C. R., T. XV, p. 255 (8 août

Les beaux Mémoires de Lagrange, de Laplace et de Poisson sur la variation des constantes arbitraires ont réduit la détermination des mouvements planétaires à l’intégration d'équations différentielles qui renferment, avec le temps et les éléments de chaque orbite, les dérivées partielles d’une fonction perturbatrice, prises par rapport à ces mêmes éléments. La question étant ramenée à ce point, les perfectionnements ultérieurs de l’Analyse appliquée à l’Astronomie, et la simplicité plus ou moins grande des calculs à l’aide desquels on obtiendra, par des approximations successives, des valeurs plus ou moins exactes des éléments, dépendront surtout de la forme assignée au développement de la fonction perturbatrice. Or, après avoir de nouveau réfléchi sur ce sujet, j'ai acquis la conviction que les formes de développement jusqu'ici adoptées par les géomètres n'étaient pas celles qui se prètaient le mieux à des approximations rapides; et j'ajouterai que, même après les modifications que j'ai fait subir dans plusieurs Mémoires aux formes dont il s’agit, elles laissaient encore beaucoup à désirer sous le double rapport de la simplicité des résultats et de l’économie de temps. Le présent Mémoire a pour objet une nouvelle forme de déve-

loppement qui, sous l’un et l’autre rapport, offre des avantages importants et inespérés. Entrons à cet égard dans quelques détails.

Un théorème du calcul des résidus sert à exprimer en termes finis une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe f est une fonction rationnelle, souvent même une fonction transcendante d’une exponentielle trigonométrique, lorsque cette intégrale est prise entre deux limites de l’argument dont la première se réduit à zéro, la seconde à une circonférence entière. Suivant un autre théorème, si, après avoir multiplié, dans une semblable intégrale, exponentielle trigonométrique par un module quelconque, on fait varier ce module, la valeur de l'intégrale restera invariable, tant que la fonction sous le signe $ ne cessera pas d’être une fonction continue de largument. Or ces deux théorèmes fournissent en Astronomie, pour le développement de la fonction perturbatrice relative à chaque planète, une méthode digne de remarque et que je vais indiquer en peu de mots.

On sait que, dans chaque fonction perturbatrice, les termes dont les développements se calculent avec le plus de peine sont les termes réciproquement proportionnels aux distances mutuelles des planètes. Ainsi, dans la question qui nous occupe, il s’agit principalement de développer en série convergente la première puissance négative de la distance effective entre deux planètes. Or Euler a donné un moyen fort simple de développer cette puissance en une série de cosinus des multiples de la distance apparente. Ce moyen consiste à décomposer la distance effective, élevée à la puissance du degré — 7, en deux facteurs imaginaires, puis à multiplier lun par l’autre les développements de ces deux facteurs. Après cette multiplication, le coefficient de chaque cosinus se trouve représenté par une série dont la somme peut être convertie en une intégrale définie dans laquelle la différentielle de la distance apparente se trouve divisée par la distance effective. Si, dans une semblable intégrale, on remplace successivement la distance mutuelle entre deux planètes par chacune de ses puissances entières et positives, puis les distances de deux planètes au Soleil par deux nombres égaux, le premier à l'unité, le second au

rapport des grands axes des deux orbites; si enfin on joint aux intégrales ainsi formées leurs dérivées relatives au second des deux nombres, on obtiendra la série triple des transcendantes généralement introduites dans le développement de la fonction perturbatrice. Le calcul direct de la plupart de ces transcendantes était à peu près impraticable, et, même avec les formules nouvelles que l’auteur de la Mécanique céleste avait construites sur la demande de M. Bouvard, le calcul était encore très long et très pénible, comme le faisait observer un jour notre honorable confrère. Cette difficulté, qui a engagé M. Le Verrier à donner, pour la détermination des transcendantes dont il s’agit, de nouvelles méthodes de calcul, n’existe pas lorsqu'on adopte pour la fonction perturbatrice la forme de développement que je propose; et je vais en dire la raison. Les deux facteurs imaginaires dans lesquels se décompose la première puissance négative de la distance mutuelle entre deux planètes offrent des modules égaux, et chacun de ces facteurs, représenté par un binôme élevé à une puis-

