C.R., T. XV, p. 357 (22 août
Comme je l'ai remarqué dans la séance précédente, si le coefficient variable de l'une des transcendantes que renferme le nouveau développement de la fonction perturbatrice est développé à son tour suivant les puissances entières, positives, nulles ou négatives des exponentielles
trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies moyennes relatives aux deux planètes que l’on considère, on obtiendra une double série de termes, l’un séculaire, c’est-à-dire indépendant des exponen- tielles, les autres périodiques; et le terme séculaire pourra être exprimé par une fonction finie des éléments des orbites. Il importait d'obtenir cette fonction finie sous une forme simple et à l’aide d'opérations qui ne fussent pas trop compliquées. Tel est le but que je me suis proposé dans ce nouveau Mémoire. Les formules auxquelles je parviens me paraissent dignes de fixer un moment l'attention des géomètres, en raison de leur concision et de leur élégance. La méthode par laquelle Je les établis est facile à saisir. Elle consiste à exprimer chaque terme séculaire par une intégrale définie double, dans laquelle les deux variables sont les deux angles qui représentent l’anomalie excentrique de la planète la plus voisine du Soleil et la longitude de la planète la plus éloignée. On calcule aisément la valeur de cette intégrale double, parce que la fonction sous le signe f se réduit à une fonction entière des cosinus des deux angles variables, et l’on se trouve ainsi conduit à une proposition remarquable dont voici l'énoncé :
THÉORÈME. — Dans le nouveau développement de la fonction perturbatrice, chaque terme séculaire est le produit de deux facteurs représentés, l’un par une transcendante qui dépend uniquement du rapport entre les grands axes des orbites des deux planètes que l’on considere, l'autre par le rapport qu existe entre une certaine fonction rationnelle des deux excentricités et le petit axe de l'orbite la plus étendue, la fonction rationnelle des deux excentricités étant d ‘ailleurs variable avec les angles qui déterminent les directions des plans des deux orbites. Seulement il arrive quelquefois qu'un terme séculaire se décompose en deux parties, dont l’une est de la forme indiquée, tandis que l'autre se réduit à une fonction du rapport entre les grands axes, divisée par le grand axe de l'orbite la plus étendue.
OEuvres de C.— S. 1, t. VII. Ù
ANALYSE
Soient m, m les masses de deux planètes; r, r leurs distances au Soleil; « la distance effective entre les deux planètes; à leur distance apparente, vue du centre du Soleil; R la fonction perturbatrice, relative à la planète m.
m'r CoSÈ m' (1) RE ti
et si, en nommant Lie
les anomalies moyennes, on développe les deux rapports
r COSÔ I L'RACRT out ES r'? t
suivant les puissances entières, positives, nulles ou négatives, des .exponentielles trigonométriques
er vi, envi le second des deux développements sera le seul qui offre des termes
séculaires, c’est-à-dire indépendants des deux exponentielles. On aura d’ailleurs, comme je l'ai remarqué dans la séance du 8 août,
1= l=x k=o (2) = YeurPort2 D OP =D
ire LHEESQ “REeT
les valeurs des quantités 0, ;, P;,, étant données par les formules A pr —\7? 5 — BG) Qu f Ge) Ge) feurnvrd,
.k 2 LÀ 4€ 4 (4) Pie le (Z — &) cos 0,
et les valeurs des quantités 0, [Æ], par les formules
# KOKAT),, CRE ue nr in
1 __1.3...(2/—:) 2 “ap 2.4. RES #4 Cela posé, pour obtenir la partie séculaire de . et par suite celles
de — et de R, il suffira de chercher la partie séculaire de la fonc-
tion P;,. Cette partie séculaire sera
p\2 PPT pr (5) Cf # P,.,dT dT".
D'autre part, si l’on nomme
e, & les excentricités des deux orbites:
w, & les longitudes des périhélies;
p, p’ les longitudes des deux planètes;
p, p’ les distances apparentes de ces mêmes planètes à leurs périhélies ;
L, L' les anomalies excentriques,
on aura, non seulement
P=p—m p'=p—v et d—esind =T, W—esind'—T,
mais encore
F 1 2 r! 1— 6/2 = =I—E COSY =, — —1— 8 cod — ——— + a 1 + € COSP a 1 + € COSP
et, par suite,
Comme, d’ailleurs, on tirera de l’équation (4)
l'intégrale (5) pourra être réduite au produit
6 Qk+21 27 k+1 k—1 /r2 q'? l a pres Vie" EE f ( (£ &) (Rs) cos £0 dd dp',
r no les valeurs de — et de =; étant données par les formules
a" 1+ecosp'
* (7) a =1—ecosY, pe 1e
En conséquence, la forme générale des termes séculaires compris dans
/ Li le développement de - sera
8 ; I Dk+21 e roi. Re ne res
la valeur de 8, étant
of LEE) esse
Il reste à à Diminuer la valeur de l'intégrale définie 84, ce qu’on . ; È n . . , [NS .
ne peut faire qu'après avoir exprimé le facteur cosko en fonction des angles Ÿ et p’. Or, si l’on nomme I l’inclinaison mutuelle des deux orbites, et IT, If les distances apparentes de leur ligne d’intersection aux deux périhélies, ou plutôt les différences de longitude entre cette ligne et les périhélies, les deux binômes
p — HE, pi
représenteront, au signe près, les angles formés par les rayons vecteurs r, r’ avec la ligne dont il s’agit, et l’on aura, d’après un théorème connu de Trigonométrie sphérique,
(10) cosd — cos(p — IE) cos(p'— IF) + cos! sin(p — H)sin(p'— NW)
EXTRAIT N° 181. 109 ou, ce qui revient au même, (11) cos — (% cos p/+ 1 sinp’) cosp + (2 cosp'+ Psinp')sinp, les valeurs de &, 1%, ©, ® étant % — cosIl cosIl + cosi sin sinW, € = sinit cosI'— cos] cosi sin [,
d — cost sin IF — cos! sinII cosI’, ® = sinIl sin Il + cosI cosIl cos}.
On pourra d’ailleurs éliminer l’angle p de la formule (11) à l’aide de
l'équation
f—# Le 8 COSŸ = ————— ) 1 + € COSP de laquelle on conclura cosŸ — € + sind cr BIRD tie Po E COS Y” Re ) 1 — e COS Ÿ et, par suite, r Roiir: Fe (12) 7 COSP — COSŸ — €, = Sinp—(1—e?) sin Ÿ.
On tirera, en effet, de la formule (11), jointe aux équations (12),
(13) = cosd — (% cosp'+ 15 sinp')(cosŸ — &) [
$ + (© cosp'+ ®sinp') (1 —e?)* sind.
La valeur du produit
— COSÔ «a
étant ainsi exprimée en fonction des angles Ÿ et p’, il sera facile d’exprimer de la même manière la valeur du produit
r k (2) cos ko.
On aura effectivement, d’après une formule connue,
es cos“—+ 0
CONAG SE 2 [costo— : cos#—20 + .
