C. R., T. XV,p. 3o1 (16 août

Ainsi que je l’ai remarqué dans la séance précédente, le développement nouveau que je donne pour la fonction perturbatrice parait éminemment propre à simplifier le calcul des mouvements planétaires et renferme une série double de transcendantes qui peuvent être facilement évaluées. D'ailleurs ces transcendantes se trouvent respective-

ment multipliées par des facteurs variables dont chacun se développe suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, ou plutôt suivant les puissances entières, positives, nulles ou négatives des exponentielles trigonométriques qui offrent pour arguments ces anomalies, en une série de termes, l’un séculaire, les autres périodiques. De plus, chaque terme séculaire peut être exactement exprimé par une fonction finie et même algébrique des éléments elliptiques des deux planètes que l’on considère. Enfin, dans chaque terme périodique, le coefficient des exponentielles peut être décomposé en deux parties, dont l’une s'exprime encore en fonction finie des éléments elliptiques, et dont l’autre décroit indéfiniment tant qu’un certain nombre entier croît au delà de toute limite; ou bien encore ce coefficient peut être représenté par une série simple de quantités dont chacune est exprimée par une fonction finie, mais transcendante, des” éléments elliptiques. Les fonctions finies dont nous venons de parler se trouvent représentées chacune par un double résidu, relatif à deux variables auxiliaires que l’on substitue aux exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies excentriques, et pris entre les limites o,1 du module de chaque variable. La première opération à faire pour calculer ce double résidu est de rechercher les valeurs des variables auxiliaires qui rendent infinie la fonction sous le signe £. Or il arrive fort heureusement que ces valeurs sont en très petit nombre et se réduisent à celles que je vais indiquer.

Dans le nouveau développement de la fonction perturbatrice, le facteur variable par lequel chaque transcendante se trouve multipliée est, non seulement une fonction entière des quatre exponentielles tri- -gonométriques qui ont pour arguments les longitudes des périhélies et ces mêmes longitudes prises en signes contraires, mais encore une fonction entière de l’un des rayons vecteurs des deux planètes et du nombre inverse de l’autre, savoir, du plus petit de ces rayons et du nombre inverse du plus grand. Cela posé, en partant des formules que j'ai rappelées dans le Mémoire du 14 septembre 1840, on reconnaitra immédiatement que, dans chaque double résidu, la fonction sous le

signe £ devient infinie pour deux valeurs au plus de chacune des variables auxiliaires correspondantes aux deux planètes. Ces valeurs, pour la variable auxiliaire qui correspond à la planète la plus éloignée du Soleil, sont : 1° la valeur zéro; 2° une valeur positive représentée par la tangente de la moitié de l’angle dont le sinus est l’excentricité. La seconde de ces deux valeurs disparaît pour la variable auxiliaire qui correspond à la planète la plus voisine du Soleil. Par conséquent, chaque double résidu, pris entre les limites o,1 des modules des variables auxiliaires, se décompose en deux résidus partiels, et qui sont relatifs, l’un à des valeurs nulles des deux variables auxiliaires, l’autre à la valeur positive de la première variable et à la valeur zéro de la seconde. Par suite aussi la série des quantités que renferme le coefficient d’un terme périodique se décomposera en deux autres séries, formées par des résidus partiels de la première et de la seconde espèce. Or, ce qu’il importe de remarquer, c’est que la seconde de ces deux séries offrira une somme exprimée par une fonction finie, mais transcendante, des éléments elliptiques. Donc, pour obtenir le coefficient d’un terme périodique, il suffira de joindre à une semblable fonction la somme d’une série simple de résidus partiels relatifs à des valeurs nulles des deux variables auxiliaires.

Enfin, à l’aide de l’un des théorèmes énoncés dans la séance précédente, j’établis sans peine quelques propriétés remarquables des fonctions finies par lesquelles sont représentés les divers résidus partiels dont je viens de parler. Je prouve, par exemple, que chacun de ces résidus est une fonction paire des deux quantités qui représentent les tangentes des moitiés des angles qui ont pour sinus les excentricités, et même une fonction paire de chacune d’elles, ou le produit d’une semblable fonction par ces mêmes quantités.

Observons encore que le coefficient de chaque terme périodique peut être décomposé, si l’on veut, en une somme de produits dont chacun ne renferme que les éléments elliptiques d’une seule planète. Pour y parvenir, il suffit : 1° de développer les puissances entières de la différence entre les carrés des rapports des rayons vecteurs aux demi

grands axes, suivant les puissances entières des deux différences que l’on obtient en retranchant l'unité de ces mêmes carrés; 2° de développer, par une formule très simple que je déduis du théorème de Lagrange, le cosinus d’un multiple de la distance apparente de deux planètes suivañt les puissances paires du sinus de la moitié de l’inclinaison mutuelle des deux orbites. De cette décomposition il résulte immédiatement que le coefficient de chaque terme périodique peut être exprimé à l’aide de quelques-unes des transcendantes auxquelles on parvient en multipliant une puissance entière, positive ou négative du rayon vecteur d’une planète par une puissance entière, positive ou négative de l’exponentielle trigonométrique qui a pour argument la longitude du périhélie, et en développant le produit ainsi obtenu suivant les puissances entières de l'exponentielle trigonométrique qui a pour argument l’anomalie excentrique. Je prouve, d’ailleurs, que ces nouvelles transcendantes sont liées entre elles par des équations linéaires qui permettent de les déduire les unes des autres. Ces équations se tirent aisément d’un théorème général que j'ai donné dans un autre Mémoire, et qui se rapporte au développement d’une fonetion en série d’exponentielles trigonométriques.

ASTRONOMIE. — Détermination rigoureuse des termes séculaires dans

le nouveau développement de la fonction verturbatrice.