C. R., t. XV, p. 131 (25 juillet

Considérons d’abord une seule équation aux dérivées partielles entre linconnue 5 et plusieurs variables indépendantes

dont la dernière pourra représenter le temps. Si cette équation est du premier ordre, elle sera de la forme |

(1) Fz,7,,::4:0,D.u,D,o,.:.loise

et pourra être généralement résolue par rapport à la dérivée D,5. Si la même équation se réduisait simplement à

on la vérifierait en prenant

(3) Di,

w désignant une fonction des seules variables æ, y, ..., qui pourrait d’ailleurs être choisie arbitrairement. Si l'équation (1) ne se réduit pas à la formule (2), son intégrale ne pourra plus être représentée par la formule (3); mais alors on pourra se proposer d'intégrer l’équation (1), de manière que la condition (3) soit vérifiée pour une valeur

particulière de #, par exemple, pour 4— +. D'ailleurs, pour intégrer l'équation (1), jointe à la condition (3), il suffira d'intégrer un système d'équations qui seront linéaires au moins par rapport aux dérivées des inconnues, de manière à vérifier plusieurs conditions de la même espèce. C'est en effet ce que l’on peut démontrer comme il suit.

Représentons par une seule lettre chacune des dérivées que renferme l'équation (1), et posons en conséquence

(4) Pet 0; J=bD,8, Le s=D,w.

L'équation (x), réduite à (5) Pis is 0 0;p;d;.: Jo,

renfermera, outre les variables indépendantes æ, y, ..…., #, les quantités variables D, PDP; FAN UE À qui pourront être censées représenter des inconnues, dont l’une s sera liée aux autres ®, P; 4;

par cette même équation. D'ailleurs, si l’on différentie par rapport à 4 ces dernières inconnues, les dérivées que l’on obtiendra, savoir

D,s, D,p, D,g, ACTE

pourront être exprimées par la fonction s et par ses dérivées relatives à æ, Y, 3, ...3; Car On aura évidemment

(6) D,w = s, Bip bis, D, =D,s,

Or, si l’on élimine s des équations (6) à l’aide de la formule (5), on obtiendra immédiatement, entre les variables indépendantes æ, y, ..…., tet les inconnues

BoDS War eur un système d'équations qui seront linéaires au moins par rapport aux dérivées des inconnues. J'ajoute que, si l’on intègre ces équations

linéaires de manière à vérifier, pour 4 =, la condition (3) et par conséquent les suivantes

(7) 4, PH =D; tr

l'équation (1) se trouvera par cela même intégrée, attendu que les

valeurs trouvées de D, pP, 4;

vérifieront, non seulement l'équation (1), mais encore les formules (4). Or, effectivement, la dernière des formules (4) coïncide avec la première des équations (6), et l’on tire de ces équations

D,p =D,D,®, D,q = D,D,s, RSR à

puis, en intégrant par rapport à #, et ayant égard aux conditions (7), que l’on suppose vérifiées pour { — 7, on trouve précisément

Considérons-maintenant une équation linéaire de l’ordre z entre les variables indépendantes æ, y, ..., { et l’inconnue 5. Dans le cas Île plus général, cette équation renfermera toutes les dérivées partielles de & d’un ordre égal ou inférieur à 2, et sera par conséquent de la

forme

(8) F(x,7,.:.,6,0,Deu, D,w,..., D, Do, D,D,s, ..., D'æ) — 0. S1 cette même équation résolue par rapport à £ se réduisait à |

on le vérifierait en prenant

7 désignant une valeur particulière de £, et ER LR INT À | it les valeurs correspondantes de D DE DU Dr 6:

Ajoutons que la valeur dé 5, déterminée par la formule (10), a évidemment la double propriété de vérifier, quel que soit #, l’équation (9), et pour { — 7, les conditions

(40/0, D,5 = w', DU, HS D '5 =v%-1)

EXTRAIT N° 173. 5h)

D'ailleurs, dans la formule (10), COURS PET RTS ot,

peuvent être des fonctions données quelconques des seules variables