C.R., T. XV, p. 542 (12 septembre

Un Mémoire que j'ai offert à l’Académie dans les séances des 18 mars, 25 mars et 1% avril 1839, contient une méthode générale propre à

fournir les conditions relatives aux limites des corps dans les problèmes de Physique mathématique. Dans d'autres Mémoires, que renferment les Comptes rendus des séances de la même année, ainsi que dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, j'ai appliqué la méthode dont il s’agit à la recherche des lois suivant lesquelles un rayon lumineux se trouve réfléchi ou réfracté par la surface de séparation de deux milieux isophanes. Mais il restait à montrer comment la méthode s'applique au cas où les milieux donnés cessent d’être isophanes. D'ailleurs il était à désirer que ces diverses applications fussent présentées sous une forme simple et presque élémentaire, de telle sorte que l'esprit des lecteurs peu familiarisés avec le Calcul intégral püût aisément saisir les principes sur lesquels repose la théorie mathématique de la réflexion et de la réfraction. Tel est le double but que je me suis proposé dans un nouveau travail dont je vais donner le résumé en peu de mots.

Dans le système des ondulations, les phénomènes lumineux résultent, comme on sait, de mouvements vibratoires propagés à travers un fluide lumineux ou éther dont les molécules agissent les unes sur les autres à de très petites distances. En effet, les phénomènes s’expliquent très bien lorsqu'on admet ces mouvements vibratoires et qu'on les suppose semblables aux mouvements infiniment petits des systèmes de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.

Cela posé, considérons en particulier un seul système de molécules qui agissent les unes sur les autres à de très petites distances, et concevons que la position de chaque molécule soit rapportée à trois axes rectangulaires des æ, y, 3. Les trois équations d’un mouvement quelconque du système seront trois équations aux dérivées partielles, ou même trois équations aux différences mèêlées, qui devront servir à déterminer, au bout d’un temps quelconque #, les trois déplacements d'une molécule, mesurés parallèlement aux axes, en fonction des quatre variables indépendantes, savoir, des coordonnées et du temps. D'ailleurs, én considérant les trois déplacements dont il s’agit, ainsi

que leurs différences finies et leurs différentielles ou dérivées, comme des quantités infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, on devra, dans les trois équations du mouvement, conserver seulement les premières puissances de ces déplacements et de ces différences finies ou dérivées. On verra ainsi les trois équations du mouvement se réduire à trois équations linéaires, qui seront d'autant plus exactes que les déplacements seront plus petits, et qui représenteront ce que nous appelons les mouvements infintment petits du système donné.

Puisque les équations des mouvements infiniment petits d’un système de molécules ou points matériels sont linéaires, lorsqu'on connaitra plusieurs intégrales particulières de ces équations, il suffira de les combiner entre elles par voie d’addition pour en obtenir d’autres. Done, étant donnés plusieurs mouvements infiniment petits que peut prendre le système, un nouveau mouvement, dans lequel chaque déplacement moléculaire aurait pour valeur la somme de ses valeurs relatives aux mouvements donnés, sera encore un des mouvements infiniment petits que le système est susceptible d'acquérir. On dit alors que le nouveau mouvement résulte de la superposition de tous les autres.

Ce n’est pas tout : puisque les trois équations des mouvements infiniment petits d’un système de points matériels sont linéaires, les valeurs qu’elles fournissent pour les déplacements d’une molécule sont les parties réelles de variables imaginaires qui vérifient trois autres équations de même forme. Ces variables imaginaires et les. équations qu'elles vérifient sont ce que nous appelons les déplacements symboliques d'une molécule et les équations symboliques des mouvements infiniment petits. Si d’ailleurs les trois équations réelles de ces mouvements sont indépendantes de l’origine des coordonnées, en sorte qu'elles ne se trouvent pas altérées quand on transporte l’origine d’un point à un autre, la manière la plus simple de vérifier les équations symboliques sera d’égaler chaque déplacement symbolique au produit d’un paramètre constant, réel ou imaginaire, par une exponentielle népérienne, dont l’exposant, réel ou imaginaire, se réduise

