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ou même, à plus forte raison, si l’on à

I tv

ET uE = ds

n désignant le nombre de ces mêmes produits. Ajoutons qu'alors les termes et les restes des séries dont les sommes représenteront les valeurs générales des différences

BE, Ph re is UN, Vs my,

offriront des modules inférieurs aux termes et aux restes correspondants des séries que l’on obtiendrait si l’on développait, suivant les puissances ascendantes de :, les valeurs données, pour ces mêmes dif-

férences, par le système des formules

e désignant toujours la plus petite racine positive de l'équation

k (- =) (- “} (1 Se). 2X 4, À ux vÿ, WZ

ou du moins par la formule

m—ËE y—n" u—h V—p 4 CAT S PU pet = Voies ses Re DE ce Reese eniihenen ë x y u |

Tuiorème IV. — Supposons que des inconnues, partagées en l groupes distincts, se trouvent, dans chacun de ces groupes, en nombre égal à 2n,

el soient représentées, dans le premier groupe, par T9 Y1 Z19 = de Us, Pis 15 dans le second groupe, par

Toy Ya» 39 ÉPt : Us Pas W'2» PUR A

Supposons encore que les inconnues comprises dans chaque groupe se trouvent assujetties à vérifier, quel que soit le temps t, 2n équations diffé-

rentielles de la forme

Dep Dre k D,:=D;k; SEE Du =D,K, D,e = D,K, D, = DK, Tee les lettres T; Vs Z;, ? u, F, w, ,

non affectées d'indices, étant ici employées pour représenter les inconnues qui appartiennent à l'un quelconque des groupes, et K étant une foncuon

donnée de toutes les variables Lis Vis Bis es Ugo Vis Wys 05 Los Vas Sos es Us Vas Was +. Le

Le nombre total des équations différentielles sera, comme le nombre des

inconnues, égal au produit 2nl; et, si l’on nomme

ef a Pb » F Gis is Ci +. 013 À Puis Vis ee Cas as Gas 2 Has Vas

les valeurs initiales des inconnues, c'est-à-dire leurs valeurs correspondantes à une valeur particulière + de la variable t, on pourra, sous cerlaines conditions, développer, par la formule de Maclaurin, les valeurs générales des inconnues en séries de termes qui soient de divers ordres relativement à la fonction K, et qui deviennent respectiwement proportionnels aux diverses puissances de «, quand on remplace K par axK. Supposons

d'ailleurs la fonction K décomposée, par une équation de la forme

K=K,;o+K;,;+. d .+K:,3 +. AT

en diverses parties dont la première K,, dépende uniquement du temps t et des inconnues qui portent l'indice x ou l'indice 2, la seconde K,,, du temps t et des inconnues qu portent l'indice x ou l'indice 3, etc. Sou 1 le

module de & — 7; soient encore SR on on

des quantités posuives propres à représenter des modules virtuels d "accrots-

sements imaginaires, attribués, dans les diverses parties de la fonction K,

aux valeurs Es ul ces: a Pis Vi

des inconnues

Ti, Y1» Zi CAS U;, C4 Fi UNALE, ou bien aux valeurs

- = Es Nas Go» ENS ha, F2 Vas

des inconnues Los Vos as ++. Uo, Vos Wos

ou bien, etc. Soient enfin

ne X 1,9) X 1,35 LACET H 9,39

les modules correspondants des fonctions

ou du moins les plus grandes valeurs que ces modules puissent acquérir,

quand on y fait varier le temps entre les limites 7, 1; et nommons

le plus grand des modules X,,,, H,,3, ..., K2,,, .... Pour que les développements des inconnues, déduits, comme il a été dit ci-dessus, du théorème de Maclaurin, soient convergents, il suffira que l’on puisse développer sut-

vant les puissances ascendantes de 1 la plus petite racine positive # de

k gÿ \? 2 g \? à [ (- Ke) (+) (2) ...d0—=92(l— 1),

l’équat ton

ce qui aura lieu si l'on a .