C. R., T. XVI, p. 1039 (15 mai

$ III. — Application de l'Analyse à la solution des problèmes de Géométrie plane.

Comme nous l'avons remarqué dans le paragraphe précédent, lorsqu'un problème quelconque de Géométrie plane est résoluble par la règle et le compas, la solution de ce problème peut toujours être réduite à la détermination successive d’un certain nombre de points, par conséquent à la solution de plusieurs problèmes simples, dans chacun desquels il s’agit de déterminer un seul point inconnu. D’ailleurs, dans tout problème simple de cette espèce, le point inconnu est généralement déterminé par deux conditions, dont chacune se trouve exprimée par une équation quand on traduit en Analyse l’énoncé de ce problème. En vertu d’une seule de ces deux conditions, le point inconnu ne serait pas complètement déterminé : il se trouverait seulement assujetti à coincider avec l’un des points situés sur une certaine ligne droite ou courbe correspondante à cette condition, et représentée par l'équation qui l'exprime. Mais, si l’on a égard aux deux conditions réunies, le point inconnu, devant être situé en même temps sur les deux lignes correspondantes aux deux conditions, ne pourra être que l’un des points communs à ces deux lignes. Ainsi un problème simple et déterminé peut toujours être considéré comme

ŒEuvres de C. — S.N,t. VIH.

k10 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

résultant de la combinaison de deux autres problèmes simples, mais indéterminés, dont chacun consiste à trouver un point qui remplisse une seule condition, ou plutôt le lieu géométrique de tous les points qui, en nombre infini, remplissent la condition donnée; et la solution des problèmes de Géométrie plane peut être généralement réduite à la recherche des lieux géométriques qui correspondent à certaines conditions. Dans le $ IT, nous avons passé en revue divers problèmes simples et indéterminés dont les solutions se déduisent assez facilement de théorèmes connus de Géométrie; mais il importe d'observer que l’on arriverait à ces mêmes conditions d’une manière plus directe, et sans aucun tàätonnement, si l’on commençait par traduire l'énoncé de chaque problème en Analyse. Ainsi, en particulier, s'agit-il de résoudre les problèmes VI, XIT, XIV, XV du $ If, c’est-à-dire de trouver, dans un plan donné, un point dont les distances r, r,, à deux points donnés, soient égales entre elles, ou soient entre elles dans un “rapport donné 0, ou fournissent des carrés r?, r?, dont la somme ou la différence soit un carré donné Æ?, alors le lieu géométrique corres- pondant à la condition proposée se trouvera représenté par l’une des équations |

(2) Ts (3) PHP As, (4) "PnFè Re,

Si d’ailleurs on nomme x, y les coordonnées rectangulaires du point inconnu; &, b, à,, b, celles des points donnés, on aura

et, par suite, pour transformer les deux membres de l'équation (1) ou (2) en fonctions entières de æ, y, il suffira d'élever chacun d’eux au carré. En opérant ainsi, on obtiendra, au lieu de l’équation (x), la

formule v r? = La

EXTRAIT N° 212. h11

ou (6) r— r?— 0; et, au lieu de l'équation (2), la formule

ou

Or il résulte immédiatement des formules (5) que les premiers membres des équations (4), (6) se réduiront à des fonctions linéaires de +, y, et les premiers membres des équations (3), (7) à des fonctions du second degré, dans lesquelles les carrés de x et de y se trouveront multipliés par le même coefficient. Donc les équations (4), (6) représenteront deux lignes droites, et les équations (3), (7) deux circonférences de cercle. Il y a plus : comme les valeurs de r? et de r”, et, par suite, les premiers membres des équations (3), (4), (6), (7) cesseront de renfermer un terme proportionnel à l’ordonnée y, si les ordonnées b, b, des deux points donnés s’évanouissent, on peut affirmer que les lieux géométriques représentés par les équations (4) et (6), ou par les équations (3) et (7), seront, d’une part, des axes perpendiculaires à la droite qui joint les deux points donnés; d’autre part, des circonférences de cercle dont les centres seront situés sur cette même droite. Donc, pour résoudre les problèmes VI et XV, ou XII et XIV du $ IF, il suffira de joindre les deux points donnés par une droite, puis d’élever une perpendiculaire à cette droite par celui de ses points qui remplit la condition donnée, ou de tracer une circonférence de cercle dont un diamètre ait pour extrémités les deux points qui, sur la même droite, remplissent la condition prescrite. On se trouvera ainsi ramené aux solutions que nous avons données, dans le $ IT, des quatre problèmes ci-dessus rappelés. Ajoutons que, dans ces mêmes solutions, le point unique ou les deux points par lesquels doit passer le lieu géométrique cherché pourraient être censés coincider, non plus avec un ou deux points de la droite qui joint les deux

points donnés, mais avec l’un quelconque ou avec deux quelconques des points qui remplissent la condition énoncée.

