C.R., T. XVI, p. 967 (8 mai

$ IL — Solution des problèmes de Géométrie plane.

Avant de rechercher quels avantages peut offrir l'application de l’Analyse, et particulièrement de la synthèse algébrique, à la solution des

problèmes de Géométrie plane, il ne sera pas inutile de rappeler la marche que l’on doit suivre généralement pour arriver, sans le secours du calcul, à résoudre ces sortes de problèmes.

Dans tout problème de Géométrie plane, il s’agit de tracer sur un plan, d’après des conditions données, une ou plusieurs lignes droites ou courbes, un ou plusieurs angles, un ou plusieurs points. Le problème pourra être résolu à l’aide de la règle ou du compas si le système entier des lignes à tracer et des lignes de construction se réduit à un système de droites et de circonférences de cercle.

D'autre part, une droite est complètement déterminée quand on connaît deux points de cette droite; une circonférence de cercle est complètement déterminée quand on connaît le centre et un point de la circonférence, ou trois points de cette circonférence; enfin un angle est complètement déterminé quand on connait les deux côtés de cet angle, ou, ce qui revient au même, le sommet de l’angle et deux points situés sur les deux côtés. Donc le tracé d’un système de droites, de cercles, d’angles et de points, et, par suite, la solution d’un problème de Géométrie, quand ce problème sera résoluble à l’aide de la règle et du compas, pourra être réduit à la détermination d’un certain nombre de points inconnus. Nous appellerons problème simple celui qui se réduit à la détermination d’un seul point inconnu; problème composé celui qui exige la détermination de plusieurs points. Pour un problème composé, la nature de la solution peut varier, non seulement avec le nombre et la nature des points que l’on se propose de déterminer, mais encore avec l’ordre dans lequel on les détermine; et l’on conçoit dès lors comment il arrive qu’un même problème de Géométrie peut admettre différentes solutions plus ou moins élégantes. Mais, comme les divers points inconnus doivent être nécessairement déterminés l’un après l’autre, il est clair que, pour résoudre un problème composé, il suffira toujours de résoudre successivement plusieurs problèmes simples.

IL nous reste à dire comment un problème simple peut être résolu.

Dans tout problème simple, le point inconnu est généralement dé-

terminé par deux conditions, dont chacune se trouve exprimée par une équation, quand on traduit en Analyse l'énoncé de ce problème. En vertu d’une seule des conditions dont il s’agit, le point inconnu ne serait pas complètement déterminé : 1l se trouverait seulement assujetti à coïncider avec l’un des points situés sur une certaine ligne droite ou courbe correspondante à cette condition, et représentée par l'équation qui l’exprime. Mais, si l’on a égard aux deux conditions réunies, le point inconnu, devant être situé en même temps sur les deux lignes correspondantes aux deux conditions, ne pourra être que l’un des points communs à ces deux lignes. Done, si les deux lignes ne se rencontrent pas, le problème de Géométrie proposé sera insoluble. Il admettra une solution unique si les deux lignes se rencontrent en un seul point; il admettra plusieurs solutions distinctes si les deux lignes se rencontrent en plusieurs points. Ainsi un problème simple, mais déterminé, peut être considéré comme résultant de la combinaison de deux autres problèmes simples, mais indéterminés, dont chacun consiste à trouver un point qui remplisse une seule condition, ou plutôt le lieu géométrique de tous les points qui, en nombre infini, remplissent la condition donnée. Si cette condition se réduit à ce que le point inconnu se trouve sur une certaine ligne, le lieu géométrique cherché sera évidemment cette ligne elle-même. Ajoutons que très souvent le lieu géométrique correspondant à une condition donnée comprendra le système de plusieurs lignes droites ou courbes. Aïnsi, en particulier, si le point inconnu doit se trouver à une distance donnée d’une droite donnée, le lieu géométrique cherché sera le système de deux parallèles menées à cette droite et séparées d’elle par la distance dont il s’agit.

Remarquons encore qu'un problème simple déterminé ou indéterminé sera résoluble par la règle et le compas, si chacun des lieux géométriques qui servent à le résoudre se réduit au système de plusieurs droites et circonférences de cercle.

Pour éclaircir ce qui vient d’être dit, nous allons indiquer ici les solutions de quelques problèmes simples et indéterminés.

ProgLème 1. — Trouver un point qu soit situé sur une droite donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la droite elle-même.

ProgrÈème Il. — Trouver un point qu soit situe sur une circonférence

de cercle donnee.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la circonférence elle-même.

ProgLÈmMEe III. — Trouver un point qu soit à une distance donnée d’un point donné.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la cir- conférence de cercle décrite du point donné comme centre avec un rayon équivalent à la distance donnée.

