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« étant le plus petit des produits
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et, à plus forte raison, si l’on a
2({—1)(an +1) X
Ajoutons que les termes et les restes des séries dont les sommes représenteront les valeurs générales des différences
À a MER Pi 60 Z1— Gi +. U—h, Pb Ts
Lo — Cos Va — Nas Ba— Gay +. Us— À, Pa — Moy Wa — Vo,
offriront des modules inférieurs aux termes et aux restes correspondants des séries que l’on obtiendrait si l’on développait, suivant les puissances ascendantes de 1, les valeurs données pour ces mêmes différences par les formules
F à Zi — Ë Ta — Es U— À; Ug— À 8 il Se je Zi est vue Eat Se at et RTL Dee x x u u Bx Va sd TL, VMS HN Pa Pa Ver PAU x ) pa Wu parer ——— — 00 — den ous nc j à 4 Ÿ x LE 4
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2 désignant toujours la plus petite racine positive de l'équation
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ou du moins les valeurs données par la formule
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Tnéorème V. — Les mémes choses étant posées que dans les théorèmes 111 ou IV, la convergence des séries dont les sommes représenteront les valeurs des inconnues sera encore assurée, sous les conditions énoncées dans ces théorèmes, si chaque système d'équations différentielles est de la forme
Dir DR bye DL - br D, D;u=—D,K, D, ——D,K, D,æw ——D,K,
Fr?
EXTRAIT No 177. 83
ou méme si, dans le passage d'un système d'équations différentielles à un autre, les diverses parties de la fonction
se trouvent modifiées. Seulement, dans cette dernière hypothèse, on devra prendre pour X la plus grande des diverses valeurs que pourront acquérir
les modules virtuels X 4,29 X 1,39 .….. X 2,39 .….…
eu égard aux modifications dont il s'agit.
Comme je lai prouvé dans un autre Mémoire (voir le Compte rendu de la séance du 21 septembre 1840) (‘), la théorie de la variation des constantes arbitraires fournira en Astronomie des équations différentielles semblables à celles qui sont indiquées dans le théorème V, si l'on prend pour éléments du mouvement elliptique d’une planète l'époque du passage de cette planète au périhélie, la longitude du périhélie et l'angle formé par un axe fixe avec la ligne des nœuds, en remplaçant d’ailleurs l’excentricité par le moment linéaire de la vitesse, linelinaison de l'orbite sur un plan fixe par la projection de ce moment linéaire sur le même plan, et Le demi grand axe de l’orbite par la force vive correspondante à l'instant où la planète passe par l'extrémité du petit axe. Done le théorème V peut être immédiatement appliqué aux développements des éléments elliptiques en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des masses des planètes, et il fournit, avec une limite inférieure au temps pendant lequel les séries demeureront convergentes, des limites supérieures aux restes qui compléteront les mêmes séries arrêtées chacune après un certain nombre de termes. C'est, au reste, ce que nous expliquerons plus en détail dans un nouvel article.
(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. V, p. 321. — Extrait n° 97.
CALCUL INTÉGRAL. — Note sur une lor de réciprocité qu existe entre deux systèmes de valeurs de variables assujetties à vérifier des équations différentielles du premier ordre, et sur un théorème relatif à ces mêmes
équalions.