Parmi les conditions auxquelles peut être assujetti un point (æ,Yy) donné dans un plan, on doit remarquer celle qui exprime que les tangentes menées de ce point à deux cercles donnés sont égales entre elles. Soient r, r les rayons de ces deux cercles, et a, b, a,, b les coordonnées de leurs centres. Les équations des deux cercles seront de la

forme (8) Ho, H=0, les valeurs de À, R, étant

R=(z—-a)}+(y—b)} —r?; et, si le point (æ,y) est extérieur aux deux cercles, À, R, seront précisément, en vertu de la remarque faite à la page 393, les carrés des tangentes menées du point (æ, y) aux deux cercles donnés. Donc le lieu géométrique de tous les points qui rempliront la condition ci-dessus énoncée sera représenté par l'équation

ou, Ce qui revient au même, par l'équation (11) FER,

D'ailleurs, comme la différence À — R sera une fonction linéaire de æ, y, ce lieu géométrique se réduira toujours à une droite. Si les deux cercles se coupent, cette droite passera nécessairement par les deux points d’intersection et se confondra, en conséquence, avec la corde commune aux deux cercles. Alors, en vertu de l'équation (11) et de ce qui à été dit dans le $ 1, chaque point de la droite intérieur aux deux cercles sera le milieu de deux cordes égales inscrites dans l’un et l’autre cercle. Dans tous les cas, si par un point O de la droite on mène deux sécantes dont l’une rencontre le premier cercle, l’autre

EXTRAIT N° 212. h13

le second, le produit des deux distances mesurées sur la première sécante, entre le point O et la première circonférence, sera équivalent au produit des deux distances mesurées sur la deuxième sécante entre le point O et la seconde circonférence. Enfin la racine carrée de chaque produit sera en même temps la longueur de la tangente ou de la plus petite corde menée à l’une des circonférences par le point O.

La droite dont nous venons de rappeler les propriétés est celle qui a été nommée par M. Poncelet la sécante commune réelle ou idéale de deux cercles donnés, et par M. Gaultier, de Tours, l'axe radical du système de ces deux cercles. Pour la tracer, il suffira de construire deux de ses points ou d’en construire un seul, et d’abaisser de ce point une perpendiculaire sur la droite qui joint les centres des deux cercles donnés.

Si, au lieu de deux cercles, on en considère trois dont les équations

soient respectivement

(12) H=+10, F | fred à À 50:

la valeur de À, étant de la forme

les trois axes radicaux relatifs à ces mêmes cercles combinés deux à deux se couperont évidemment en un seul point dont les coordonnées seront déterminées par la formule

Ce point unique est celui que M. Gaultier, de Tours, a nommé le centre radical du système des trois cercles donnés. Pour le déterminer, il suffit de couper les circonférences des trois cercles donnés par une quatrième circonférence de cercle; de trouver les cordes communes au nouveau cercle et aux trois premiers; puis d’abaisser des sommets du triangle formé par ces trois cordes des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle formé avec les centres des cercles donnés. Le point de concours de ces perpendiculaires sera précisément le centre

radical cherché. On pourrait aussi, après avoir coupé les circonférences des trois premiers cercles par deux circonférences nouvelles, se contenter de joindre par trois droites les sommets correspondants des deux triangles formés par les cordes d’intersection de chacune des nouvelles circonférences avec les trois circonférences données. Les trois droites, ainsi construites, aboutiraient encore au centre radical cherché. :

Faisons voir maintenant comment l'Analyse, appliquée à des problèmes de Géométrie plane, peut conduire à des solutions simples et même élégantes, lorsque ces problèmes sont résolubles par la règle et le compas. |

Supposons d’abord qu'il s'agisse de mener par un point donné une tangente à un cercle donné. Si, en prenant pour origine le centre du

cercle, on nomme r son rayon, l'équation du cercle sera (15). Die PT,

Si, de plus, on nomme x, y les coordonnées courantes de la tangente, l'équation de cette droite sera