sance dont le degré est — À, peut devenir infini quand les distances

; des deux planètes au Soleil deviennent égales entre elles. I y a plus : l'ancienne méthode, généralement employée pour le développement de la fonction perturbatrice, a l’inconvénient grave d'introduire dans ce développement d’autres transcendantes où les mêmes facteurs se trouvent successivement élevés au carré, au cube, et à des puissances d'un degré supérieur; par conséquent, des transcendantes dont la valeur devient de plus en plus considérable quand les distances des deux planètes au Soleil sont entre elles dans un rapport qui ne diffère pas beaucoup de l'unité. J’évite cet inconvénient en me servant de l’un des théorèmes rappelés ci-dessus, pour rendre inégaux les modules des deux facteurs en question et réduire l’un de ces facteurs à une fonction de la seule distance apparente des deux planètes. Alors, à la place de la triple série des transcendantes comprises dans l’ancien développement, j'obtiens une série double de transcendantes beaucoup plus faciles à calculer. Pour donner une idée de la réduction ainsi opérée dans les calculs, considérons en particulier le cas où les deux planètes

données sont Jupiter et Saturne. Alors,.en suivant l’ancienne méthode, on devra former le Tableau qui se trouve inséré dans le IT Volume de la Mécanique céleste, aux pages 8r, 82, 83, et calculer en conséquence plus de quatre-vingt-dix transcendantes, dont plusieurs offriront des valeurs considérables, qui pourront s'élever jusqu'au nombre 800 et au delà. Au contraire, en suivant la nouvelle méthode, pour arriver au même degré d’approximation, on aura seulement à calculer une vingtaine de transcendantes dont les douze premières sont déjà connues, et dont la plus grande surpasse à peine le nombre 2.

Je passe maintenant à la propriété la plus extraordinaire du nouveau développement. Les diverses transcendantes qui, comme je Pai dit, forment une série triple suivant l’ancienne méthode, et une série double suivant la nouvelle, sont, dans le développement de la fonction perturbatrice, multipliées chacune par un facteur variable, qui renferme, avec les éléments de deux orbites, les anomalies moyennes de deux planètes, et qui peut être développé en une série de termes dont l’un, indépendant des anomalies, est ce qu’on nomme un £erme séculaire, tandis que les autres sont des termes périodiques proportionnels aux sinus et cosinus de multiples des deux anomalies. Or, en m'appuyant sur le calcul des résidus et sur le premier des théorèmes précédemment rappelés, je prouve : 1° que chaque terme séculaire peut être exprimé sous forme finie par une certaine fonction des éléments des orbites, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes et aux excentricités; 2° que, dans chaque terme périodique, le coefticient des sinus ou cosinus des multiples des anomalies moyennes est la somme d’une série simple de quantités, dont chacune peut encore être exprimée sous forme finie par une certaine fonction des éléments, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes, mais devient transcendante par rapport aux excentricités. Ajoutons qu'à la somme de cette dernière série on peut substituer la somme de deux fonctions : l’une exprimée sous forme finie, l’autre représentée par une intégrale définie, dont le module s'approche indéfiniment de zéro, tandis qu'un certain nombre entier 2, dont elle dépend, devient de plus en plus considérable.

OEuvres de C.—S.I,t. VII 12

En rédigeant le présent Mémoire, j'ai cherché à montrer combien je désirais me rendre digne, s’il était possible, de l'honneur que m'ont fait, il y a trois années, les maitres de la Science, en m’appelant à une place jadis occupée par un grand géomètre, par celui-là même qui avait eu pour moi tant de bienveillance, par notre illustre Lagrange. Comme mes nouvelles recherches paraissent devoir simplifier sensiblement les calculs relatifs à l’Astronomie, il semblerait convenable que je pusse les discuter sérieusement avec ceux de mes illustres confrères qui ont jugé ma coopération à leurs travaux utile sous ce rapport. Mon désir de contribuer, autant que mes forces me le permettront, aux progrès de sciences qui ont fait la gloire de ma patrie répond assez de l’empressement avec lequel je prendrais part à une semblable discussion le jour où il serait reconnu que le Bureau des Longitudes à pu se croire autorisé, par le texte de sa constitution même, à résoudre librement une question de Géométrie, et qu'il n’y a nul inconvénient à ce que ses divers membres se réunissent pour calculer ensemble les mouvements du Soleil ou des planètes, le jour où se terminerait une quarantaine déjà prolongée bien au delà des limites ordinairement prescrites par les règlements sanitaires les plus rigou-

reux, une quarantaine scientifique de trois années.

