LA

de -4 she ee (6) (CIE . L (r= e-v Vi) ee 02 evv-1) : etk+1)0y-1 dy,

on trouvera

k 2 12\ 7 sf: 7 1 1 Les Ÿ 2! an (7) A; BOT PETEN (= ) 7

et, par suite,

/ = I Fe RENÉE x a on (= ST (E 5) É à:}7 NH d'° l=0 (8) { sone lé au Ti AUpk ph: © plat FAT = | Or — | — — — | coskd | 10 k=1 Ë} M ose Ë a* nes ou, ce qui revient aü même, E= © l=e k— k L LT LT LT (9) DRE Ÿ Gb: Pos + 2 hs 2 O;,:P4,

la valeur de P;, étant CV MR fr PIX 7 (10) Vire Ë mener (5 EE 2) cos kû.

Soient maintenant, pour les planètes 2 et",

les anomalies moyennes et

les anomalies excentriques, liées aux anomalies moyennes et aux rayons vecteurs par les formules

(r—a(i—ecosŸ), r'— a"(1 —e'cosŸ'),

ldesint=T, We sind T,

(1) dans lesquelles e, e représentent les excentricités. P;,, sera une fonction rationnelle des exponentielles trigonométriques

AT ER e?'V-1 et pourra être développée suivant les puissances de

eT v=1, eT' ÿ=1

à l’aide de la formule

‘les signes > s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles

ou négatives de 7, n°. Done, dans le développement de P,,, le coefficient du produit |

euT-+nT)ÿ -1

sera représenté par l'intégrale

2H 27% J : " À LV RET W'l rl sé (CE) J Purerremviarar, 2T/ 0

ou, ce qui revient au même, par l'intégrale

L A Fr: Un = is SE ON Pr (14) ( LE £ Parme e-0rben VTT etnesinbne sinb) VTT di dy, 0: 00 :

Si l’on suppose, en particulier, 7 —0, n° = 0, l'intégrale (14) sera

réduite à

1 2 2H p rr' dy di È CNRC 2T) J, À aa!

Désignons maintenant par f(e} V1, eYV=1)

le produit

exprimé en fonction rationnelle de e*V°*, eŸv=', Le théorème V du $ 1

donnera immédiatement

9 2H 2H Lee 1 19 1 3 Û !

: I 2 dd r'I (D), 27) (1) (2T) f HR. ) en (EN (ru rapar nef O) 2T 0 aa (0) (0) (0) (0) $, $

De plus, comme on aura, d’une part, AUE sinŸ+n'e'sinŸ') V—1 — eyneeŸ V1, inreeŸ VI —inee-Ÿ v—1 de ine'e Les Yy=T

et, d'autre part,

$ s* s' st RSR ER ++ + ñ DER ir du; : 0

152 a Eh T0.

on trouvera encore 2 2T 27H rr' f É | FR e—(nh+n'")"} V1 Q(nesin b+n'e sinÿ") Y=T dy dy * sk OT

(1 (27) (1) (27) # x 1An!s! r * PDA. PNA - d eines+bn'e's' | 1 — a 0 Vans cat TR be D tale D ce e\"| f(ss ) +0; C0 wo) k $ s! FALL A + s! gerigesi}

ex étant ce que devient l'intégrale (14) quand on y remplace, sous le

signe /, le facteur etnesinÿ+n'e sind) /—1

par le produit

Æ enreet lame VTT

Kést Zi \/ 1 (ince-VVi+ nee)" (inse—# V=T TE y# eti—v; inee * HinEe TV VA

To ucR

Cela posé, il est clair que p, décroîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes de À, et de telle manière qu'il sera facile de calculer la limite de l'erreur que l’on commettra en négligeant o; dans le second membre de l’équation (17). Ajoutons que, si l’on pose, dans cette

même équation, À — +, on aura simplement

0 Q 2H Gi RAT nid me ne june il ane ane - à ernes+in'es | 1 |? : AE jp, | ne oo Ë $ * VE se - à

Les formules (14), (17), (18) comprennent les diverses propositions que nous avons énoncées dans le préambule de ce Mémoire; nous montrerons, dans un autre, comment on peut rendre plus simples encore et plus faciles les calculs qui résultent de l'application de ces

rr L ’ TR e or ’ Ve Ps. La e—tnÿ+n'ÿ')y=T Q(nesinÿ + n'esinŸ’) ÿ—1 dy dy

Eas) |

sr+1 ç'2'+1

formules.

ASTRONOMIE. — Sur le nouveau développement de la fonction perturba-

trice et sur diverses formules qui rendent plus facile l'application du

calcul des résidus à l’ Astronomie.