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La formule (8) subsisterait encore si l’on prenait « —1; seulement alors les seconds membres des formules (6), (7) se trouveraient réduits l'un et l’autre à {f(e7v-"),
Concevons maintenant que, dans le second membre de la formule (8), on développe les fractions
œetr-5)V-1 nl
2 22 1— œetP-S) VTT 1 œetr-m) Vi
suivant les puissances ascendantes de &. Si la fonction f(s) reste conti- . FR RE | , nue pour tout module de s inférieur à => on pourra, en vertu du théo-
rème IT, remplacer, dans chaque terme du développement obtenu, « par l'unité, et alors on trouvera
(9) fem VTT) — a+ ae V1 + ae Vi, + a erm ri 9 SA + a; e-sv-1 + a,e-?mV-14, È + a,Le-rmV-i + ns
les valeurs de a4, et de p, étant généralement déterminées par les for-
mules 1 27 ne + rE (10) Mo eFnpV-1 f(erv-1) dp, ; 0 £ 27 Ha I a+! elr+1)(p-5) Y—1 Pn= — —— f(aer V1) dp 27 J, 1— œetr-5)y-i Es, 7 -; I aren(m—-p)V-1 I ex | de — (2 env) dp.
27 J, te œelm-p) V1 œ /
La dernière de ces formules entraîne évidemment la suivante
(12) mod. pr < ——
Ë mod. f(œerv-1) + mod.f( | en) |,
en vertu de laquelle ?, décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes du nombre entier 2. Done, en posant a—< dans l'équation (9), on obtiendra celle-ci
(13) f(esv-1) = A9 + as env + ae SV +, + ae 0V-i+g etui.
qui servira à développer Pexpression f(es vi)
en série convergente. Il y a plus, la formule (12) fournira une limite de l'erreur que l’on commet quand on arrête cette série après un certain nombre de termes.
Si la fonction f(er V1)
est une fonction paire de p qui ne varie pas quand p change de signe, alors, en posant
fCer vi) + f(e-rVT)
P=f(erVi) —
Betas) — Ke PET
on verra l'équation (13) se réduire à la formule connue (14) LÊ — a+ 2a,C085 + 28,C082% +..., la valeur de a, étant i 27 PRE ñ 2H 1) An = — PUAERR do = — P cos xp dp.
(19) n eh Lui des $ FER Si, dans l'équation (4), on pose « = 1, on obtiendra simplement la
proposition suivante :
TaéorèME IV. — Sx le résidu intégral
(æ) Ho (2)
a une valeur déterminée, on aura
. - (1) QUm) ) (16) .. JC) ap =" £ (2)
Du théorème IV on déduit immédiatement le suivant :
TuéorÈème V. — St le résidu intégral
(1) Er (1) es M (£ 2)
(oo) (0) Ts
a une valeur déterminée, on aura
2 PT pit un a (1) ) U) U%) (s, s!
on (DL Tree" (20)
