AR ART SAR ER
les plus grands modules des fonctions
correspondants aux modules X» Jr 47; 2 4 D | t, Us, Us,
des accroissements imaginaires
Ms Vis. res F3
Enfin concevons que, À, ps, v, ... désignant des quantités positives arbitrairement choisies, on nomme
À le plus grand des rapports … » — Ù ) W le plus grand des rapports 2 , , %,le plus grand des rapports .—. ) , 1, le plus grand des rapports ee ) Le E PF X le plus grand des rapports ee ; 2.
Des limites supérieures aux modules de l'expression (6) et des ex-
pressions analogues seront données par des formules semblables à celles-ci
ÀX 6. UP UNE.
(7) mod. D£D,...D'DSDS...K <N-
la valeur de N étant
D'autre part, si l’on considère le cas particulier où la fonction K serait de la forme
RDF. st um" ..., k désignant une quantité constante; alors, en posant, après les diffé-
rentiations CEST, D, Di y dr
on trouvera
(8) D£D2...DIDZ D. K—N
et, pour déduire le second membre de la formule (7) du second membre de la formule (8), il suffira évidemment de poser dans celui-ci
CR AL PER eh DV MU, LS Da
et, de plus, MR Tam iartot... = A,
par conséquent REY... To). 1,
les valeurs de æ, y, ..., 7, w, w,, ... étant celles que donnent les formules (9). Cela posé, : étant toujours le module de £ — +, veut-on =. trouver une fonction de t qui, développée par le théorème de Maclaurin suivant les puissances ascendantes de 1, fournisse une série de termes respectivement supérieurs aux modules des termes correspondants de la série
(10) L(é—zr), L(£—T), ...,
à laquelle se réduirait, en vertu du théorème de Taylor, le développement de la différence & — w? Il suffira évidemment de chercher la valeur particulière de & — w correspondante au cas où, dans les équa-
tions (1), on aurait simultanément
! ‘ . =+ Re MU PT ET !
: = OS A ne 7 (11) ut A LT B;° B, Re pe M | MU Ge lU :
= = RE LE MT De Me
puis de remplacer dans cette valeur particulière les quantités
D PU 8 6 du vis OS ETS
par leurs valeurs tirées des équations (9) jointes aux deux formules
(12) nes en RAS TU)G) RAR LR LR T Li PET EDR:
(13) rt,
En opérant ainsi, on verra d’abord les équations (1) se réduire à celles
que comprend la formule
(4) Do Do, = __ aD,o + bD,5 +...+ a D, + b, D, +...+ k° À — ee 0 —
2 TY...1WU01...
On aura donc, en premier lieu,
D,5w Qi: D,5s PRE 1 D et, par suite, en assujettissant 5, 5,, ... à vérifier les conditions (3),
pour =, Cr CPR CE Verre) TR IL
Nommons 2 la valeur commune de tous les rapports que renferme la
EXTRAIT N° 171. 39 dernière équation; on aura
D — 6 Di 0)
1 = u “ein im Où
par conséquent (19) O — o — À8, Di — 61 — HUB, et la formule (14) donnera simplement
‘hi Qa+pa+...)Des+(b+pbi+...)Dy8 +... +4 Fu æy3...4(0 + À8) (oi +8)...
Il reste à intégrer cette dernière, de manière que la condition
(17) | Fra à
à laquelle les conditions (3) se réduisent, en vertu des formules (15), se trouve vérifiée pour { — 7. Or, sous cette condition, et en posant,
pour abréger, ST D,3,
on trouvera, par une analyse semblable à celle que nous avons développée dans le précédent Mémoire,
(18) La Pr [ren + f° re 5e 25 |,
les valeurs de @ et de f(0) étant
| =(1—{0)(i+ks)...
| 6) on
ka ait À + Fr =(i+ LE 8) (re 6).
puis, en intégrant l’équation (18) par rapport à £ et à # considéré comme fonction de £, après avoir multiplié les deux membres par
sdt—D,8dt, on en conclura
à AMI: < Sr 4 (20) (= — Lf fG)de+ f L Lu 548 dd.
Û o wo
DR 2 il TES
Si, dans les formules (19) et (20), on substitue les valeurs de PV di ne ar Ne be nie 0 D D... .X
fournies par les équations (9), (12) et (13), on trouvera
) Fo / À db + pb +... AV + pb, +...