à une fonction linéaire des coordonnées et du temps et s’évanouisse avec les variables. Le mouvement infiniment petit que l’on obtient dans cette hypothèse est ce que nous appellerons un mouvement simple. L’exponentielle népérienne, à laquelle chaque déplacement symbolique restera proportionnel dans un mouvement simple, sera nommée le symbole caractéristique de ce mouvement. Ce symbole restera toujours le même, quel que soit celui des axes coordonnés auquel se rapporte le déplacement effectif, et dans le cas même où le déplacement effectif serait mesuré parallèlement à un axe quelconque, arbitrairement choisi. Mais la position de cet axe influera sur la valeur réelle ou imaginaire du paramètre par laquelle on devra multiplier le symbole caractéristique pour obtenir le déplacement symbolique dont le déplacement effectif est la partie réelle; et, par suite, les déplacements symboliques correspondants aux trois axes coordonnés renfermeront en général trois paramètres différents. Ces trois paramètres et les quatre coefficients réels ou imaginaires par lesquels les variables indépendantes seront multipliées dans l’exposant du symbole caractéristique vérifieront trois équations finies, qui se déduiront sans peine des équations des mouvements infiniment petits; et, si l’on élimine les trois paramètres entre ces trois équations finies, on obtiendra précisément l'équation résultante à laquelle nous avons donné le nom d’équation caractéristique.

La nature d’un mouvement simple, tel qu’il vient d’être défini, dépend surtout du symbole caractéristique représenté, comme nous l'avons dit, par une exponentielle trigonométrique dont l’exposant est une fonction linéaire des quatre variables indépendantes. Ce mouvement simple sera durable ou persistant, et se propagera sans s’affaiblir si l'exposant du symbole caractéristique n'offre pas de partie réelle, et alors chaque déplacement effectif d’une molécule sera le produit d’une constante réelle, équivalente au module du paramètre, par le cosinus d’un certain angle variable appelé phase, cet angle étant d’ailleurs une fonction réelle et linéaire des variables indépendantes. En multipliant un semblable produit par le module du symbole, c’est-

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à-dire par une exponentielle dont l’exposant sera encore une fonction réelle et linéaire des variables indépendantes, on obtiendra la forme générale des déplacements effectifs des molécules, dans le cas où le mouvement simple s'éteint par degrés avec le temps, ou s’affaiblit en se propageant. Dans tous les cas, les déplacements effectifs des molécules, mesurés parallèlement à un axe quelconque, s’évanouiront, pour une même molécule, après des intervalles de temps égaux, dont chacun sera la moitié de ce qu’on nomme la durée d’une vibration moléculaire, et à un même instant pour toutes les molécules situées dans des plans parallèles à un certain plan invariable et séparés entre eux par des distances dont chacune sera la moitié de ce qu'on nomme la longueur d'une ondulation. Le système donné sera divisé par ces mêmes plans en tranches composées de molécules qui, lorsqu'on passera d’une tranche à la suivante, se trouveront déplacées en sens inverses; et la réunion des deux tranches contiguës formera ce qu'on appelle une onde plane, la longueur d’ondulation représentant l'épaisseur de cette onde. Le temps venant à croître, chaque onde se déplacera dans l’espace avec son plan, ou plutôt avec les plans qui la terminent, et la vitesse de propagation d'une onde sera le rapport qui existe entre son épaisseur et la durée des vibrations moléculaires. Ajoutons que, si un mouvement simple s’affaiblit et s'éteint en se propageant, le coefficient variable du cosinus de la phase, dans chaque déplacement effectif, décroitra en progression géométrique, tandis que la distance d’une molécule à un second plan invariable croitra en progression arithmétique.

Étant donné le symbole caractéristique du mouvement simple, on connait immédiatement la durée des vibrations de laquelle dépend la nature de la couleur, les directions des deux plans invariables dont nous avons parlé, par conséquent la direction des plans des ondes et l'épaisseur d’une onde plane ou la longueur d'une ondulation.

Quant au paramètre que renferme un déplacement symbolique, il est le produit d’un module constant par une exponentielle dont l'argument est ce que nous appelons le paramètre angulaire. Lorsque le

mouvement simple est durable ou persistant, le module dont il s’agit représente la demi-amplitude des vibrations moléculaires, mesurées parallèlement à un axe donné. Ajoutons que, dans tous les cas, le paramètre angulaire représente la phase correspondante à des valeurs nulles des variables indépendantes.

