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alors, en nommant

les distances PR, PR, PR,

qui séparent le point P des points R, R', R”, ..., on aura (19) F(Z, ,3)=E ——.

Si le degré » de la fonction F(x, y) ou F(x, y,s) se réduit au nombre 2, alors, à la place des théorèmes que nous venons d’énoncer, on obtiendra les suivants :

TuéorèMe IT, — Supposons que, les divers points d’un plan étant rapportés à deux axes rectangulaires, on mêne, par l'origine O des coordonnées, un certain axe OÀ, et par le point P, dont les coordonnées sont x, y, une droite parallele à cet axe. Supposons encore que cette droite rencontre en deux points réels R, R' une section conique représentée par l'équation | (16) Ag°+ By'+92Cxy +2Dx+2Ey—K—o,

el nommons

les deux distances

Enfin, soit p la distance mesurée sur l’axe OA entre l'origine et la courbe

représentée par l'équation (17) Az + By +aCzy=#r.

On aura généralement

ct

(18) AE RER ER RP EE Es

Corollaire I. — Les distances +, v’ deviendront égales entre elles, si les points R, R’ se réunissent en un seul, c’est-à-dire, en d’autres termes, si la ligne PR devient tangente à la courbe du second degré représentée par l'équation (16), ou bien encore, si le point P est le milieu de la corde RR’. Dans l’un et l’autre cas, la formule

lé arart ?

réduira l'équation (18) à la suivante :

(19) Aat+By+aCay+aDr+3Ey-K=E Corollaire II. — Si l'équation (16) représente une ellipse ou une hyperbole, l'équation (17) représentera encore une ellipse ou une hyperbole semblable à la première, les axes principaux de l’une étant parallèles aux axes principaux de l’autre. Donc alors, si l’axe OA vient à changer de direction, la distance p variera proportionnellement au rayon ou demi-diamètre qui, dans l’ellipse ou l’hyperbole, serait parallèle à ce même axe. Cela posé, la formule (18) entrainera évidemment la proposition dont voici l'énoncé : St, par un point P situé dans le plan d’une ellipse ou d’une hyperbole, on mêne plusieurs droites dont chacune rencontre cette courbe en deux points, si d'ailleurs on multiplie l’une par l'autre les distances mesurées sur chaque droite entre le point P et les deux points de rencontre dont il s'agit, les produits ainsi obtenus seront proportionnels aux rayons menés par le centre de la courbe parallelement à ces mêmes droites. Ajoutons que, si l’une des droites se réduut

ou à une tangente ou à une corde dont le point P soit le milieu, les deux

distances mesurées sur cette droite deviendront égales, en sorte que leur

produit se réduira simplement au carré de chacune d'elles.

Corollare III. — Si l'équation (16) représente un cercle, la proposition énoncée dans le corollaire précédent se réduira évidemment à une proposition déjà connue, suivant laquelle le produit de deux parties d’une corde qui renferme un point donné P est constamment égal au carré de la moitié de la corde dont ce point est le milieu, ou le produit d’une sécante et de sa partie extérieure constamment égal au carré d’une tangente qui part du même point. Observons d'ailleurs que si l’on représente par r le rayon du cercle dont il s’agit, et par @, b les coordonnées du centre, l'équation (16) pourra être réduite à

Alors l'équation (17), réduite à (21) LH yY=1,

représentera une circonférence de cercle qui aura pour centre l'origine et pour rayon l'unité. On aura donc, dans la formule (19), 9 — 1, et par suite cette formule donnera

Donc Le premier membre de l'équation (20) représentera, ou le carré de la tangente menée au cercle par le point (x, Y), ou le carré de la moitié de la corde dont le point (x, y) sera le milieu, le dernier carré étant pris avec le signe —. Au reste, on arriverait directement à la même conclusion en observant que la tangente ou la demi-corde dont il s’agit est l’un des côtés d’un triangle rectangle dans lequel l’autre côté et l'hypoténuse sont, ou le rayon mené au point de contact et la distance du point (æ, y) au centre du cercle, ou cette distance et le rayon mené à l'extrémité de la corde.

Corollaire IV. — Si la courbe représentée par l'équation (16) est une Œuvres de C.— S.1,t. VII. 50

parabole, le premier membre de l'équation (17) sera, au signe près, un carré parfait, et l'équation (17) représentera deux droites menées à égales distances de l’origine parallèlement à l'axe principal de la parabole. Cela posé, l'équation (18) entraînera évidemment la proposition suivante : Sr, par un point P situé dans le plan d'une parabole, on mène plusieurs droites dont chacune coupe la parabole en deux points, si d'ailleurs on multiplie l’une par l’autre les distances mesurées sur chaque droite entre le point P et les deux points dont il s'agit, les produits ainsi obtenus seront respectivement proporhonnels aux distances mesurées sur les mêmes droites entre le point P et un axe quelconque parallèle à l'axe principal de la parabole. On peut encore, à cette proposition, substituer celle dont voici l’énoncé : St, par un point P situé dans le plan d'une parabole, on mêne plusieurs droites dont chacune coupe la parabole en deux points, si d’ailleurs on projette sur la directrice de la parabole les deux distances mesurées sur chaque droite entre le point P et les deux points dont \ s'agu, les produits ainsi obtenus seront ious égaux entre eux et par conséquent égaux au carré de la projection de chacune

des deux tangentes menées à la parabole par le point P.

Corollaire V. — On pourrait encore déduire des équations (18), (19) diverses conclusions dignes de remarque. Ainsi, en particulier, on reconnaitra sans peine que, dans le cas où l'équation (16), réduite à la forme

(23) Bai+ ay = 0,

représente en conséquence une ellipse dont les demi-axes sont a et b, le premier membre de cette équation représente le carré d’une surface égale au double de la surface du triangle qui a pour sommet le centre de l’ellipse et pour base la tangente menée à la courbe par le point (æ, y). Ainsi encore on conclut de l’équation (19) que, si deux ellipses de même dimension sont tracées dans le même plan, de manière que leurs grands axes soient parallèles entre eux, il existera une droite dont chaque point extérieur aux deux ellipses pourra être considéré comme le sommet de deux triangles égaux en surfaces qui au-

ront pour côtés les tangentes menées de ce point aux deux ellipses et les rayons vecteurs menés des deux centres aux points de contact. Lorsque les deux ellipses se couperont, la droite dont il s’agit sera celle qui renfermera les deux points d’intersection. Enfin, si les deux ellipses, sans être de mêmes dimensions, sont du moins semblables l’une à l’autre, les surfaces des deux triangles cesseront d’être égales, mais conserveront toujours entre elles le même rapport.

TuéorÈèmE IV. — Supposons que, les divers points de l’espace étant rapportés à trois axes rectangulaires, on mène, par l’origine O des coordonnées, un certain axe OÀ, et par le point P, dont les coordonnées sont x, y, 3, une droite parallèle à cet axe. Supposons encore que cette ‘droite rencontre en deux points réels R, R' une surface du second ordre repre-

sentée par l'équation (24) Ax+By+Cs+2Dy:+2E:x+2Fxy+2Gx+2Hy+21:-—K—o,

el nommons

CPAS à

les deux distances PR, PR’.

Enfin, soit p la distance mesurée sur l’axe OA, entre l’origine et la sur-

face représentée par l'équation (25) Ax+By?+ Cs+2Dy:+92E:x+2Fxy —ÆEx. On aura généralement

Ax?+ By°+ C3 + 2Dyz+2E 5x + 2 Fxy (26)

[4 | +2G2+aHy+als-K=E.

Corollaire I. — Les distances