C.R.,T. XV, p. 186 (1° août

Les équations différentielles qui déterminent les éléments du mouvement elliptique d’une planète autour du centre du Soleil, pris pour origine, renferment les dérivées partielles d’une fonction perturbatrice différentiée par rapport à ces éléments. D'ailleurs cette fonction perturbatrice varie dans le passage d’une planète à une autre, et peut être développée, pour chaque planète, en une série de termes dont le premier ne renferme n1 le temps ni les moyens mouvements, tandis que les autres termes varient avec le temps et sont périodiques. Ce premier terme est ce que nous nommerons la partie séculaire de la fonction perturbatrice; et, par analogie, nous appellerons équations differentielles séculaires celles auxquelles se réduisent les équations différentielles propres à déterminer les variations des éléments, quand on réduit la fonction perturbatrice à sa partie séculaire. L'intégration complète de ces équations différentielles séculaires serait certaine-

ment un grand pas fait en Astronomie; car cette intégration ferait im-

médiatement connaître, sinon les variations totales des éléments des orbites, du moins les parties de ces variations qui sont indépendantes des moyens mouvements. Or, en examinant avec soin les équations différentielles dont il s’agit, on voit qu’elles peuvent être censées renfermer les dérivées d’une seule fonction perturbatrice qui reste la même pour toutes les planètes; et que cette nouvelle fonction perturbatrice, représentée par une intégrale définie double, renferme, avec les grands axes, les excentricités et les inclinaisons des orbites, les longitudes des périhélies, et les angles compris entre les lignes des nœuds des diverses planètes combinées deux à deux. Cela posé, si, comme je l'ai déjà fait dans un précédent Mémoire (votr Le Compte rendu de la séance du 2r septembre 1840) (‘), on prend pour éléments du mouvement elliptique de chaque planète l’époque du passage au périhélie, la longitude du périhélie, l'angle formé par un axe fixe avec la ligne des nœuds, le moment linéaire de la vitesse, la projection de ce moment linéaire sur un plan fixe, et la moitié du carré de la vitesse correspondante à l'instant où la planète passe par l'extrémité du petit axe, on établira facilement divers théorèmes dont plusieurs me paraissent dignes de remarque, et dont je vais donner les énoncés en peu de mots.

Lorsqu'on suppose les éléments du mouvement elliptique déterminés pour chaque planète par les équations différentielles séculaires, non seulement tous les grands axes demeurent invariables, mais on peut en dire autant de la fonction perturbatrice, qui reste alors la même pour toutes les planètes. Alors aussi, en supposant que l’on projette les moments linéaires des quantités de mouvement sur un plan fixe quelconque, on obtiendra pour la somme de leurs projections algébriques une quantité constante. En d’autres termes, le principe des aires sera vérifié rigoureusement à l’égard des aires décrites par les planètes autour du centre du Soleil, et comme si ce point était un centre fixe. En conséquence, outre les équations qui exprimeront l'in-

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. V, p. 321. — Extrait n° 97.

variabilité des grands axes, et qui seront en nombre égal à celui des planètes, on obtiendra quatre intégrales générales correspondantes aux équations des forces vives et des aires.

Soit maintenant x le nombre des planètes. Six éléments étant relatifs à chaque planète, le nombre total des équations différentielles séculaires sera 6x. Mais, dans la recherche des intégrales de ces équations, on pourra laisser de côté deux inconnues relatives à chaque planète, savoir : 1° la moitié du carré de la vitesse qui correspond à l'extrémité du petit axe, et qui reste invariable avec le grand axe; 2° l’époque du passage au périhélie qui n’est pas comprise dans la fonction perturbatrice. Donc le nombre total des inconnues pourra être réduit à 4n, et même à 42 — 4, eu égard aux quatre intégrales générales dont nous avons parlé. Il y a plus, l’un des angles formés par la ligne des nœuds avec un axe fixe pourra encore être éliminé, puisque les différences seules entre ces angles, combinés deux à deux, se trouveront renfermées dans la fonction perturbatrice. Donc le nombre des inconnues comprises dans les équations différentielles séculaires pourra être réduit à 4n — 5.

Considérons à présent le cas où toutes les planètes se mouvraient dans le même plan. Alors, le nombre des éléments étant réduit à quatre pour chaque planète, le nombre total des équations différentielles séculaires sera 4n. Mais, dans la recherche de leurs intégrales, on pourra, comme ci-dessus, laisser de côté deux inconnues relatives à chaque planète, savoir, les deux inconnues que nous avons déjà signalées. Donc le nombre total des inconnues pourra être réduit à 2h, et même à 272 — 2, eu égard aux deux intégrales générales dont l’une correspondra au principe des forces vives, l’autre au principe des aires. Il y a plus, l’une des longitudes des périhélies pourra encore être éliminée, attendu que les différences seules entre ces longitudes se trouveront renfermées dans la fonction perturbatrice. Donc le nombre des inconnues comprises dans les équations différentielles séculaires se trouvera réduit à 272 — 3. Or le nombre 2n — 3 sera précisément l’unité, si l’on a 2 — 2. Donc, en supposant les éliminations

faites, on obtiendra une équation définitive qui renfermera seulement une inconnue et sa dérivée prise par rapport au temps. D'ailleurs, en vertu d’une semblable équation, le temps pourra être exprimé par une intégrale définie. On peut donc énoncer la proposition suivante :

L'intégration des équations différentielles séculaires peut étre ramenee aux quadratures pour le système de trois corps, savoir, du Soleil et de deux planètes, lorsque ces trois corps se meuvent dans un méme plan.

A la vérité, le théorème précédent suppose les inconnues réduites à une seule par l'élimination; mais l'élimination dont il s’agit peut en effet s'opérer à l’aide d’intégrales définies, de semblables intégrales étant propres à représenter les racines d'équations algébriques ou même transcendantes, et les fonctions de semblables racines.

Observons enfin que, en supposant intégrées les équations différentielles séculaires, on pourrait avec avantage appliquer la théorie de la variation des constantes arbitraires aux nouvelles constantes introduites par cette intégration même.

Dans un autre article, j'examinerai en particulier, sous le rapport de la convergence, les séries que l’on obtient en développant, suivant les puissances ascendantes des excentricités, les intégrales relatives au problème de trois corps qui se meuvent dans un même plan; et je considérerai aussi ce qui arrive lorsque les trois corps sont, non plus le Soleil et deux planètes, mais le Soleil, une planète et un satellite de cette planète.

CALCUL DES LIMITES. — Memoire sur le calcul des limites appäqueé de diverses

manières à L ‘intégration des systèmes d'équations différentielles.