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( 1) { Betux+vy+wz-st) vi L
CE — Celuz+vy+wz-st) V1,
4,9, #,8, À, B, C désignant des constantes réelles ou imaginaires. Si la constante s devient réelle, le mouvement simple sera persistant, et alors la valeur de s, ou la durée R
T Lu: 2T +4
des vibrations moléculaires, déterminera, dans la théorie de la lumière, la nature de la couleur. Si la propagation de la lumière s’effectue en tous sens suivant les mêmes lois, ou, en d’autres termes, si le milieu donné est isophane, la valeur de #, déterminée par la formule
(2) k2=— u?+ p?2 + sp,
sera liée à s par une certaine équation, en sorte que, s étant connu, #le
sera pareillement, et de plus les coefficients À, B, C vérifieront la condition
(3) uA + VB +wC—o
(voir les pages 56 et 88 du Mémoire lithographié sous la date d'août 1836). Enfin, si l’on dispose de la direction des axes coordonnés, ce qui est toujours possible, de manière que l’on ait
(4) 3 = de les formules (2), (3) donneront
(5) k= u?+ #?, (6) uA +vB— 0,
et l’on vérifiera l'équation (4) en posant
H désignant une constante réelle ou imaginaire. Alors aussi les équations (1) pourront être remplacées par quatre équations de la forme
a Fr bras U — (7) 6 7% nTers
(8) g AS Ketuz+vy-st) rs £ ee Cetuz+vy—st) ÿ=1 :
e désignant une nouvelle variable imaginaire. Lorsque le milieu donné devient transparent, #Æ est une quantité réelle que l’on peut supposer déterminée par l'équation
et par conséquent positive. Alors aussi w, v, seront réels, si le mouvement simple se propage dans le milieu donné sans s'affaiblir. Dans ce cas, la longueur
OEuvres de C. — S.I,t. VII. 17
sera l'épaisseur d’une onde [umineuse, ou la longueur d’une ondulaion, et les rapports
représenteront les cosinus des angles que formera la perpendiculaire au plan d’une onde avec les demi-axes des coordonnées positives. Donc alors, quand la condition (4) sera remplie, les plans des ondes seront parallèles à l'axe des z; et si d’ailleurs on a choisi les demi-axes des coordonnées positives de manière que les coefficients w, # soient. posi-
üifs, on aura
(10) + CS COST, + =SiNr,
7 désignant l'angle formé par la perpendiculaire au plan d'une onde avec le demi-axe des æ positives. De plus, si, dans cette hypothèse, on nomme 2 la partie réelle de la variable imaginaire &, les formules (7)
entraineront les suivantes (11) LT +4, n—=— - 38, L # + \ que l’on pourra réduire à (12) A À Nn=—-%SIUT.
Or il est clair qu’en vertu des formules (12) 2 représentera le déplacement d'une molécule d’éther mesuré parallèlement au plan des +, y, et pris avec le signe + ou avec le signe —, suivant que la molécule se trouvera transportée du côté des x positives ou du côté des æ négatives. Cela posé, si, dans le mouvement simple que l’on considère, chaque rayon lumineux est regardé comme formé par la superposition de deux autres, dont le premier soit renfermé dans le plan des æ, y, et dont le second offre des vibrations perpendiculaires à ce même plan, les déplacements effectifs ou symboliques des molécules se trouveront évidemment représentés, dans le premier des deux rayons composants, par les variables #, #; dans le second, par les variables €, €.
S IL. — Rayons réfléchis ou réfractés par la surface de séparation
de deux milieux isophanes.
Si l’on adopte comme conditions relatives à la surface de séparation celles que j'ai données dans la 7° livraison des Nouveaux Exercices de Mathématiques, page 203 (*), la dilatation linéaire de l’éther, mesurée perpendiculairement à cette surface, conservera la même valeur dans le passage du premier milieu au second, et l'on pourra en dire autant des trois fonctions différentielles alternées
£, n, C désignant les déplacements rectangulaires d’une molécule d’éther dont les coordonnées initiales étaient æ, y, z. Supposons, pour fixer les idées, que, les deux milieux étant séparés l’un de l'autre par le plan des y, z, l'axe des + soit parallèle au plan des ondes lumineuses, et par conséquent perpendiculaire au plan d'incidence. Si l'on nomme
HR Se ES 0, d les déplacements des molécules mesurés dans le premier et dans Île second milieu, ces déplacements seront indépendants de la coordonnée 3, et l’on aura, pour æ — 0, (DÉZ=D,E, D;t-D,n=D,t D," # | D.t—D.t, D,t—D,e.