ProBLèmE IV. — Trouver un point qui soit situé à une distance donnée

d’une droite donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux droites menées parallèlement à la droite donnée, et séparées d'elle par la distance donnée.

PROBLÈME V. — Trouver un point qui soit à une distance donnée d’une

circonférence de cercle donnee.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux circonférences de cercle qui, étant concentriques à la première, offrent pour rayons respectifs le rayon de la première augmenté ou diminué de la distance donnée.

PROBLÈME VI. — Trouver un point qui soit situe à égale distance de . deux points donnes.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la per-

pendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint les deux points donnés. |

ProgLÈME VIE. — Trouver un point qu soit situé à égale distance de deux droites parallèles données.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une troisième droite parallèle aux deux autres, et qui divise leur distance mutuelle en parties égales.

PROBLÈME VIII. — Trouver un point qui soit à égale distance de deux

droites qui se coupent.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est Le système de deux nouvelles droites qui divisent en parties égales les angles compris entre les deux droites données.

PROBLÈME IX. — Trouver un point situé à égale distance des circonfé-

rences de deux cercles concentriques donnes.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une troisième circonférence de cercle, concentrique aux deux autres, et qui divise leur distance mutuelle en parties égales.

PROBLÈME X. — Trouver un point duquel on voie une droite, donnee

en longueur et en direction, sous un angle droit.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une circonférence de cercle qui a pour diamètre la droite donnée.

PROBLÈME XI. — Trouver un point duquel on voie une droite, donnee

en longueur et en direction, sous un angle aigu ou obtus.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux segments de cercle, construits sur cette droite comme corde, et capables de l’angle donné.

PROBLÈME XII — 7rouver un point dont les distances à deux points donnés soient entre elles dans un rapport donne.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une

circonférence de cercle, dont un diamètre a pour extrémités les deux OEuvres de C.— S.1,t. VII. 91

points qui remplissent la condition prescrite, sur la droite menée par les deux points donnés.

ProBLÈmME XIII. — Trouver un point dont les distances à deux droites

données soient entre elles dans un rapport donné.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux nouvelles droites qui divisent les angles compris entre les deux droites données en parties dont les sinus sont entre eux dans le rapport donné.

ProBLèME XIV. — Trouver un point dont les distances à deux points

donnés fournissent des carrés dont la différence soit un carré donne.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la perpendiculaire élevée, sur la droite qui joint les deux points donnés, par le point de cette droite qui remplit la condition donnée.

ProëLème XV. — Trouver un point dont les distances à deux points

donnes fournissent des carrés dont la somme soit un carré donne.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la circonférence de cercle dont un diamètre a pour extrémités les deux points qui remplissent la condition prescrite sur la droite menée par les deux points donnés.

PROBLÈME XVI. — Trouver un point tel que l ‘oblique menée de ce point

&'une droite sous un angle donné ait une longueur donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux nouvelles droites menées, parallèlement à la droite donnée, par les extrémités d’une sécante qui, ayant son mieu sur cette droite, la coupe sous l'angle donné, et qui offre d’ailleurs une longueur double de la longueur donnée. !

PROBLÈME XVII. — Trouver un point tel que la sécante menée de ce point à une cireonférence de cercle, parallèlement à une droite donnee, ait

une longueur donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux nouvelles circonférences, dont les rayons sont égaux à celui de la circonférence donnée, et dont les centres sont les extré- mités d’une droite qui, ayant pour milieu le centre de la circonférence donnée, est parallèle à la droite donnée, et présente une longueur

double de la longueur donnée.

ProgLÈème XVIII. — Étant donnés un point el une droite, trouver un

second point qui soit le milieu d'une sécante menée d'un point à la droite.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une nouvelle droite menée parallèlement à la droite donnée, et qui divise en parties égales la distance du point donné à cette droite.

Progcème XIX. — Etant donnés un point et une circonférence de cercle, trouver un second point qui soit le milieu d’une sécante menée de ce point

à la circonférence.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une nouvelle circonférence de cercle qui à pour rayon la moitié du rayon de la circonférence donnée, et pour centre le milieu de la distance du point donné au centre du cercle donné.

Progème XX. — Trouver un point dont la distance à un point donné

ait son milieu sur une droite donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une nouvelle droite, menée parallèlement à la droite donnée, à une distance égale à celle qui sépare cette droite du point donné.

ProBLème XXI. — Trouver un point dont la distance à un point donné

ait son milieu sur la circonférence d’un cercle donne.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une nouvelle circonférence de cercle qui a pour rayon le double du rayon de la circonférence donnée et pour centre l'extrémité d’une droite dont la moitié est la distance du point donné au centre du cerele donné.

k0% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

PROBLÈME XXII. — Etant donnés deux points symétriquement places de part et d'autre d’un certain axe, trouver un troisième point tel que la droite menée de ce troisième point au premier rencontre l'axe donne à

égale distance du second point et du troisième.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une droite menée parallèlement à l’axe donné, à une distance égale à celle qui sépare cet axe du point donné.

