PACE 2 CE JMS ET

EXTRAIT No 171. 47

et les inconnues

D, Gi, Si l’on pose, pour abréger, p=bs, q =D,5, s sn:

Pi=D;:w:, qi D,w,, ; s—= D,5,,

ces équations seront de la forme

HO OMS GED 10,4, ...,%, VU PE MONS POP D mit À

ou même plus simplement de la forme

(17) RUSSE à Me RS LIT NT PP AN: CU LV OUPS SORDRS S oc

lorsqu'elles ne renfermeront pas explicitement les inconnues. Or, en raisonnant comme ci-dessus, on intégrera facilement le système des équations aux dérivées partielles (16) ou (17), de manière à vérifier les conditions (2). En effet, pour intégrer, sous ces conditions, le système des équations (17), il suffira d'intégrer le système des équations linéaires

Ge) Dp=be: Dee Dip—D:s, D,q.—D,si

*, après avoir éliminé s, s,, .….. à l’aide des formules (19), et en assujettissant les inconnues

P; 9; s..s Pis Gi

à vérifier, pour £ = 7, les conditions

(19) p=D;0, g =D,0, der s Pi= Dzroi, gi=Dy,o; As puis de déterminer

Sr St à l'aide des formules (17), et

D, Ti,

à l’aide des équations différentielles

(20) : LES ee PA ae, Vin

h8 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

desquelles on tirera immédiatement

t t (21) D — 6) — s dé, me f s, dt, T +

Si, à la place des formules (17), on donne à intégrer les formules (16), alors, en considérant

Ps Pine PE comme des fonctions de ns Vu Be ses À M on devra aux formules (19) substituer les suivantes

(22) D,p + s Dop + 8 Do,p +...=Dss + pDaos +piDo,si+...,

et les valeurs des inconnues 5, 5,, ... se déduiront, non plus des formules (21), mais seulement des formules (20), c’est-à-dire d'un système d'équations différentielles simultanées, que l’on devra intégrer

en assujettissant les inconnues 5, 5,, ... à vérifier, pour {= 7, les conditions (2). eu

Nous venons de voir que, pour réduire l'intégration des équations non linéaires, mais du premier ordre, à l'intégration des équations linéaires, il suffisait de substituer aux inconnues données des inconnues nouvelles dont le nombre était plus considérable. A l’aide du même artifice de calcul, on pourra réduire l'intégration des équations d'ordres supérieurs à l'intégration d'équations du premier ordre. Ainsi, par exemple, étant donnée, entre les variables indépendantes +, cet l’inconnue 5, une équation du second ordre, qui ne renferme pas explicitement cette inconnue, et qui par conséquent soit de la forme

(23) F(zx, t, D,o, D,w, D?w, D,D,w, D?w) — 0,

veut-on intégrer cette équation de manière à remplir, pour 4= 7, les conditions

(24) = 6; D,5 = vw),

| EXTRAIT N° 151. 49 w, w’ désignant deux fonctions données de æ? Il suffira de poser pb." s—=D,", puis d'intégrer les équations du premier ordre (25) OP Ep, 3, Di: Dis, Dis) = 0, 20, de manière à vérifier, pour 4 — 7, les conditions (26) Ptit, 0, et enfin de déterminer l’inconnue 5 à l’aide de l’équation D, —s,

de laquelle on tirera immédiatement

€ vue f s dt.