C. R., T. XV, p. 188 (1° août
Comme nous l'avons déjà dit, l'intégration des systèmes d'équations différentielles d'ordres quelconques est toujours réductible à l'intégra-
tion d’un système d'équations différentielles du premier ordre entre une variable indépendante #, qui peut être censée représenter le temps, et diverses inconnues æ, y, #, .... D'ailleurs, étant donné un semblable système, avec les valeurs initiales En: Disc ean, y, 5, .i, correspondantes à une valeur particulière + du temps 4, on peut chercher à développer, par la formule de Taylor ou de Maclaurin, les valeurs générales de æ, y, z, ..., ou suivant les puissances ascendantes de la différence 4 — 7, ou même suivant les puissances ascendantes d'un paramètre « que renfermeraient les équations données, ou enfin suivant les puissances ascendantes d’un paramètre à que l’on introduirait dans ces équations, sauf à lui donner plus tard une valeur numérique en le réduisant, par exemple, à l'unité. On doit surtout remarquer le cas où, en vertu des équations que l’on considère, les dérivées des inconnues, prises par rapport au temps, s'évanouissent toutes avec le paramètre &. Alors les coefficients des diverses puissances de æ, dans les séries obtenues, se déduisent les uns des autres par des intégrations relatives à £, dont chacune doit être effectuée, à
partir de 4 — x; et, en conséquence, les divers termes des développements se trouvent représentés par des intégrales définies multiples, les fonctions sous le signe f étant des sommes de produits dont les facteurs variables sont les dérivées de fonctions connues différentiées une ou plusieurs fois par rapport aux variables æ, y, z, ... et au paramètre «. D'autre part, en vertu du théorème général sur le développement des fonctions, les séries obtenues représenteront effectivement les intégrales des équations données, si le module de la différence £ — +, ou du paramètre «, est tel que, pour ce module ou pour un module plus petit, ces séries ne cessent pas d’être convergentes, ni les valeurs de D,x, D,y, ... que déterminent les équations différentielles d'être des fonctions continues des variables æ, y, z, ..., { et du paramètre «. Enfin, la recherche de ces conditions se trouvera toujours réduite, par les théorèmes énoncés dans la Note que renferme le Compte rendu de la séance précédente, à l'intégration de certaines équations auxiliaires, dont le système sera compris, comme cas particulier, dans
EXTRAIT N° 177. 73 celui des équations différentielles proposées. Done, pour s'assurer que l’on peut intégrer par séries ces dernières équations, il suffira de s’assurer que l’on peut intégrer par séries les équations auxiliaires, ou, ce qui revient au même, que l'on peut développer en séries convergentes les intégrales des équations auxiliaires, exprimées en termes finis. Il y a plus, les restes des séries, qui représenteront les intégrales des équations auxiliaires, seront des quantités positives supérieures aux modules des restes correspondants des séries qui représenteront les intégrales des équations données; ce qui permettra de fixer une limite supérieure à l'erreur que l’on commettra quand on arrêtera l’une quelconque de ces séries après un certain nombre de termes.
Dans le présent Mémoire, j’applique les principes que je viens d’exposer, d’abord à des équations différentielles quelconques du premier ordre, puis à des équations d’une forme particulière et qui méritent une attention spéciale, attendu que leur intégration permet de résoudre un des problèmes les plus importants de l’Astronomie. La méthode analytique, employée jusqu'ici pour la détermination approximative des mouvements planétaires, est fondée, comme on sait, sur le développement des éléments variables des ellipses décrites par les planètes en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des masses de ces mêmes astres. Cette méthode paraît légitime, quand on admet que les séries ainsi formées sont convergentes. Mais il n’était démontré nulle part qu’elles le fussent même pour un temps très court, et il était nécessaire d'éclaircir ce point, sur lequel aucune lumière n’a été répandue par les travaux de nos plus illustres géomètres. A l’aide des formules auxquelles je parviens dans ce nouveau Mémoire, on peut aisément s'assurer que les éléments du mouvement elliptique des planètes sont effectivement développables, suivant les puissances ascendantes des masses, en séries qui resteront convergentes pendant un temps supérieur à une limite dépendante de ces mêmes masses, et dont ces formules déterminent la valeur.
OEuvres de C. — S. J,t. VII. 10
ANALYSE
Je me bornerai ici à énoncer les principaux théorèmes auxquels je parviens dans ce nouveau Mémoire, qui sera publié en entier dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique.
TaéorÈme [. — Supposons les n inconnues x, y, =, ... assujetties à ve-
rifier : 1° quel que soit le temps t, les équations différentielles
Dr x, D, y = LA D,5=72, .…., dans lesquelles X, Y, Z, ... représentent des fonctions données de Ty Vs S; » |;
2° pour t = 7, les conditions
Porn VER: #70 Soient d’ailleurs : le module de la différence t — +, et ORNE LUE
les modules virtuels d’accroissements imaginaires, attribues dans les fonc-
uons X, Y,Z, ... aux valeurs particulières PR AE
des variables x, y, 3, .... Soient enfin PO. A
les modules virtuels correspondants des fonctions Rs
ou du moins les plus grandes valeurs que ces modules virtuels puissent ac-° quérir, tandis qu'on fait varier le temps entre les limites 7 et t. Les valeurs générales des inconnues pourront étre développées par la formule de Maclaurin en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascen-
dantes d'un paramètre « par lequel on multiplierai les fonctions X, Y,
Lich sauf à le réduire plus tard à l'unité, si l’on peut développer, par le théorème de Lagrange, suiwant les puissances ascendantes de 1, la plus
petite racine positive # de l'équation