RE UeTES un Br (HE (RER 0
land ui) = fred [fre one usa,
Si, pour abréger, on pose
(23) emu(—;)
: sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances de 1, tant que l’on aura
(24) tete
Supposons cette condition remplie, l'équation (22), résolue par rapport à à, offrira une racine positive qui pourra être elle-même déve-
loppée par le théorème de Lagrange suivant les puissances ascendantes de e et de t, si l’on a
(25) <x|[ ru) de+ ff Léa 5)D06 du 9
& étant la plus petite racine positive de l'équation : 8 (26) r() + fl (8 — 6)D58 dû — 0,
Il'est d’ailleurs facile de prouver que cette dernière équation admettra effectivement une ou plusieurs racines positives inférieures au plus petit des rapports
XX X Y v:- 0 Re + iso M RS, FE ARTE
EXTRAIT N° 171. h1
En résumé, quand le module : de la différence 4? — + offrira une valeur assez petite pour que les conditions (24) et (25) se vérifient, l'équation (22) offrira une racine développable, par la formule de Lagrange, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de £ ou même de &. Alors aussi, en vertu des principes ci-dessus établis, l’inconnue 5, ou même chacune des inconnues
Dy Mis +.)
sera développable, par la formule de Taylor, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de :, et les séries que l’on obtiendra en substituant le développement trouvé de # dans les seconds membres des équations (15) se composeront de termes respectivement supérieurs aux modules des termes correspondants des séries qui représenteront les développements des différences
Il est bon de remarquer que si, dans les équations (1), les fonc-
tions Re RS OR RS Moins ::.. Kuk,
cessaient de renfermer explicitement la variable 4, la condition (24) disparaitrait. Alors aussi on pourrait, dans les formules (22) et (25), réduire simplement à : le produit
ufi-i)=e.
ir
Nous avons supposé, dans ce qui précède, les valeurs initiales ©, w,, ... des inconnues 5, 5,, ... réduites à des constantes. On peut aisément ramener à ce cas particulier le cas plus général où &w, w,, seraient des fonctions données de æ, y, 3, ..., en substituant aux inconnues 5, &,, ... des inconnues nouvelles qui seraient égales aux
différences LE Pre € Di — Us ...,
ou à ces différences augmentées de quantités constantes. OEuvres de C. — S.I,t. VII. ‘ 6
On pourrait simplifier un peu les formules obtenues dans ce paragraphe en réduisant à l’unité chacune des constantes positives
M MEN -i
mais il est avantageux d’y laisser ces constantes indéterminées, afin de pouvoir en disposer, dans chaque cas particulier, de manière à augmenter autant que possible la limite supérieure au module 1.
En terminant ce paragraphe, nous ferons observer que si, dans les équations (1), l’on réduit à zéro les fonctions
D As mes: Da MS 0 0 Mie US OO CR
sans faire évanouir K, K’, ..., on obtiendra simplement les équations
différentielles D,5 —K, Dw;=K",
Alors aussi la seconde des formules (21) donnera LT D md 1 et si l’on prend
\—AK, p—AK!,
on pourra supposer encore RE
Cela posé, l'équation (26) étant réduite à
la plus petite racine positive « de cette même équation sera égale au plus petit des rapports
et, à la place des formules (22), (25), on obtiendra les suivantes :
ME: 8 ufr) = | (50) (1—#9).….a5, LE 0 ee UV:
On se trouvera ainsi ramené, pour un système d'équations différentielles, aux formules déjà obtenues dans un précédent Mémoire.
S IE. — Application du calcul des limites à l'intégration des équations auxiliaires.
Considérons maintenant des équations aux dérivées partielles qui ne soient pas linéaires, et supposons d’abord que ces équations soient du premier ordre; elles renfermeront, avee les variables indépendantes
et les inconnues PU rad
leurs dérivées du premier ordre
D.w, D,w,; ..., Dis; D:o, D,o:, Dam;
et pourront être généralement résolues par rapport aux dérivées Ds, Ds,
Si, en vertu des équations données, les valeurs générales de ces dernières-s’évanouissaient, alors, ces équations pouvant être réduites aux suivantes | (1) D,& = 0, 0: —=60,
leurs intégrales seraient de la forme
(2) D—G, ii;
w, &,,... désignant des fonctions des seules variables æ, y, :, ..., et l’on pourrait d’ailleurs choisir arbitrairement les valeurs initiales de D, 5, -.. l'eprésentées par ©, w,, .... Si les équations données ne se réduisent pas aux formules (1), leurs intégrales ne seront plus représentées par les formules (2), mais on pourra se proposer d'intégrer ces équations de manière que les formules (2) se vérifient, pour une valeur particulière de £, par exemple, pour {= 7. On y parviendra, en effet, à l’aide de l'analyse que nous allons indiquer.