Nous avons déjà observé que les coefficients réels ou imaginaires, par lesquels le temps et les coordonnées se trouvent multipliés dans le symbole caractéristique d’un mouvement simple, sont liés entre eux par l'équation caractéristique. Ajoutons que cette équation renferme seulement le carré du premier de ces coefficients, et qu’elle est du troisième degré par rapport à ce carré. Donc, si l’on prend ce carré pour inconnue, elle offrira trois racines. À ces trois racines, lorsqu'elles sont inégales, correspondent trois espèces de mouvements simples, qu’un seul système de molécules est susceptible de pro- : pager. Mais il peut arriver que deux des trois racines se réduisent à une racine double, et alors les trois mouvements simples se réduiront à deux seulement. Si l’on excepte ce cas particulier, les rapports des trois paramètres que renferment les déplacements symboliques correspondants aux trois axes æ, y, 3 seront complètement déterminés pour chaque mouvement simple. Cela posé, considérons un mouvement simple qui se propage sans s’affaiblir. On conclura des remarques précédentes que, pour une direction donnée du plan invariable parallèle au plan des ondes, les directions des vibrations moléculaires seront, en général, complètement déterminées, ainsi que la vitesse de propagation des ondes planes. Toutefois, si deux des mouvements simples que le système de molécules est susceptible de propager se réunissent, les vibrations de chaque molécule, dans les deux mouvements réduits à un seul, ne seront plus dirigées suivant une droite déterminée, mais seulement comprises dans un plan déterminé, et par suite chaque molécule décrira une courbe plane. D'ailleurs, comme le caleul le fait voir, cette courbe sera toujours ou un cercle ou une ellipse.

Concevons maintenant qu'à un instant donné on fasse passer par un

même point diverses ondes planes correspondantes à divers mouvements simples, ou plutôt les plans qui terminent ces ondes, et supposons ces plans infiniment peu inclinés les uns sur les autres. Alors, le temps venant à croître, ces plans se déplaceront avec les ondes dont il s’agit, et le point commun à tous ces plans se déplacera lui-même en parcourant une certaine droite. Si le système de molécules donné est l’éther ou le fluide lumineux répandu dans un corps, cette droite sera ce qu'on appelle, dans la théorie de la lumière, l'axe d’un rayon simple. Le rayon simple de lumière ne sera lui-même autre chose que la file des molécules d'éther qui, originairement situées sur cet axe, s’en écartent à chaque instant dans un sens ou dans un autre, en vertu du mouvement simple correspondant à l’une des ondes planes dont nous avons parlé.

Aux trois espèces de mouvements simples qui, d’après ce qu’on a dit ci-dessus, pourront généralement se propager dans une masse de fluide éthéré, correspondent trois rayons simples. Si ces trois rayons demeurent distincts, et si chacun d’eux se propage sans s’affaiblir, les vibrations des molécules d’éther seront dans chaque rayon constamment parallèles à un certain axe, et par conséquent chaque molécule décrira une ligne droite; mais il n’en sera plus de même si deux rayons se réunissent en un seul, ce qui arrivera quand le système de molécules sera tellement constitué qu’un mouvement simple s’y propage en tous sens suivant les mêmes lois. Un tel système de molécules est ce que nous nommons un système tsotrope, et, dans la théorie de la lumière, un système ssophane. Lorsque, dans un système ou milieu isophane, un rayon simple se propage sans s’affaiblir, les vibrations des molécules qui composent ce rayon sont nécessairement, ou transversales, c’est-à-dire comprises dans des plans perpendiculaires à l’axe du rayon, ou longitudinales, c’est-à-dire dirigées suivant cet axe. Dans les milieux non isophanes, les vibrations qui se propagent sans s’affaiblir sont encore sensiblement transversales ou longitudinales par rapport aux rayons. Les vibrations transversales ou sensiblement transversales sont celles qui, dans l'opinion des physi-

ciens, occasionnent la sensation de la lumikre; elles sont du moins les seules dont l'existence se trouve constatée dans les rayons lumineux qui peuvent être perçus par l'œil. Lorsqu'un mouvement simple s'éteint en se propageant, les vibrations peuvent cesser d’être sensiblement transversales ou longitudinales, et quoique alors l'œil ne puisse plus les saisir, elles interviennent cependant dans la production des phénomènes lumineux, particulièrement des phénomènes de réflexion et de réfraction, comme on le verra ci-après.

Lorsqu'un mouvement simple de l’éther dans lequel les vibrations sont transversales se propage dans un certain milieu sans s’affaiblir, ce milieu est appelé transparent. I devient opaque dans le cas contraire.

Ce qui constitue le mode de polarisation d’un rayon simple propagé dans un milieu transparent, c’est la nature de la ligne droite ou courbe décrite par chaque molécule dans un plan perpendiculaire à l’axe du rayon. Suivant que cette ligne se réduit à une droite, à un cercle, ou à une ellipse, la polarisation est rectiligne, circulaire ou elliptique. La polarisation est toujours rectiligne dans les milieux non isophanes; elle peut devenir circulaire ou elliptique dans les milieux isophanes, dans l'air par exemple. Dans la polarisation rectiligne, les nœuds du rayon sont les points équidistants où 1l rencontre son axe, et ces nœuds sont de deux espèces différentes, selon qu'ils se trouvent placés avant ou après les molécules qui s’écartent de l’axe dans un certain sens. La distance entre deux nœuds consécutifs de même espèce est précisément l'épaisseur d’une onde plane. Dans un milieu isophane, tout rayon doué de la polarisation circulaire ou elliptique peut être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons polarisés rectilignement, mais renfermés dans deux plans qui se coupent à angles droits; et alors son anomalie est représentée par la distance entre deux nœuds des rayons composants, ou plutôt par un are proportionnel à cette distance, savoir, par celui qui devient équivalent à la circonférence quand la distance dont il s’agit devient équivalente à l'épaisseur d'une onde plane.

