les traces des plans directeurs donnés.

Concevons maintenant que l’on veuille faire coïncider la surface représentée par l'équation (3) avec une surface donnée du second ordre. On pourra, dans l'équation de cette dernière surface, faire évanouir le coefficient de z, en prenant pour plan des x, y un des plans principaux, puis diviser ensuite tous les termes par le coefficient de z?, et réduire ainsi ce coefficient à l'unité. Alors, pour faire coincider l'équation de la nouvelle surface avec l'équation (3), il suffira d'y remplacer z? par zéro, puis de faire coïncider l'équation ainsi obtenue avec l’équation (5), en suivant la marche tracée dans la Note précédente.