RAR AN

à l'unité. Donc, pour vérifier l'équation linéaire

HR: À eh (22) L ANUS

qui se déduit immédiatement des formules (21), il suffira de poser

T—Aa—O, Y—0—=0, r+p—o.

Donc l'équation (22) sera de la forme (23) a(æ—a)+6(y—b)+y(p+r)—=o,

2, 6, y désignant des coefficients constants. Or, de l'équation (23) jointe à la formule (18), on tire

(24) a (A AIRE) + yr— 0.

Donc l'élimination des inconnues x, y, » entre les formules (18) et (21) fournira, entre les seules inconnues x, y, une nouvelle équation linéaire, par conséquent l'équation d’une nouvelle droite PB qui devra renfermer le point (x, y). Ce point, devant d’ailleurs être situé sur la circonférence du premier des cercles donnés, ne pourra être que l’un des points communs à cette circonférence et à la nouvelle droite dont il s’agit. D'autre part, le point (x, y) étant connu, il suffira de joindre ce point au centre du premier des cercles donnés pour obtenir une droite dont le prolongement coupera la droite OA au point cherché (+, y); et, de cette manière, on obtiendra facilement le centre du cercle tangent extérieurement aux trois cercles donnés. Ajoutons que, si le cercle cherché devait être touché, non plus extérieurement, mais intérieurement, par un ou plusieurs des cercles donnés, les éliminations ci-dessus indiquées fourniraient toujours les équations de deux droites, dont l’une OA renfermerait le point (x, y), l’autre PB le point (x, y). Seulement, avant d'effectuer ces élimina- OEuvres de C.— S.I,t. VIL. 53

h18 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tions, on devrait, dans les formules (17), (18), (19), c’est-à-dire dans les équations fournies par l'énoncé du problème, remplacer respectivement un ou plusieurs des trois binômes

PER: Pons Tate par un ou plusieurs des trois binômes correspondants Fr pp ere Pr Ter be

Enfin, sous cette condition, on peut évidemment étendre les conclusions auxquelles nous venons de parvenir au cas même où les trois cercles donnés ne seraient plus extérieurs l’un à l’autre, comme on lavait primitivement supposé. Alors les valeurs de

ou les premiers membres des équations (20), se trouveront générale-

ment déterminées, non plus par les équations (19), mais par les sui-

vantes Me ar (25) {R,—=(x—-a }+(y—0b,)}}—(r, Ep}, {a R,=(c-a,)+{(r-0,) = (Tr, Ep)

et à la formule (18) on pourra substituer celle-ci

X — — b r 6 eee an æ—a Y—b r+o

nl

le choix du signe qui doit affecter 9 étant réglé de la même maniere dans la formule (26) et dans la première des équations (25).

Il est bon d'observer que les équations (21) peuvent être remplacées par la seule formule

(27) RER, et que, en conséquence, les équations des deux droites OA, PB pourront toujours se déduire des formules (26), (27). D'ailleurs, si les

cinq inconnues ; Ty Jr Xs Yr À

sont uniquement assujetties aux quatre équations représentées par les

deux formules (26) et (27), ces inconnues ne se trouveront pas complètement déterminées. Mais alors, pour chaque valeur donnée de p, on obtiendra des valeurs correspondantes de æ, y et de x, y, qui représenteront les coordonnées de deux points À et B situés l’un sur la droite OA, l’autre sur la droite OB. Il y a plus : ces deux points seront faciles à construire pour chaque valeur de p, comme nous allons Île faire voir.

Remarquons d’abord que, eu égard aux formules (25), les équations (20) représenteront, pour une valeur nulle de 2, les circonférences des trois cercles donnés, et pour une valeur quelconque de p les circonférences de trois nouveaux cercles concentriques aux trois premiers, mais dont les rayons seront les valeurs numériques des trois sommes ou des trois différences qu'on obtiendra, en augmentant ou diminuant de la longueur & les trois rayons r, r,, r,. Cela posé, si les trois nouveaux cercles se rencontrent deux à deux, les équations (27), dont chacune sera linéaire, représenteront nécessairement les cordes d'intersection du premier avec le second et avec le troisième; par conséquent les coordonnées æ, y, déterminées en fonction de 5, par la formule (27), seront celles du point d’intersection des trois cordes communes aux trois nouveaux cercles, combinés deux à deux. Dans tous les cas, le point (x, y) ne sera autre chose que le centre radical correspondant au système des trois cercles représentés par les équations (27), c’est-à-dire au système des trois cercles décrits des centres C, C,, CG, avec les rayons représentés par les valeurs numériques des binômes

aire Palace) DprantT

Après avoir construit, pour une valeur donnée de s, le point A dont les coordonnées æ, y sont déterminées par les équations (21), ou, ce qui revient au même, par la formule (25), on pourra sans difficulté construire encore le point B dont les coordonnées x, y seront déterminées par la formule (26). Car, en vertu de cette dernière formule, si l’on joint par une droite le point dont les coordonnées sont &, b, c'està-dire le centre C du premier des cercles donnés, au point (æ,Y),il

suffira, pour obtenir le nouveau point (x, y), de porter, à partir du point C, sur la même droite ou sur son prolongement, une longueur qui soit à celle de la droite dans le rapport de la distance r à la valeur numérique de la somme r +, le prolongement de la droite devant être substitué à la droite elle-même lorsque r + » se réduit à r — , et r — p à une quantité négative.

