C.R., T. XVI, p. 1279 (12 juin

Après la lecture de ce Mémoire, M. Augustin Cauchy annonce que de son côté il a obtenu, sur les pôles et les polaires des divers ordres, quelques théorèmes sur lesquels il pourra revenir dans un prochain Compte rendu, et qu’ila communiqués en partie à M. Binet, au moment où celui-ci commençait à énoncer quelques-uns des résultats de son Mémoire. L'un de ces théorèmes est le suivant :

THéoRÈME. — Soit (1) A0 l'équation d'une courbe plane, $ élant une fonction des coordonnées rectangulaires æ, y. On sait que si, par le point (x, y),-on mène une tangente à la courbe, les coordonnées courantes de la tangente vérifieront l'équation (2) (x—æ)D,S+(y—7)D,S—o.

On sait encore que st, dans l'équation (2), on regarde x, ÿ comme constantes, celle équation et la suivante

(3) xD,:8+yD,S—zxD,8+ 7D,s +08

représenteront des lignes appelées polaires, qui renfermeront les points de Œuvres de C.— S,1, t. VII, 36

h42 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

contact de la courbe donnée avec les tangentes issues du pôle (x, Y), quel que soit d’ailleurs le coefficient 0, que l’on peut réduire, pour plus de simplicité, à une constante. Enfin st, le point (x, v) étant mobile, on trace, dans le plan de la courbe donnée, une droite AB dont les coordonnées courantes sotent représentées par X, Y, l'équation de cette droite sera de la

forme

(4) ax +6y—:1,

x, 6 désignant des quantités constantes, et il est clair que l'équation (4) sera réduite à l'équation (3) si les coordonnées x, y vérifient la formule

ë — de = æD,S + yD,S + 08.

Cela posé, on peut affirmer, non seulement que les points (x, y), détermunes par la formule (4), appartiendront à toutes les polaires correspondantes à un pôle quelconque pris sur la droite AB, mais encore que, si

l'équation (1) est de la forme (6) F(g- ay) =k

a, b, K designant des quantités constantes, et F(x, y) une fonction homogène de x, y, tous les points en question seront situés sur les droites menées du point (a, b) à ceux par lesquels on peut mener à la courbe que représente l'équation (6) ou la suivante

des tangentes parallèles à la droite que représente l'équation (4).

Le théorème précédent fournit, pour la construction de la tangente menée à un cercle par un point extérieur, divers procédés nouveaux, dont l’un surtout parait digne de remarque.

Un théorème semblable se rapporte au cas où l’on fait mouvoir sur

un plan le pôle qui sert de sommet au cône circonserit à une surface courbe donnée.