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la valeur générale de cette inconnue sera complètement déterminée,
EXTRAIT N° 175. 63 et l'on pourra essayer de la développer, non seulement en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence ? — 7, mais aussi en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes du paramètre &, sauf à démontrer ensuite, à l’aide du calcul des limites, que la série obtenue est convergente, du moins sous certaines conditions, et représente alors l'intégrale cherchée de l'équation (+). Or le développement de l’inconnue æ en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de & se déduira aisément du théorème de Maclaurin, si le second membre X de l'équation (1) s’évanouit avec le pa-
ramètre «. Alors, en effet, on tirera de l'équation (1), en posant 4 —o, Dix — O, dE
et par suite le théorème de Maclaurin donnera
(3) x=E+Ia+lo+...,
la valeur de I, étant déterminée par la formule
Dix à PR, ES ces (4) de
dans laquelle on devra poser, après les différentiations, 4 =o et x =. D'ailleurs, X étant une fonction donnée de
on tirera successivement de l’équation (1)
D,Dex = D,X + D,X Dur, D,D2x = DEX + 2D,D,X Dex +D2X (Dex) +D,X Dir,
D,Dèx = DàX + 3D2D,X Dax + 3D,D2X (Dix) + DE X(D,æ) + 3D,D,X Dix + 3D2XD,æx Dix + D,X Dix,
puis, en posant & = o, et par suite
Xe; XX m0; XXE, Di X = 0, 1939
on en conclura
{ DDozx = D,X, D,Dèx — DEX + 2D,D,X Dax, | D,Dèx — DiX + 3D2D,X Dex + 3D,D2X(D,æ)+ 3D,D,X Dix,
ep s socle ne hifi eue 0e 29 ss ve is etes sat ec oidoim bn ed en een es ANR SR CR sr D ee »
Or, par des intégrations successives et relatives à 4, on déduira aisé-
ment des formules (5) les valeurs de
Dan DIE Den Li
par conséquent la valeur de Déx; puis, en posant «a — 0, æ —£, et ayant égard à l'équation (4), la valeur générale de 1,. Ajoutons que, pour satisfaire à la condition (2), il suffira d’assujettir les valeurs de
Dents Dix, Dia srs fournies par l'intégration des équations (5), à s’évanouir pour { = 7. in opérant ainsi, on trouvera successivement t | Die f D,X dt,
t Dé f DiXdt+ | DD Dr = Le
du
Die | DEX di +3 | DD, X Dix dt à Æ
+3 f [DA DE X (Dax)? + DaD, X Déx] dt,
At PE RTE ET ES UE ce RO D D Ne EUR DE A A 2 du ET CR EDR LE EL A O4 PR POS CAE DIRE LUE
puis, en nommant :, 4; + GA
ce que devient la fonction X quand on y remplace la variable 4 par de
nouvelles variables #’, #”, 4”, ..., on tirera des équations (6)
É [ D,X' dt, N
t L- d' Dé f DiX'dr+a f fs D,D,X'D,X’ dt! dt, FT à u +
Def DEX' d'+ 3 [ 4 (DED,X'D,X'+ D,DeX' DE X’) dé dt
+3f LE D,D2X' D, X’ D,X" dé dt” dt” +6 É f 1 D,D,X'D,D, X’ D, X” dt' dt" dt", € Tv 4
MANN ee pré ie ea oo D 0 M die € 'érd'c ais» sie dE Wie: dé ao d'à did he Si Sie
Si l’on considère spécialement le cas où la fonction X ne renferme pas explicitement la variable £, on aura RS ch ep de et alors les formules (7) donneront simplement D,r—(t—r)D,X, | Dèæ—(t—r) DEX + (6— 7) D,D,X DuX, (8) Dix —(t—T)DEX +3(6— 7) (DED,X D,X + D,D,X D2X) + (Er [DADEX(DAX)+ (DeDeX)DeX], Si, après avoir posé æ — 6 et « — o dans les seconds membres des
équations (7) ou (8), on combine ces équations avec la formule (4), on obtiendra les valeurs de
puis on tirera de la formule (3) la valeur de +, en supposant toutefois les modules du paramètre & et de la différence 4 — + assez petits pour
P P P que la série
(9) La, La, Iso, OEuvres de C.— S.I,t. VII. 9
reste convergente, et pour que X ne cesse pas d’être fonction continue de &, æ et. Or ces conditions seront remplies si l’on peut développer, suivant les puissances ascendantes de x, une certaine valeur particulière de la différence æ — £, ou plutôt une certaine fonction # qui se déduit immédiatement de cette différence. Supposons, pour fixer les idées, que le paramètre & soit positif; nommons t le module de ? — 7; enfin nommons x, a les modules virtuels d’accroissements imaginaires
&, & attribués dans la fonction X aux deux quantités Z, à;
et soit x le module virtuel correspondant de X, ou du moins le plus grand des modules virtuels que X puisse acquérir quand Île temps varie entre les deux limites + et. Si la fonction X ne contient pas explicitement la variable 4, alors, en vertu des théorèmes énoncés dans la Note précédente, pour obtenir la fonction 2, il suffira d'intégrer l'équation différentielle
(10) | Dix —a(axa— a) tæ-t+ aa-!x7t,
dans laquelle a désigne une quantité constante, puis de remplacer dans la valeur de æ — £, que fournira cette intégration, £ par — x,
t— 7 part, et a par le produit ax».
En opérant ainsi, on trouvera d’abord
eil(misse) si] “putes
Ajoutons que la formule (11) peut être étendue au cas même où X renferme 4, avec cette seule différence que x, dans ce dernier cas,
puis
représentera, non plus le module virtuel de la fonction X, mais le plus grand des modules virtuels de cette fonction correspondants à une valeur du temps comprise entre les‘ limites + et. Dans l’un et l’autre cas, la valeur de 2, déterminée par la formule (9), sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de «, sil'ona
C2 NES AUS (12) a << à, ‘a re a =;
et, sous ces conditions, l’intégrale de l'équation (1) sera développable, par la formule (3), en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de &. Observons d’ailleurs que le reste de cette dernière série, arrêtée après un certain nombre de termes, offrira toujours un module inférieur au reste correspondant de la série qui représentera le développement de 2 suivant les puissances ascendantes de v.
Si, dans l'équation (1), la fonction X était simplement proportionnelle au paramètre x, en sorte que cette équation füt de la forme
(13) Dit a f(x, L),
alors, en nommant % le plus grand des modules virtuels de /(x,t) correspondants à une valeur du temps comprise entre = et 4, c'està-dire en posant Ju Al f(x +, 9)],
et en attribuant à 0 une valeur comprise entre les limites +, {, mais choisie de manière à rendre le module % le plus grand possible, on obtiendrait, pour déterminer la fonction #, non plus la formule (11), mais la suivante
(14) dati (2% a)
Par suite, la première des conditions (12) disparaitrait, et la seconde se trouverait remplacée par celle-ci
Les raisonnements dont nous avons fait usage et les formules que nous en avons déduites peuvent être évidemment étendus au cas où il s'agirait d'intégrer, non plus une seule équation différentielle du premier ordre, mais un système d'équations différentielles ou aux dérivées partielles d'ordres quelconques, et de développer les intégrales suivant les puissances ascendantes d’un paramètre « compris dans ces mêmes équations. C’est, au reste, ce que nous expliquerons plus en détail dans un nouvel article, ainsi que dans les Exercices d'Analyse et
de Physique mathématique.
ASTRONOMIE. — Mémoire sur les variations des éléments du mouvement
elliptique des planètes.
