RAR

deviendront égales entre elles si les points R, R'se réunissent en un seul, c’est-à-dire, en d’autres termes, si la ligne PR devient tangente à

la surface du second ordre représentée par l’équation (24), ou bien encore si le point P est le milieu de la corde RR’. Dans l’un et l’autre

cas, la formule

réduira l’équation (26) à la suivante :

Ax?+ By}+ C#+2Dyz+2E:x +2Fxy (27) v?

+2Gxz+2Hy +21: - K—=+ ch

Corollaire II. — Si l'équation (24) représente un ellipsoide ou un hyperboloïde, l'équation (26) représentera encore un ellipsoide ou un hyperboloïde semblable au premier, les axes principaux de l’un étant parallèles aux axes principaux de l’autre. Donc alors, si l’axe OA vient à changer de direction, la distance p variera proportionnellement au rayon ou demi-diamètre qui dans l’ellipsoide ou l’hyperboloïde serait parallèle à ce même axe. Cela posé, la formule (18) entrainera évidemment la proposition dont voici l'énoncé : St, par un même point P, on mène plusieurs droites dont chacune rencontre en deux points réels la surface d’un ellipsoïde ou d'un hyperbeloide, si d’ailleurs on multiple l’une par l'autre les distances mesurées sur chaque droite entre le point Pet les deux points dont il s'agit, les produits ainsi obtenus seront proporüonnels aux rayons menés par le centre de la surface, parallèlement à ces mémes droites. Ajoutons que, si l’une des droites se réduit ou à une tangente ou à une corde dont le point P soit le mulieu, les deux distances mesurées sur cette droite deviendront égales, en sorte que leur produit se réduira sim-

plement au carré de chacune d’elles.

Corollaire III. — Si l'équation (24) représente la surface d’une sphère, la proposition énoncée dans le corollaire précédent se réduira évidemment à une proposition déjà connue, suivant laquelle le produit des deux parties d’une corde qui renferme un point donné P est constamment égal au carré du rayon du cerele qui a ce point pour centre, ou le produit d’une sécante et de sa partie extérieure constamment égal au carré d’une tangente qui part du même point. Observons

d’ailleurs que, si l'on représente par r le rayon de la sphère dont il s’agit, et par a, b, c les coordonnées du centre, l'équation (24) pourra être réduite à

Or, dans ce cas, l’équation (25), réduite à (29) + V+ 22 1,

représentera évidemment une nouvelle sphère dont le rayon sera l'unité. On aura donc, dans les formules (26), Car},

pP—1I; en sorte que la formule (27) donnera (30) (t—a)+(y—b)}+(z—c}— 7 +2.

Donc alors, le premier membre de ! ‘équation (28) représentera, ou le carré de la tangente menée à la sphère par le point P dont les coordonnées sont æ, y, =, ou le carré du rayon du cercle tracé sur la sphère et qui a pour centre le point P. Au reste, on peut arriver directement à la même conclusion en observant que cette tangente ou ce rayon est un des côtés d’un triangle rectangle dans lequel l’autre côté et l'hypoténuse sont représentés par deux longueurs dont chacune se réduit, soit à un rayon de la sphère, soit à la distance qui sépare du centre de la sphère le point (æ, y, =).

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Memoire sur la synthèse algébrique (suite).