ANALYSE

SI. — Préliminaires.

Je vais, dans ces préliminaires, rappeler quelques théorèmes fournis par le calcul des résidus, et sur lesquels s'appuie la nouvelle mé-

thode que je propose pour le développement de la fonction perturba-

trice.

TuéorÈme 1. — Soit Se POP V1

une variable imaginaire dont r représente le module et p l'argument. Sou

encore (Dh LE) fe]

EXTRAIT N° 179. 91 J(s)

le résidu intégral de la fraction; pris entre les limites

PT PE, pro PESTE,

2 BTE : AS : te) ou, ce qui revient au même, la somme des résidus de la fraction 2e » COT-

respondants aux valeurs de s dont les modules restent compris entre les limites à, b, et les arguments entre les limites — 7, + 7. St le résidu in-

tégral dont il s'agit a une valeur déterminée, on aura Li Li a (b) (T) f(s) f fer) dp — [° faer 5) dp ar h (©):

tt ei

ou, Ce qui restent au même,

(1) + f(berv-1) dp = f (uen )dp=ar LT (©)

Démonstration. — Pour établir la formule (1), qui coïncide avec une équation trouvée dans le I Volume des Exercices de Mathématiques [voir l'équation (64), à la page 212 du I** Volume] (*), il suffit d’intégrer l'équation identique

par rapport à r et à p, entre les limites

D, f(rerv-1) — D, f(rer V1),

es À Le : À F'hrrts à PHAr, Observons d’ailleurs que, si l’une des racines de l'équation

avait pour module une des limites a et b, le résidu partiel correspon-

dant à cette racine devrait être réduit à moitié dans la somme représentée par le résidu intégral

(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. VE, p. 265.

On doit seulement excepter un cas particulier que nous examinerons

ci-après, le cas où l’on aurait a — 0.

Corollaire. — Si la fonction f(re?V-") reste continue par rapport à r et à pentre les limitesr= a,r= b, le second membre de l'équation (1)

s'évanouira, et lon aura par suite 2% are 227 re (3) f J(bervT)ap= | fCaervT) dp.

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Tuéorème Il. — St dans une intégrale de la forme d: f( rerv-1) dp (]

on fait varier le module r, cette intégrale conservera la méme valeur tant

que la foncuon f(rervT)

ne cessera pas d’être continue.

Concevons maintenant que, dans la formule (1), on pose a — 0,

b = &:; on en tirera

# Lo (4) (2%) p V1 dp — 92 | (2) Jeannot (A

pourvu que, dans la somme représentée par la notation

(æ) LT (©)

Co) S

on comprenne, non pas la moitié du résidu partiel qui pourrait correspondre à la valeur zéro de s, mais ce résidu lui-même. Done, sous cette condition, on pourra énoncer encore la proposition suivante :

TuéorÈèMe HE. — Sr le résidu intégral

(æ) na (©)

a une valeur déterminée, on aura

: GRR RE. (A).

Te En:

Corollaire I. — Dans les applications de ce théorème, on ne devra pas oublier que la somme représentée par la notation

she fe)

(0) 10) ; comprend tous les résidus partiels correspondants aux racines de l'équation

$ (5) PTT = Q J{s)

qui offrent des modules inférieurs à &, et la moitié seulement de tout résidu partiel correspondant à une racine qui aurait « pour module.

Corollaire II. — Si, dans la formule (4), on pose

LES, Gé 1 = =),

f(s) étant une fonction qui ne devienne jamais infinie pour un module de s inférieur à l’unité, alors on trouvera : 1° en supposant & 1,

I uisd æetP-®) V=1

(6) — — f(xer V1) dp — 0;

ox : ES æetr-&)V-1

2° en prenant « >1, ou, ce qui revient au même, en remplaçant & [ .

par = et supposant ensuite & <[1,

(7) ne : FÉLer VTT) dp = 1(e9V),

2 J, 1—aœelr-5)v-1

On aura donc

TONER CT

1— œetr-5) V1

I en x ne Lu a (se) ‘de.