L .k=n Nnr-1 (7) ks Dé 8— (ç
correspondante à la valeur 1 d’une nouvelle variable 2 liée à s par la formule
Donc, puisque cosAp représente la partie réelle de l'expression imagi-
naire sk — ekPV-1= coskp + V— 1 sinkp,
le coefficient du rapport (22)° : ER EE n° dans le développement de cosÆp, sera, pour des valeurs positives de z, la partie réelle de l’expression (7), c’est-à-dire la moitié de la somme qu'on obtient quand on ajoute à cette expression celle qu’on en déduit en y remplaçant ÿ Get. pe | ER, Done, si l’on pose
(8) cos £p = K;+K;(2a) + K:(2&4)°+...+K;(2&)/,
on aura, non seulement K,— cosx,
mais aussi, pour des valeurs positives de 2,
ge 4 A gh-n gh+n k :
En > nn PR LT on lets map |
ou, ce qui revient au même,
. k-n —k+n 2n k # S S K, — - n—1 | ÿk-n+1 rt (9) MES, ste D ’ Rep EE:
# devant être réduit à l'unité après les différentiations. Concevons maintenant que l’on développe chacun des rapports
en progression géométrique. On trouvera, en désignant par / un
nombre entier quelconque,
I criart à ri =grlitçrigit UT A, tite gt l+2g—l D ù pa < — = etes Heu Hier + 5!
res 8— 56
puis, en posant, pour abréger,
k(k+1)...(kK+l— 5) ASC DE
LA et ayant égard à la formule
5 (sf+s7*) = cos kz,
on tirera immédiatement de l'équation (9), jointe aux formules (ro),
[ila1l£— nr +1]; cos(f—n)5 | (11) K= + [2] [K— nn]; coS(k — n —2)5 +... > + L,, il note nat 0)v)
la valeur de L, étant
ro Sida gh—n—2 c#+nr21 so) ( 12 ) PTT 8 D£ & —+ : 8 , , B--6r" |: man 15
et # devant toujours être réduit à l’unité après les différentiations. D'ailleurs, l'équation (8) devant s’accorder avec l’équation (3), la valeur de K,, et par suite la valeur de L,, tirée de la formule (15), devront être des fonctions entières de
COSD = Ç + ce
Donc la valeur de L, qui, en vertu de la formule (12), sera une fonction rationnelle de ç, devra, ou devenir infinie avec ; Pour une valeur
nulle de &, ou se réduire à une constante; et, pour que cette réduction ait lieu, il suffira de choisir le nombre / de telle sorte que, pour ç = 0, L, conserve une valeur finie, Cette condition sera évidemment remplie si chacun des rapports
Fe — —9 LE ç! n—2l ç k+n+21
pape à 8 — ç°?
conserve lui-même une valeur finie pour $ — 0. Or, pour une valeur
nulle de ç, le premier des rapports (13) conservera une valeur finie si l’on à K—n—21l>— 0, et le second si l’on a K—n—92l<o.
Donc la condition énoncée sera remplie si l’exposant kK—n—ol se réduit à l’une des quantités O0, —1, —2, par exemple, si, # — x étant impair, on suppose (14) K—n—2l——1, ou si, # — x étant pair, on suppose (15) K—n—2l—— 0.
Or, en admettant l’une de ces deux suppositions et réduisant alors
à zéro dans la formule (12), on tire de cette formule : 1° pour une valeur impaire de # — 7,
(16) Lot
2° pour une valeur paire de # — n,
| CRE ee n—1{ Qk—n PRET DT (19) L, = UNE VER (B-n+1 Dig)
1 Æ | = 5 Al+ihulé-n—t+ii.
Donc, en substituant à / et à L, leurs valeurs tirées des formules (14)
et (16) ou (15) et (17), on tirera de la formule (11) : 1° pour une valeur impaire de # — n,
Lis LA PORPE 1h cos(Æ —n)S
+ [2], [A — n]1- coS(A — n —2)w
(18) Ke +31, ik —n—1]4 cos(k — nr — 4) +... |
[| [= +) + A ABLE D RUE SENTIR ET EE COST 2 ñn—1 2 n—1 l
2° pour une valeur paire de # — n, P
| Lila 4 — nm +1]r 1 cos(f —2)5 \ \+laleslk—nli cos(Æ — » —2)5 | (19) LE + [3la1Lk— 72 —1]41co8(£ — nr —4)o +... /
| [ei +?) | + Fe PRE RER EPA ETS SEE 2 2 n—1 2 n—1
Il est bon d'observer que les formules (18), (19) sont l’une et l'autre comprises dans la formule
Fo K, — Lena > [l+ilslkf—-n—t+ 1h 1e V1,
Et
que l’on pourrait remplacer par la suivante
FR kK—n—l+0 k—n+l+2 PET er 0 Ki — n de | 2 se [IR] Le s 9
en supposant dans cette dernière le signe £ étendu aux seules valeurs paires de /, lorsque Æ — Z serait pair, et aux seules valeurs impaires de /, lorsque # — / serait impair.
Si, dans la formule (18) ou (9} on attribue successivement à # les valeurs entières
on tirera de ces formules, jointes à l'équation (8): 1° pour des valeurs impaires de #,
| cos p = coskw + k [cost 1)© + COS(k —3)ù +...+ c0825 + :| (2x)
| + 3 [Une ae +att— 2) c08 tt De +. + tes + cos | (2a)? (292) 2 2
TA k FE — kr 2 +3[ 2 ie PE NS ie ti. Mot. : +i(e I =) |@er
CR
2° pour des valeurs paires de #,
Le. kp = cosk5 + ALcos(k—1)5 + COS(4 — 3) +...+ cos3m + cosm]|(2a)
DR re «+ = L (2) [Car
; seu Songtl ASlO El RE n + 7 cos |(a2)
nn nn nm soso ses ses
{ kKTk—2 k— 2.3 k—92 k— kk+2k—ok += — = cos(k— 3)m + © =
Ainsi, en particulier, on trouvera
COS p—COS D +4, COS2p — COS25 + 4 a COSS + 20, COS3p — COS35 + 3a(1+ 2 C0820) + 124? COS + 4 a,
cos 4p = cos4w + 8a(cosz + cos3&) + 8a2(2 + 3 cos25) + 32° cos +8 a',
POPN RD 0 RSI NID TS CD De D de 0e n'en Eee NN los tu À do en Ed ENS NU Se 6 1 08 05 9 8 9 NOIRE
Dans un autre article je montrerai les avantages que l’on peut retirer de ces diverses formules appliquées à l’Astronomie.
ASTRONOMIE. — Décomposition de la fonction perturbatrice en produits
de facteurs dont chacun se rapporte à une seule planète.