ProBLèME XXII. — Ætant donnés un cercle et une corde, trouver un point tel que la droite menée de ce point à l’une des extrémités de la corde rencontre la circonférence du cercle à égale distance de ce point et de

l’autre extrémité.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est le système de deux nouvelles circonférences de cercles qui ont pour corde commune la corde donnée et pour centres les extrémités du diamètre perpendiculaire à cette corde dans le cercle donné.

ProsLÈmE XXIV. — Étant données deux droites perpendiculaires l'une à l’autre, trouver un point qu soit le milieu d'une sècante de longueur

donnée, comprise entre ces deux droites.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une circonférence de cercle qui a pour centre le point commun aux deux droites et pour rayon la moitié de la longueur donnée.

PROBLÈME XXV. — Trouver, dans un cercle donné, un point qu soit le

milieu d’une corde de longueur donnée.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une circonférence de cercle qui a pour centre le centre même du cercle donné et pour rayon la distance de ce centre à l’une quelconque des cordes, tracées de manière à offrir la longueur donnée. :

PROBLÈME XX VI. — Trouver, hors d'un cercle donné, un point qu soit l'extrémité d'une tangente de longueur donnee.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est une

EXTRAIT N° 211. kO5

circonférence de cercle qui a pour centre le centre même du cercle donné et pour rayon la distance de ce centre à l'extrémité de l’une quelconque des tangentes tracées de manière à offrir la longueur

donnée.

PROBLÈME XXVII. — Trouver, hors d’un cercle donne, le point de concours de deux tangentes menées par les extrémités d'une corde qu ren-

ferme un point donne.

Solution. — Le lieu géométrique qui résout ce problème est la polaire correspondante au point donné.

Les solutions que nous venons d’énoncer se déduisent aisément de divers théorèmes bien connus de Géométrie. Nous pourrions d’ailleurs indiquer encore un grand nombre de problèmes simples et indéterminés dont les solutions se réduiraient pareillement à des systèmes de lignes droites et de circonférences de cercles. Observons de plus que, étant données les solutions de » problèmes de cette espèce, dans chacun desquels le point inconnu est assujetti à une seule condition,

, . . PET . nn FI on pourra en déduire immédiatement les solutions de Dit Re pro-

blèmes simples et déterminés, dans chacun desquels le point inconnu serait assujetti à deux conditions. En effet, pour obtenir un problème simple et déterminé, 1l suffira de combiner entre elles deux conditions correspondantes à deux problèmes simples et indéterminés, ou même deux conditions pareilles l’une à l’autre et correspondantes à un seul problème indéterminé. D'autre part, on sait que le nombre des combinaisons différentes que l’on peut former avec n quantités, combinées deux à deux de toutes les manières possibles, est

n(n—:1) PS TS

Or, en ajoutant à ce nombre celui des quantités elles-mêmes, on obtiendra la somme

n(n—1) PE Le Dai

Cette somme croît très rapidement pour des valeurs constantes de ». Si l’on pose en particulier #z — 27, on trouvera SR — 370. Ainsi

les solutions des 27 problèmes indéterminés que nous avons énoncés plus haut fournissent déjà le moyen de résoudre 378 problèmes simples et déterminés. |

Pour faire mieux saisir les principes que nous venons de rappeler, appliquons-les à la solution de quelques problèmes déterminés.

Supposons d’abord qu'il s'agisse de mener une tangente à un cercle par un point extérieur. La question pourra être réduite à la recherche du point inconnu où la tangente touchera le cercle. D'ailleurs les deux conditions auxquelles le point de contact devra satisfaire sont : 1° que ce point soit situé sur la circonférence du cercle; 2° que de ce point on voie sous un angle droit la distance qui sépare le point donné du centre du cercle. Donc la question à résoudre sera un problème déterminé résultant de la combinaison des problèmes indéterminés II et XI. Les solutions combinées des problèmes IL et XI fourniront effectivement les deux solutions connues du problème proposé.

Supposons en second lieu qu’il s’agisse de circonscrire un cercle à un triangle donné. La question pourra être réduite à la recherche du centre du cercle. D'ailleurs les deux conditions auxquelles ce centre devra satisfaire seront d’être, non seulement à égale distance du premier et du second sommet du triangle donné, mais encore à égale distance du premier sommet et du troisième. Donc la question à résoudre sera un problème déterminé résultant de la combinaison de deux problèmes déterminés semblables l’un à l’autre et au problème VI. Effectivement, la solution du problème VI, deux fois répétée, fournira deux lieux géométriques réduits à deux droites qui se couperont en un seul point, et l'on obtiendra ainsi la solution connue du problème proposé.