Une observation importante à faire, c’est qu’il existe deux valeurs particulières de p pour lesquelles la détermination du point B se simplifie notablement. Ces deux valeurs sont

Lorsqu'on adopte la première, la formule (26) donne (28) En 04 Y= Ÿ»

et, par suite, le point (x, y) se confond avec le point (æ, y). Donc le point d’intersection des axes radicaux, dont chacun sera commun à deux des cercles donnés, appartiendra simultanément aux deux droites OA, PB. Nous désignerons par O ce même point, avec lequel nous ferons coincider le point P, en sorte que les deux droites OA et PB ou OB pourront ètre censées partir l’une et l’autre du point O.

Supposons maintenant p —r, et réduisons dans la formule (26) le double signe au signe +. Cette formule donnera

(29) 4 Donc alors le point B ou (x, y) sera le milieu de la droite menée du point C au point À ou (æ, y).

Remarquons encore que les équations des droites OA, OB, étant indépendantes de la valeur attribuée à », ne seront point altérées si, dans les formules (25) et (26), on change o en — 9. Par suite, les positions que pourra prendre chacune des droites OA, OB, en raison du double signe renfermé dans les trois binômes

Fr? r, EP, yep

que contiennent les formules (25) et (26), seront, non pas au nombre de huit, comme d’abord on aurait pu le croire, mais au nombre de quatre seulement.

En résumant ce qui précède, et supposant, pour fixer les idées, que r désigne le plus petit des trois rayons r, r,, r,, on obtient la solution suivante du problème, qui consiste à tracer dans un plan donné un cercle tangent à trois cercles donnés, décrits des centres C, C,, C, avec

les rayons r, r,,r.

On déterminera d'abord le centre radical O correspondant au système des cercles donnés, puis le centre radical A correspondant au système des

trois cercles décrits des mêmes centres C, C,, C, avec les rayons

Enfin on joindra le point O au milieu B de la droite CA. La droite OB ainsi tracée coupera le premier des cercles donnés en deux ponts T, dont chacun sera un point de contact de ce cercle avec un nouveau cercle tangent aux trois cercles donnés. Pour avoir le centre correspondant du nouveau cercle, il suffira de chercher le point où le rayon CT du premier cercle

rencontrera la droite OA.

On voit que la méthode qui nous a conduit à cette solution consiste, non pas à résoudre les équations qui représentent l'énoncé du problème traduit en analyse, mais à combiner ces équations entre elles, à l’aide d’une espèce de synthèse algébrique, de manière à obtenir des équations nouvelles et plus simples qui représentent des lignes dont la construction fournisse la solution cherchée.

Au reste, il est juste d'observer que plusieurs solutions élégantes, données par divers auteurs, du problème que nous venons de rappeler, particulièrement celles qui ont été publiées par MM. Hachette, Gaultier (de Tours), Gergonne, Poncelet, Steiner et Plücker, reposent, comme la précédente, sur la construction du centre radical O et des droites OA, OB. La principale différence entre ces solutions et celle que j'ai indiquée consiste dans la manière d'obtenir le point B. On doit

remarquer surtout un Mémoire de M. Gergonne, lu à l’Académie de Turin, le 2 mai 1814, et publié par cette Académie. Dans ce Mémoire, qui jusqu'ici avait échappé à mes recherches, l’auteur se sert aussi, pour arriver à la solution du problème, d’une analyse avec laquelle la mienne s'accorde sur plusieurs points, tandis qu’elle en diffère sur quelques autres. Son Mémoire peut être considéré comme offrant une application de la synthèse algébrique à la Géométrie.

S IV. — Sur la solution des problèmes de Géométrie dans l’espace.

Ce que nous avons dit dans les paragraphes précédents peut être facilement étendu au cas où il s’agit de résoudre un problème de Géométrie dans l’espace. Ainsi, par exemple, un tel problème, quand il sera résoluble par la règle et le compas, pourra toujours être réduit à la recherche d’un certain nombre de points, et par conséquent décomposé en problèmes simples dont chacun aura pour objet la recherche d'un seul point. De plus, un point inconnu devant être généralement déterminé à l’aide de trois conditions, chaque problème simple et déterminé se décomposera encore en trois problèmes simples, mais indéterminés, dont chacun donnera pour solution une surfaçe plane ou courbe, propre à représenter Le lieu géométrique de tous les points qui rempliront une seule des trois conditions données. Enfin la solution des problèmes simples et indéterminés s'effectuera aisément à l’aide de l’Analyse. On pourra même, par la synthèse algébrique, obtenir des solutions élégantes de problèmes déterminés, par exemple de celui qui consiste à racer une sphère tangente à quatre sphères données dont les centres sont C, C,, C

C,, et les rayons r,r, r,,r.

Si l'on applique en particulier à ce dernier problème une analyse semblable à celle que nous avons employée dans le second paragraphe, alors, en supposant, pour fixer les idées, que r soit le plus petit des quatre rayons, on obtiendra la solution suivante :

Déterminez le centre radical O correspondant au système des quatre

sphères, puis le centre radical À correspondant au système de quatre nou-

velles sphères décrites des centres &, C,, G,, C,, avec les rayons

ER Er