Examinons maintenant ce qui arrive quand un mouvement simple est transmis d'un milieu à un autre.

Les équations aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de molécules d’éther sont du second ordre par rapport au temps. D'ailleurs, lorsqu'on néglige la dispersion des couleurs, la vitesse de. propagation des ondes planes devient la même pour tous les rayons simples qui, étant dirigés suivant une même droite, se propagent sans s’affaiblir, et par suite les durées des vibrations moléculaires deviennent proportionnelles aux longueurs d’ondulations, ce qui exige que les équations des mouvements infiniment petits deviennent homogènes. Donc alors ces équations seront du second ordre, non seulement par rapport au temps, mais aussi par rapport à chacune des coordonnées, et l'intégration introduira dans leurs intégrales deux fonctions arbitraires relatives à chacune des inconnues, c’est-à-dire à chacun des déplacements moléculaires. Mais ces deux fonctions arbitraires auront des valeurs diverses, suivant la nature du problème qu'il s’agit de résoudre. Si, le mouvement imprimé aux molécules de l’éther dans un certain milieu étant supposé connu à une certaine époque, il s’agit d’en conclure le mouvement qui s’observera dans ce même milieu à une époque quelconque, par exemple au bout du temps 4, les fonctions arbitraires seront celles qui représenteront, au premier instant, les déplacements moléculaires et leurs dérivées prises par rapport au temps, ou, ce qui revient au même, les vitesses mesurées parallèlement aux axes des æ, Y, 3. Si, au contraire, le mouvement des molécules étant supposé connu à une époque quelconque dans un premier milieu, il s'agira d'en conclure lé mouvement transmis à d’autres molécules qui se trouvent comprises dans un second milieu séparé du premier par une surface plane ou courbe, par exemple par le plan des y, x, les fonctions arbitraires représenteront les déplacements des molécules situées dans ce plan, c’est-à-dire les déplacements moléculaires correspondants à une valeur nulle de l’abscisse æ, et les dérivées de ces

déplacements relatives à æ, ou plutôt les valeurs que prennent ces

dérivées pour æ = 0. Or la considération de ces déplacements et de ces dérivées fournit immédiatement les lois suivant lesquelles un rayon simple de lumière pourra être réfléchi ou réfracté par la surface de séparation de deux milieux, quand cette surface sera plane; c’est ce que l'on reconnaitra sans peine en ayant égard aux remarques suivantes.

Considérons deux milieux séparés l’un de l’autre par une surface plane. Dans le cas général où ces milieux ne sont pas isophanes, chacun d’eux, comme nous l'avons déjà dit, pourra propager trois espèces de rayons simples, dont deux au plus sont perçus par l'œil. Ce n’est pas tout : les ondes planes correspondantes à un rayon simple pourront se propager, à partir d’un point ou d’un plan donné, dans deux sens opposés l’un à l’autre, et par suite on pourra distinguer, parmi les ondes planes de chaque espèce, celles qui s’approcheraient de la surface de séparation et celles qui s’en éloigneraient. Les premières seront ce qu’on appelle des ondes incidentes, les dernières ce qu'on appelle des ondes réfléchies ou des ondes réfractées. Cela posé, concevons qu'un rayon simple de lumière tombe dans le premier des deux milieux sur la surface de séparation. Ce rayon incident devra naturellement occasionner, dans chaque milieu, la production d’un rayon réfléchi ou réfracté de chaque espèce. Donc on aura encore à considérer, outre le rayon incident, six autres rayons, savoir, trois rayons réfléchis et trois rayons réfractés. Or, concevons que l’on prenne la surface de séparation des deux milieux pour plan des y, =; six variables distinctes représenteront dans chaque milieu les déplacements moléculaires, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, et les dérivées de ces déplacements prises par rapport à æ. D'ailleurs, puisqu'on suppose le mouvement transmis du premier milieu au second, les valéurs de ces six variables correspondantes à Ia surface de séparation, c'est-à-dire à une valeur nulle de , pourront être considérées comme les six fonctions arbitraires dont la forme entraine la nature du mouvement produit dans le second milieu. Or, les valeurs de ces fonctions arbitraires étant calculées d’abord à l’aide du rayon incident et des trois rayons réfléchis, puis égalées à celles que donnent les trois