Supposons encore qu'il s'agisse de tracer un cercle tangent aux trois côtés d’un triangle donné. La question pourra être réduite à la recherche du centre du cercle. D'ailleurs les deux conditions auxquelles ce centre devra satisfaire seront d’être, non seulement à égale

distance du premier et du second côté du triangle donné, mais encore à égale distance du premier côté et du troisième. Donc la question à résoudre sera un problème déterminé résultant de la combinaison de deux problèmes indéterminés semblables l'un à l'autre et au problème VIIT. Effectivement, la solution du problème VIIT, deux fois répétée, fournira deux lieux géométriques qui, réduits chacun au système de deux droites, se couperont mutuellement en quatre points, et l’on obtiendra ainsi les quatre solutions connues du système proposé.

Supposons enfin qu’il s'agisse d'inscrire, entre une corde d’un cercle et sa circonférence, une droite égale et parallèle à une droite donnée. La question pourra être réduite à la recherche de lun quelconque des deux points inconnus qui formeront les deux extrémités de cette droite, et par suite à un problème déterminé résultant de la combinaison de deux problèmes indéterminés, savoir, des problèmes I et XVII, ou des problèmes IT et XVI. Effectivement, à l’aide de cette combinaison, on résoudra sans peine la question proposée, et l’une des extrémités de la droite cherchée se trouvera déterminée, ou par la rencontre de la circonférence de cercle donnée avec une nouvelle droite, ou par la rencontre de la corde donnée avec une nouvelle circonférence de cercle. On voit ici comment la solution obtenue peut ‘se modifier quand on vient à intervertir l’ordre dans lequel se déterminent les points inconnus.

La construction du lieu géométrique qui correspond à un problème simple et indéterminé peut exiger elle-même la solution d’un ou de plusieurs problèmes déterminés. On doit observer à ce sujet que, dans le cas où le problème est résoluble par la règle et le compas, le lieu géométrique dont il s’agit doit se réduire à un système de droites et de cercles. Donc, puisque chaque droite ou chaque circonférence de cercle se trouve complètement déterminée quand on en connaît deux ou trois points, la construction du lieu géométrique correspondant à un problème simple et indéterminé pourra toujours se déduire de la construction d’un certain nombre de points propres à vérifier la con-

dtion que doit remplir, en vertu de l'énoncé du problème, le point inconnu,

Ainsi, en particulier, s'agit-il de résoudre le problème VI, c’està-dire de trouver un point qui soit situé à égale distance de deux points donnés, et par conséquent de construire le lieu géométrique qui renfermera tout point propre à remplir cette condition, on commencera par chercher un semblable point, par exemple celui dont la distance aux points donnés est une longueur donnée suffisamment grande. Or la solution de ce dernier problème se déduira immédiatement de la solution du problème IIF, deux fois répétée, et fournira même d’un seul coup deux points qui rempliront la condition proposée, par conséquent deux points qui suffiront pour déterminer le lieu géométrique demandé.

Ainsi encore, s'agit-il de résoudre le problème XV, c’est-à-dire de trouver un point dont les distances à deux points donnés fournissent des carrés dont la somme soit un carré donné, et, par conséquent, de construire le lieu géométrique qui renferme tout point propre à remplir cette condition, on pourra commencer par chercher un semblable point, par exemple celui qui sera situé à égale distance des deux points donnés, et, par conséquent, séparé de chacun d'eux par une distance équivalente à la moitié de la diagonale du carré donné. Or, la solution de ce dernier problème se déduira encore immédiatement de la solution du problème III, deux fois répétée, et fournira même d’un seul coup deux points qui rempliront la condition proposée. Il y a plus : ces deux points seront précisément les deux extrémités d’un diamètre du cercle dont la circonférence représentera le lieu géométrique demandé.

Dans le paragraphe qu’on vient de lire, nous nous sommes contenté de rappeler la marche que l’on doit généralement suivre quand on se propose de résoudre, sans le secours de l'Analyse, les problèmes de Géométrie plane. Il est bon d’entrer à ce sujet dans quelques détails, pour faire plus facilement comprendre ce qui nous reste à dire sur l'application de l'Analyse à la solution de ces mêmes problèmes.

Du reste, autant que j'en puis juger lorsque je consulte des souvenirs qui remontent déjà fort loin, ce que j'ai dit ici sur la résolution des problèmes de Géométrie n’est que le développement de quelquesuns des principes exposés par M. Dinet dans le cours si utile que cet habile professeur faisait au lycée Napoléon, il y a près de quarante années.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la synthèse algébrique (suite).