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les valeurs initiales des inconnues, c’est-à-dire leurs valeurs particulières correspondantes à une valeur particulière + du temps £, les intégrales générales des équations différentielles fourniront les valeurs générales des inconnues en fonction de la variable £ et des valeurs initiales de toutes les variables. Mais, comme le système des valeurs initiales |

peut être lui-même l’un quelconque des systèmes de valeurs qu'admettent les variables LEUR DU PONS NP ANNE à

il en résulte que, dans les intégrales générales des équations différentielles données, et dans toutes les formules déduites de ces intégrales, on peut échanger entre eux le système des valeurs initiales des variables et le système de leurs valeurs générales. Cette loi de réciprocité se trouve déjà indiquée dans mon Mémoire lithographié de 1835, et sa démonstration rigoureuse peut aisément se déduire des principes établis dans ce Mémoire.

La considération des valeurs initiales des inconnues qui doivent vérifier un système d'équations différentielles du premier ordre fournit encore le moyen d'établir un théorème digne de remarque, et

qui comprend comme cas particulier le beau théorème de M. Poisson relatif à la variation des constantes arbitraires. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Supposons que, les inconnues étant de deux espèces, on fasse correspondre à chaque inconnue de première espèce une inconnue de seconde espèce, et que la dérivée de chaque inconnue, prise par rapport au temps, se réduise, en vertu des équations différentielles données, à la dérivée partielle d’une certaine fonction différentiée par rapport à l’inconnue correspondante, et prise avec le signe — ou avec le signe +, suivant que cette inconnue est de première ou de seconde espèce. Supposons encore que, après avoir intégré les équations proposées, on forme une fonction différentielle alternée avec les dérivées partielles des inconnues prises par rapport à deux constantes arbitraires introduites par l'intégration. Comme je l’ai remarqué dans un Mémoire présenté à l’Académie de Turin en octobre 1837, la dérivée de cette fonction différentielle, prise par rapport au temps, sera nulle, et, par suite, cette fonction sera indépendante du temps. Il y a plus, si les deux constantes arbitraires représentent les valeurs initiales de deux inconnues, la valeurinitiale et, par suite, la valeur générale de la fonction différentielle alternée se réduiront évidemment à l'unité ou à zéro, suivant qu'il s’agira ou non de deux inconnues correspondantes l'une à l’autre. Or, en partant de cette dernière proposition et en observant que toute constante arbitraire introduite par l'intégration se réduit nécessairement à une certaine fonction des valeurs initiales des inconnues, on démontre facilement le nouveau théorème déjà établi dans le Mémoire de 1831, mais par une méthode qui, suivant la judicieuse observation de l’un de nos plus savants confrères, n'était pas à l'abri de toute objection. Ce nouveau théorème offre d’ailleurs, relativement.à l'intégration des intégrations différentielles proposées, les avantages que M. Jacobi a signalés dans le théorème de M. Poisson. Suivant la remarque de l’illustre auteur de la Nouvelle Théorie des fonctions elliptiques, un nombre quelconque de points matériels étant tirés

par des forces et soumis à des conditions telles que le principe de la

conservation des forces vives ait lieu, si l’on connaît, outre l'intégrale fournie par ce principe, deux autres intégrales, on en peut déduire une troisième d’une manière directe, et sans même employer les quadratures. Or, eu égard au nouveau théorème, la même remarque s’applique à tous les systèmes d'équations différentielles qui se présentent sous la forme que j'ai précédemment indiquée.

MÉCANIQUE CÉLESTE. — Théorie nouvelle des mouvements planétaires,

ou application du Calcul des résidus à l’Astronomie.