C. R., t. XV, p. 101 (18 juillet

Dans les précédents Mémoires, nous avons développé les intégrales d’un système d'équations différentielles ou aux dérivées partielles en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes d’un accroissement attribué à une variable indépendante qui, dans les questions de Mécanique, peut être censée représenter le temps. Souvent il arrive | que les séries de cette espèce restent convergentes, même au bout d'un temps considérable; mais alors, le plus ordinairement, on est obligé, pour obtenir un degré suffisant d’approximation, de calculer un très grand nombre de termes, et ce nombre croît sans cesse avec le temps, ce qui rend les calculs de plus en plus difficiles. On peut éviter cet inconvénient, dans beaucoup de cas, en développant les intégrales, non plus suivant les puissances ascendantes d’un accroissement attribué à l’une des variables indépendantes, mais suivant les puissances ascendantes d’un paramètre que renferment les équations données, ou même suivant les puissances ascendantes d’un paramètre que l’on introduit arbitrairement dans ces équations, sauf à lui attribuer plus tard une valeur numérique déterminée, en le réduisant, par exemple, à l'unité. Ainsi, en particulier, s'agit-il d'intégrer les équations différentielles du mouvement des planètes, on pourra multiplier les masses de ces astres, qui sont très petites relativement à la masse du Soleil, par un même facteur æ, comme je lai fait dans le Mémoire de 1831, puis développer les valeurs des inconnues suivant les puissances ascendantes de «, et poser, après les intégrations, « —1. Alors les

approximations des divers ordres fourniront des termes représentés par des intégrales définies des divers ordres et respectivement proportionnels aux diverses puissances des masses.

En général, si les équations données, étant réduites à des équations du premier ordre, sont présentées sous une forme telle que leurs premiers membres soient précisément les dérivées des inconnues relatives au temps, et si, dans ce cas, on développe les valeurs des inconnues en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes d’un paramètre avec lequel les seconds membres des équations s’évanouissent, les divers termes des séries obtenues seront représentés par des intégrales définies des divers ordres, et le calcul des limites fournira encore les conditions de la convergence des séries, avec les limites des erreurs que l’on commettra en arrêtant ces séries.après un certain nombre de termes. La recherche de ces conditions et de ces limites est l’un des principaux objets de mon nouveau Mémoire.

Je ferai, en terminant cet Article, une remarque importante. Lorsqu’en Astronomie on intègre les équations des mouvements planétaires par la méthode ci-dessus rappelée, alors, dans la détermination des éléments elliptiques, les approximations successives, et même l'approximation du premier ordre, qui a pour objet la recherche des quantités proportionnelles à la première puissance des masses des planètes, introduisent dans les intégrales des termes séculaires, c’està-dire proportionnels au temps. Il était done à désirer que l’on püt effectuer les développements des intégrales en séries de manière à éviter cette introduction. En m’occupant de cet objet, je suis encore parvenu à des résultats qui me paraissent dignes de quelque attention, et que j’exposerai dans un nouvel Article.

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les systèmes d'équations aux dérivées

paruelles d'ordres quelconques, et sur leur réduction à des systèmes

d'équations linéaires du premier ordre.