Concevons maintenant que, pour plus de commodité, on décompose chaque déplacement, mesuré dans le premier milieu, en deux autres, dont le premier soit relatif au rayon incident, le second au rayon ré-
fléchi. Soient alors PR
les déplacements d’une molécule, mesurés dans le rayon incident, et. £, n, &, les déplacements mesurés dans le rayon réfléchi. On devra, dans les formules (1), remplacer les trois lettres
(1) OEuvres de Cauchy, S. HW, T. X.
par les trois sommes ESA Dem Sp Es
Donc, à la place des formules (1), on obtiendra les suivantes :
(DS(E+E)=Deé, D,(È+E)—Den+n,)=D,é— Den’,
Dire D DE cr —D
Soient maintenant
5 np COS UMR OT UE
Nail
les déplacements symboliques correspondants aux déplacements efectifs | :
La ", Le Fe 1,s Es € n', Eee on pourra supposer ces déplacements symboliques assujettis à vérifier, pour æ—o, des conditions semblables aux formules (2), SAVOIF :
, (UG+D=DE DE+E)- D +R)=DE 0.7 ( PURE is re [D.(&+E5)=D.8 D,(E+E)=D,€.
D'autre part, les déplacements symboliques
Em.
seront liés à æ, y, 3, £ par les formules (7), (8) du $ I, c’est-à-dire par des équations de la forme
| a k 8, ñ re kÆ , | g — H etux+vy—st) en € — ps etur+vy—st) v—i, et si l’on nomme
; PEER de $ ? u,, ? » W,, ki |; me C, ou T8 u , p!, w", Ks H’, Ç'
quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, chaeune des formules (4) continuera de subsister, quand on y affectera
EXTRAIT N° 18. “10 d’un accent inférieur ou supérieur toutes les lettres autres que æ, y, 3, 4. Cela posé, chacune des conditions (3) se réduisant à une équation de la forme 7 etvy—st) ÿ—1 + y, etv,Y—s,t) ÿ=1 — y! etv'y-s't) FT, dans lesquelles y, Y,, y représenteront trois quantités constantes, entrainera immédiatement, en vertu d'un théorème établi dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (5° et 6° livraison, p. 158) (‘), les deux conditions
(5) devise, purs mas
et, comme la formule
entrainera encore celle-ci EE.
les trois équations analogues à la formule (1) du $ I, savoir,
(6) TEE ahe vis As, HI DRUNEEN, déviendront (7) u?+ v?— k1, u? + p?= k?, ULTRA".
On aura donc, par suite,
ME KP PU, puis on en conclura (oh U,—=—u,
u,ne pouvant se réduire à w. Donc, en passant du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, on obtiendra, au lieu des formules (4), les
suivantes :
E = 3% 1 ir 50 =! ke 1? 4 Æ 19 (9) Laeterno tt ET ee d' EU M “= (10) Re ee
3! — H'etuæ+vy-st) =, El — C'etuz+vy-st) v=1.
(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. XI.
Or, eu égard aux formules (4), (9), (10), les conditions (3) donneront
(EC H—H)=; IE, k(H+H)= KIT, (11) |
u(G— Gr = C+cC =C!.
Si, dans les formules (11), on pose, pour plus de commodité,
HÆ<IR Cet EH. OT
on trouvera simplement
EG—T)=$F, k(1+I)= KT,
AUn dd 1+J = 7 et, par suite, / TE Kg — Ku! .. 2kk'u | ku + Eu? — ku + lu (12) l5 di un à au Ro ra ER ETES"
Ces dernières formules comprennenteffectivement celles que nous avons données dans les Comptes rendus de. 1836 et de 1839 comme propres à représenter les lois de la réflexion et de la réfraction produites par la surface extérieure ou intérieure d’un corps transparent ou opaque. C'est, au reste, ce que nous expliquerons plus en détail dans un nouvel article.
PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Méthode abrégée pour la recherche des lois suivant lesquelles la lumière se trouve réfléchie ou réfractée par la sur-
face d’un corps transparent ou opaque.
