C. R., T. XV, p. 411 (29 août

La formule connue qui transforme le cosinus d’un multiple d’un arc en une fonction entière du cosinus de cet arc fournit évidemment le moyen de développer, suivant les puissances ascendantes d’un accroissement attribué à ce dernier cosinus, l'accroissement correspondant du cosinus de l’arc multiple; mais, dans le développement ainsi obtenu, chaque puissance de l’accroissement attribué au cosinus de l'arc simple se trouve multipliée par une fonction entière de ce même cosinus, et, dans l'intérêt de l’Astronomie, il convenait de substituer à cette fonction entière une fonction linéaire des cosinus des arcs multüiples. J'y suis heureusement parvenu, à l’aide d’un procédé que je vais indiquer dans cette Note, et qui fournit, sous une forme très simple, le développement cherché. |

ANALYSE

Soient 5 un arc réel et # un nombre entier. On aura, en vertu d’une formule connue (voir l'Analyse algébrique, p. 234 et 235) (),

k k coskæ — 2-1] cost …. cosé—-?5 + “

cos*-tw (:) L k (k—4)(k—5) 4 2.3

cost +... |

Supposons maintenant que l’are 5 acquière une valeur nouvelle représentée par p, Ou, ce qui revient au même, un accroissement représenté par p — s. Les accroissements correspondants des cosinus

cosw, Coskw

(1) Œuvres de Cauchy, S. MH, T. HI.

seront

cosp — cos®, COS Ap — cos; et, si l’on nomme « le premier de ces accroissements, ou, en d’autres termes, si l'on pose

(2) COSp = COSS + &,

alors, pour obtenir la valeur de cosép, et par suite la valeur de l’ac-

croissement cos Ap — cos w,

il suffira de recourir aux formules (1) et (2), desquelles on tirera

| cos Ap — xt] (costs + à)f — ï (cos® + x)“—? a :

ie DE ob Hat

na [o) Aria #

On pourrait aisément développer le second membre de la formule (3) suivant les puissances ascendantes de «; mais alors chacune de ces puissances se trouverait multipliée par une fonction entière de cos, et, dans l'intérêt de l’Astronomie, il convient de substituer à cette fonction entière une fonction linéaire de

COSW, COS2W, COS3T,

On y parviendra en opérant comme il suit.

Posons

(4) ePV-1— 5 emV-i— 6, L’équation (2) donnera

1 I Y FPE Gt 20 s s

par conséquent

et l’on aura

(6) cos kp — = (SE + sr):

D'alleurs, si, en supposant la valeur de s déterminée par l’équation (5), on développe s* suivant les puissances ascendantes de 2%, le coefficient du rapport

(aa “APN

dans ce développement, sera, d’après le théorème de Lagrange, et pour 2 >> 0, la valeur de l'expression

D: [est ( S I a. kDr-1 sÆ+n—1 à s — g7! , (s— g—1}7

correspondante à s — ç, ou, ce qui revient au même, la valeur du pro-

duit

gh+n—1