Considérons, en premier lieu, le cas où les équations données se
réduisent à une seule; celle-ci sera de la forme
(3) Fiz, 7, -. to, Du,),0,..., Dm)
et il s'agira de l'intégrer de manière que, pour {= 7, on ait COS. D —0,
w étant uné fonction donnée quelconque de x, y, z, .... Or, à l'équation (3), qui n’est pas linéaire, on peut substituer la formule
(5) FOR, Ms es BE D ES jointe au système des équations (6) PEN qg =D,s, SE s—D,x,
qui sont toutes linéaires par rapport aux dérivées qu’elles renferment. I y a plus, si s n'entre pas explicitement dans la formule (5), c’està-dire si cette formule se réduit à
(7) LE CPR CURE PE AT PORN D
alors, pour réduire le problème à la détermination des seules inconnues p, q, ..., $, 11 suffira de joindre à la formule (7) celles que fournit l'élimination de 5 entre les équations (6), ou, ce qui revient au même, les conditions d’intégrabilité de la formule
(8) do = p dx + q dy +...+s dt,
et de substituer en même temps à la condition (4) Le système des con-
ditions (9) P=D;0, g=D,0, Re
qui devront toutes se vérifier pour 4 — =. D'ailleurs, parmi les conditions d’intégrabilité de la formule (8), les unes, savoir
(10) Dp=D;s, D,g —D;s, Tes
renfermeront les dérivées de p, q, ... relatives à 4, tandis que les
EXTRAIT N° 171. 45 autres, savoir (11) D,p = D;g, Te
renfermeront seulement les dérivées de p, g, ..…. relatives à æ, y, ...; et il est clair que, après avoir éliminé s des équations (10) à l’aide de la formule (7), on obtiendra, entre les seules inconnues
Pr
des équations qui seront linéaires par rapport aux dérivées de ces inconnues. Done, pour intégrer ces équations de manière à remplir les conditions (9), il suffira de recourir à la méthode exposée dans le S Ier, Mais on peut demander si, cette intégration étant effectuée, les valeurs trouvées de p, q, .. vérifieront les formules (11). Or on peut affirmer qu'il en sera ainsi. En effet, les formules (9) et (10) étant
vérifiées, on aura : 1° pour {= 7,
D,p =D,D,;s = D,g, par conséquent (12) D,p — D,;q—0; 2° quel que soit £, D,D;p =D,D;,s —D,D;9,
par conséquent
(13) D,(D,p — D>:qg)=o,
et il suffit d'intégrer par rapport à £ la formule (13), en ayant égard à la condition (12), pour retrouver immédiatement la première des formules (11). Chacune des formules (11) pouvant être ainsi retrouvée, chacune d'elles sera nécessairement vérifiée par les valeurs de
Ps; 4»
que l'on tirera des équations (3) et (ro) jointes aux conditions (9). D'ailleurs, les valeurs de p, g, ... étant connues, celle de s et celle de l’inconnue 5 seront immédiatement fournies par l'équation (7) et par
la dernière des formules (6), de laquelle on tirera
t (14) ouf s di.
Si le premier membre de l'équation aux dérivées partielles qu’il s’agit d'intégrer renfermait implicitement l’inconnue 5, c’est-à-dire si l'équation (5) cessait de se réduire à la formule (7), on pourrait chercher à exprimer
: Ps Ts est
non plus seulement en fonction de æ, y, 3, ..., t, mais en fonction de Ti Vs en ee CU
Alors, à la place des formules (10), on obtiendrait évidemment celles-ci
Go) Dip+sDap=D;s+pDss, D;9 +sDrg=D,s + q Ds, et pour trouver les valeurs des inconnues
Ps» 4;
considérées comme fonctions de æ, y, 3, ...,t, ©, il suffirait d’appliquer la méthode d'intégration exposée dans le $ I aux équations (15), après en avoir éliminé s à l’aide de la formule (5), et en assujettissant les inconnues p, g, ... à vérifier, pour — =, les conditions (9). Les valeurs de p, q, ... étant calculées, celle de s se déduirait de la formule (7); et, en la substituant dans la dernière des formules (6), on verrait celle-ci se réduire à une seule équation différentielle entre & etc. En intégrant cette équation différentielle de manière à vérifier la condition (4), on obtiendrait immédiatement la valeur de l’inconnue 5.
Nous venons d'examiner le cas particulier où les équations données se réduisent à une seule équation du premier ordre. Passons mainte-
nant au cas plus général où l’on donne plusieurs équations du premier ordre entre les variables indépendantes
