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SI l'équation (8) ne se réduit pas à la formule (9), on pourra se proposer encore de l'intégrer de manière à vérifier les conditions (11). D'ailleurs, pour y parvenir, il suffira d'intégrer un système d’équations linéaires, de manière à vérifier diverses conditions semblables aux conditions (11), et en opérant comme il suit.

Posons (12) Pt À 2 représentons encore par diverses lettres Ps:

celles des dérivées de & qui peuvent être renfermées généralement avec s dans l'équation (8), et prenons pour inconnues les quantités

variables D Di diiru:

L'équation (8), réduite à la formule (13) PURE 0 Pi: 18) 0,

pourra être considérée comme propre à exprimer l’inconnue s en fonc-

tion des autres D, P> q;

et des variables indépendantes. D'ailleurs, les lettres Me désignant deux quelconques des inconnues

D, pP, 4; sis

la valeur de D,u sera déterminée par une équation de la forme (14) Du=»,

si u représente une dérivée de s d’un ordre inférieur à », et par une

équation de l’une des formes (19) Duz=D,», Dia = D,e, ..

si u représente une dérivée de 5 de l’ordre 2, mais distincte de s. Cela posé, il est facile de s’assurer que, pour intégrer l’équation (8) de manière à remplir les conditions (11), il suffira d'intégrer le système des équations linéaires qui se présentent sous les formes (14) et (15), après en avoir éliminé s à l’aide de la formule (13), et en assujettissant les inconnues ; MU; Po 0

à vérifier, pour £ = 7, les conditions qui se déduisent des formules (11). Ainsi, en particulier, l'équation proposée aux dérivées partielles estelle une équation du second ordre entre l’inconnue & et deux variables indépendantes æ, {, ou, en d’autres termes, cette équation est-elle de Ja forme

(16) F(z, 1,5, D,5, D,5, Dis, D,D,x, D?w)—o,

et s'agit-il d'intégrer cette équation de manière que, pour { =, on ait (17) Du, Dow), w, &’ désignant deux fonctions de æ, on posera

(rmne À F4. À 1= D,w, (18) 1 P20] q 1

= D20, PHDLDD, = ce qui réduira l'équation (16) à (19) F(z,;t,w,p,q,u,v,s)—=0; puis, après avoir déduit des formules (18) les équations

| DU 0, (20) PE, Da =5, Du =D, pr, Docs D,

ne

Qc

et des formules (17) les conditions

D = 6), (21) { p=D20, d=0, l'E D2D, FD,

on éliminera s des équations (20) à l’aide de la formule (19), et on intégrera ces équations de manière que les inconnues

M D, ds WU,

vérifient, pour 4 —7, les conditions (21). Or, pour prouver que cette

intégration entraine celle de l'équation (16), il suffit de faire voir que

les valeurs trouvées de

auront avec les valeurs trouvées de 5 les relations indiquées par les formules (18). Effectivement, on tire : 1° des formules (20),

D, em à PE 1 P : À D'r=D, Dzq;

puis, en intégrant par rapport à 4, et ayant égard aux conditions (21),

(22) ; u = DEP, écmb:g:

2° des formules (20) et (22), D,p = D,D,5, puis, en intégrant par rapport à £, et ayant égard aux conditions (21), (23) p = D:w.

D'ailleurs, les formules (20), (22), (23) entraînent immédiatement les formules (18). On peut remarquer, en outre, que parmi les conditions (2r) se trouvent précisément comprises les conditions (17).

Par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, on prouverait généralement que les équations linéaires de la forme (14) ou (15), quand on les joint aux conditions déduites des formules (11), entrainent toutes les relations établies entre l'inconnue # et les autres inconnues

OEuvres de C.-—S. 1,1. VU. 8

par les formules mêmes qui servent à définir ces dernières inconnues, quand on passe de l'équation (8) à la formule (13). Donc, comme

nous l’avions annoncé, pour intégrer l'équation (8) de manière que

l'inconnue 5 vérifie, pour 4 = 7, les conditions (11), il suffira d’intégrer, sous les conditions correspondantes à celles-ci, les équations linéaires comprises sous les formes (14) et (15).

Concevons maintenant que plusieurs inconnues

D, Oi, soient liées aux variables indépendantes RSR PR PE NES 0

la première par une équation de l'ordre 2, la seconde par une équation de l’ordre »,, ..., et assujetties à vérifier chacune des conditions semblables aux conditions (11). Il est clair que, en raisonnant toujours de la même manière, on réduira lintégration de ces diverses équations à l’intégration d’un système d'équations linéaires du premicr ordre. Ajoutons que la même réduction pourra évidemment s'opérer encore de la même manière et à l’aide des mêmes formules, si les inconnues 5, &,, ... se trouvent, non plus séparées, mais, au contraire, mêlées les unes avec les autres dans les diverses équations données. Donc, l’intégration d’un système quelconque d'équations aux dérivées partielles d'ordres quelconques peut être généralement réduite à l'intégration d'un système d'équations du premier ordre dont chacune soit linéaire, au moins par rapport aux dérivées partielles des inconnues.

Nous remarquerons, en finissant, que, si les variables indépendantes se réduisent à une seule, le système des équations proposées se changera en un système d'équations différentielles. Donc encore, comme on le savait depuis longtemps, l'intégration d’un système d'équations différentielles d'ordres quelconques peut toujours être réduite à l’intégration d’un système d'équations différentielles du premier ordre.

CALCUL DES LIMITES. — Note sur divers théorèmes relatifs au calcul

des limites.