C. R., T. XV, p. 138, 25 juillet

Dans le calcul des limites, pour obtenir des limites supérieures aux modules d’une fonction et de ses dérivées, on commence par attribuer aux diverses variables des accroissements imaginaires et par chercher le plus grand module de la fonction correspondant à des modules donnés de ces accroissements. Toutefois, les accroissements donnés, ou plutôt leurs modules, ne doivent pas être choisis arbitrairement : ils doivent remplir une certaine condition, ils doivent être tels que la fonction, venant à varier avec ces accroissements, ne cesse pas d’être continue.

En Mathématiques, on nomme vvrtuelles des quantités assujetties à remplir certaines conditions qui tiennent à la nature même des problèmes que l’on veut résoudre. Ainsi, par exemple, s'agit-il d'obtenir les lois d'équilibre ou de mouvement de corps ou de points matériels assujettis à des liaisons données? On nomme vttesses virtuelles celles qui sont compatibles avec ces liaisons, ou, en d’autres térmes, celles que les divers points peuvent acquérir dans des mouvements que comportent les données de la question. S'agit-il, au contraire, de développer des fonctions en séries, alors, comme nous l’avons remarqué, la possibilité du développement, ou la convergence des séries, dépend de la continuité des fonctions. Cela posé, dans les théorèmes relatifs à la continuité des fonctions, et par suite dans le calcul des limites, des accroissements attribués aux variables que les fonctions renferment devront être naturellement appelés accroissements virtuels. s’ils sont tels que les fonctions ne cessent pas d’être continues. Nous adopterons désormais cette locution pour simplifier les énoncés des

théorèmes. En conséquence, étant donnée une fonction K= Fans

de plusieurs variables +, y, z, nous appellerons accroissements virtuels des accroissements réels ou imaginaires attribués à ces mêmes variables et tellement choisis que la fonction, altérée par ces accroissements, ne cesse pas d’être continue. Pareillement, nous appellerons

modules virtuels les modules : ee. FRANS :

d’accroissements imaginaires

attribués aux variables Œ, Vs eee et tellement choisis que, pour ces modules ou pour des modules plus petits, K—F(x+x,y+7y,...,t+t)

reste fonction continue des arguments et des modules des accroissements imaginaires æ, y, .., 4. Enfin, pour abréger, nous appellerons module virtuel de la fonction K le plus grand des modules de K correspondants à des modules virtuels donnés des accroissements d, Mot: Ces définitions étant admises, le théorème fondamental que nous avons établi dans la séance du 23 juin dernier (‘) peut s'énoncer de

la manière suivante :

Tuiorème [. — Étant donnée une fonction de plusieurs variables, pour obtenir une limite supérieure au module d'une dérivée quelconque de cette fonction, 1 suffit de chercher les valeurs particulières qu'acquiert cette dérivée, dans le cas où la fonction devient réciproquement proportionnelle à toutes les bariables, puis de remplacer, dans le résultat trouvé, chaque

variable prise en signe contraire par le module virtuel d'un accroissement

(1) Œuvres de Cauchy, S.1, T. VI, p. 461. — Extrait n° 167.

unaginaire attribué à cette variable, et la fonction elle-méme par son mo-

dule virtuel.

Corollaire I. — Si l’on supposait la valeur particulière de la foncetion donnée réciproquement proportionnelle, non à chacune des variables, mais à la différence qui existe entre chaque variable et le module virtuel de son accroissement, alors, au lieu du théorème F, on obtiendrait évidemment la proposition suivante :

Tuéorème Il. — Étant donnée une fonction de plusieurs variables, pour obtenir une limite supérieure au module d ‘une dérivée quelconque de cette fonction, ul suffit de chercher la valeur particulière qu'acquiert cette dérivée dans le cas où la fonction devient réciproquement proportionnelle à la différence qu existe entre chaque variable et un module virtuel d'un accroissement imaginaire attribué à cette variable; puis de remplacer dans le résultat trouvé la fonction par son module virtuel, en réduisant chaque

variable à zero.

Le théorème I entraine encore évidemment la proposition suivante :

Tuéorème HE. — Étant donné un polynôme dont chaque terme est le produit des dérivées, de divers ordres, d'une ou de plusieurs fonctions de certaines variables, pour obtenir une limite supérieure au module de ce polynôme, il suffit de chercher la valeur particulière qu'il acquert, dans le cas où chaque fonction devient réciproquement proportionnelle à toutes les variables dont elle dépend, puis de remplacer, dans le résultat trouve. chaque variable par le module virtuel d'un accroissement imaginaire altrt-

bué à cette variable, et chaque fonction par son module virtuel.

Corollaire. — Si le polynôme donné était réel et renfermé sous Île signe if dans une intégrale définie, réelle et multiple, dont chaque élément infiniment petit serait affecté du même signe que le polynôme lui-même, et si, d’ailleurs, le polynôme ne contenait pas de dérivées partielles, prises par rapport aux variables auxquelles les intégrations seraient relatives, alors, pour obtenir une limite supérieure au module de l'intégrale multiple, il suffirait évidemment de calculer, à l'aide du

théorème précédent, une limite supérieure au module du polynôme, considéré comme une fonction des autres variables, en attribuant aux modules virtuels des fonctions dont les dérivées entreraient dans chaque terme les plus grandes valeurs que ces modules pourraient acquérir entre les limites des iatégrations; puis de multiplier la limite supérieure au module du polynôme par la quantité positive à laquelle se réduirait l'intégrale, si le polynôme se réduisait à l'unité.

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les intégrales des systèmes d'équations différentielles et aux dérivées partielles, et sur. le développement de ces intégrales en series ordonnées suivant les puissances ascendantes d'un

paramètre que renferment les équalions proposées.

CR. T. XV, p. 141 (25 juillet 1842).

ANALYSE

Considérons d’abord une seule équation différentielle du premier ordre entre les deux variables + et, dont la dernière, regardée comme indépendante, peut être censée représenter le temps; et supposons que cette équation renferme, avec +, £ et D,x, un certain paramètre 2. Si on la résout par rapport à +, elle prendra la forme