(16) | x(x—zx)+y(y—y)—0;

æ, y désignant alors les coordonnées du point de contact. Enfin, si l'on suppose que, dans l'équation (16), les coordonnées x, y deviennent précisément celles du point donné, les coordonnées +, y du point de contact se trouveront complètement déterminées par cette équation (16) jointe à la formule (15). Or, dans cette nouvelle hypothèse, l'équation (16) représentera évidemment, non plus une droite dont les coordonnées courantes seront x, y, mais une circonférence de cercle dont les coordonnées courantes seront +, y, et qui aura pour diamètre la droite menée de l’origine au point donné (x, y). Donc le point de contact sera le point où cette nouvelle circonférence rencontrera la circonférence donnée que représente la formule (15); et l'on se trouvera ainsi ramené à la solution connue du problème ci-dessus énoncé.

EXTRAIT N° 212. k15

Supposons, en second lieu, qu’il s'agisse de tracer, dans un plan

donné, un cercle tangent à trois cercles donnés. Nommons

r, r, r, les rayons des trois cercles donnés;

a, b, a,, b,, a,, b, les coordonnées de leurs centres C, C,, C, ;

e le rayon du cercle tangent aux trois cercles ;

æ, y les coordonnées du centre du dernier cercle;

x, y les coordonnées du point où ce nouveau cercle touchera le pre-

mier des trois cercles donnés.

Et concevons d’abord, pour fixer les idées, que, les trois cercles donnés étant extérieurs l’un à l’autre, le nouveau cercle doive toucher chacun d’eux extérieurement. Puisque la distance du point (x, y) au point (a, b) sera r + p, on aura

(z—a}+(y —0b Y=(r +p}; on trouvera de même

(ær= mire (y ne db, P={r,;+p},

et l’on pourra déduire immédiatement des équations (17) les valeurs des trois inconnues +, y, 2. Ce n’est pas tout : puisque les trois points (a, b), (x, y) et (x, y) seront situés sur une même droite, le premier étant séparé du second par la distance r, et du troisième par la distance r + p, on aura

Xi: Y:10..ur

tu Lo Nb TH p.

et, à l’aide des deux équations que représente la formule (18), on pourra déduire les valeurs des deux inconnues x, y de celles des trois inconnues æ, y, p. Mais, si l’on voulait construire géométriquement les valeurs des inconnues

Ty Vs Ps Xs

tirées par le calcul des équations (17) et (18), on obtiendrait une solution fort peu élégante du problème proposé. Or on peut éviter cet inconvénient en opérant de la manière suivante.

Chacune des équations (17) est du second degré par rapport aux trois inconnues +, y, p. Mais, comme les termes du second degré se réduisent, dans le premier membre de chacune d’elles, à la somme x*+ y?, et, dans le second membre, au carré de p, il suffira évidemment de combiner ces trois équations entre elles par voie de soustraction pour obtenir deux équations distinctes du premier degré entre les trois inconnues +, y, op. Si, pour abréger, on nomme &, &,, &, trois fonctions de ces inconnues déterminées par les trois formules

| R —=(æ—a }+(y—b }—(r +p}, (19) CAR, {era PSP (FRS Rte) re 6, Pr + hp}

les équations (17) deviendront

(20) REG ha; =; À. bem à

1/4 et celles que l’on en déduira, par voie de soustraction, savoir (21) R,—R— 0, R,—R— 0,

seront deux équations linéaires entre æ, y et p. Or il suffira évidemment d'éliminer l’inconnue p entre ces deux équations linéaires pour obtenir, entre les seules coordonnées x, y, une troisième équation linéaire qui représentera une certaine droite OA, sur laquelle devra se trouver le centre du cercle cherché.

Ce n’est pas tout : il est aisé de s’assurer que, si l’on élimine les trois inconnues +, y, p entre les quatre équations représentées par les formules (18) et (21), on obtiendra une nouvelle équation linéaire entre les seules inconnues x, y. En effet, soient Æ et X, ce que deviennent les valeurs de &,, &, fournies par les équations (19), quand on y suppose à la fois

FE en DER Comme cette même Supposition réduit & à zéro, par conséquent

R—R à K et R,—R à K

EXTRAIT No 212.

= de

elle réduira chacun des rapports