rayons réfractés, on obtiendra six équations de condition qui devront être vérifiées en chaque point de la surface réfléchissante, et qui suffiront pour déterminer complètement la nature des six rayons inconnus réfléchis ou réfractés. En effet, pour que ces équations de condition soient vérifiées, 1l sera d’abord nécessaire, suivant un principe établi dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (Tome 1°, page 157) ('), que les symboles caractéristiques de tous les rayons réfléchis et réfractés ne diffèrent pas du symbole caractéristique du rayon incident. D'ailleurs cette première condition déterminera complètement, dans les six nouveaux rayons, non seulement la durée des vibrations moléculaires qui, avec la nature de la couleur, restera la même avant ou après la réflexion ou la réfraction, mais aussi Les épaisseurs des ondes planes, les directions des plans des ondes et les directions des vibrations moléculaires. Il y a plus : cette première condition étant supposée remplie, les seules inconnues que renfermeront encore les six équations de condition seront les six paramètres réels ou imaginaires qui correspondront aux trois rayons réfléchis et aux trois rayons réfractés. On pourra donc déterminer complètement ces paramètres, qui feront connaitre, pour chacun de ces rayons, quand il se propagera sans s’affaiblir, l'amplitude des vibrations moléculaires et la phase correspondante à des valeurs nulles des variables indépendantes. Avant d'aller plus loin, nous avons une remarque importante à faire. Nous avons raisonné comme si la forme des équations aux dérivées partielles, qui représentent les mouvements infiniment petits des molécules comprises dans un milieu, subsistait sans altération dans le voisinage même de la surface qui sépare ce premier milieu d’un second. Cette manière d'opérer n’est pas rigoureusement exacte; mais la méthode plus rigoureuse, que nous avons établie dans les Comptes rendus de mars et d'avril 1839, suffit pour montrer que les résultats obtenus par le nouveau procédé pourront être admis avec confiance, si le diamètre de la sphère d'activité sensible des molécules éthérées est

(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. XI.

très petit relativement à la longueur d’une ondulation. Cette condition, donnée par le calcul, pouvait être assez facilement prévue. On conçoit en effet que, dans le cas où elle ne serait pas remplie, les mouvements simples ou par ondes planes se trouveraient sensiblement altérés par l'influence de la surface réfléchissante à des distances trop considérables encore pour qu'ils pussent franchir ces distances et pénétrer en se modifiant dans ce second milieu. Si, au contraire, la condition ci-dessus énoncée se trouve remplie, on déduira immédiatement des principes que nous venons d'établir les lois de la réflexion et de la réfraction produites par la surface de séparation de deux milieux transparents ou opaques; mais il sera rigoureusement nécessaire d’avoir égard aux trois espèces de rayons qui peuvent généralement se propager dans chaque milieu. Si l'on tenait compte seulement des deux rayons qui peuvent être perçus par l’œil dans les milieux cristallisés, les six équations de condition relatives à la surface réfléchissante ne renfermeraient plus que quatre inconnues, savoir, les quatre paramètres correspondants, d’une part aux deux rayons réfléchis, d'autre part aux deux rayons réfractés, et ne pourraient plus être vérifiées que dans des cas particuliers, par exemple, pour certaines directions particulières du rayon incident. Au reste, nous ne devons pas être surpris que, dans chaque milieu, la réflexion ou réfraction produise seulement deux rayons sensibles à l’œil, et que le troisième rayon réfléchi ou réfracté reste inaperçu; car le caleul fait voir que ce troisième rayon, qui, s’il pouvait se propager sans s’affaiblir, offrirait des vibrations longitudinales, est de la nature des rayons qui pénètrent dans les corps opaques et s'éteint comme eux à une très petite distance de la surface réfléchissante. Mais cette circonstance ne nous autorise en aucune manière à le considérer comme non avenu, attendu que, sur la surface même, les amplitudes des vibrations moléculaires sont du même ordre dans les trois espèces de rayons réfléchis ou réfractés. D'ailleurs, quoique le troisième rayon ne soit pas visible, son existence et même sa nature sont clairement indiquées par le calcul, et il est impossible qu’un rayon simple, tombant sur la surface de ŒEuvres de C.— S.I,t. VI. 19

séparation de deux corps isophanes, ne fasse pas naître dans chacun de ces milieux trois mouvements simples réfléchis ou réfractés. Ces trois mouvements simples et les trois systèmes d’ondes planes qu'ils présentent correspondent, comme nous l'avons déjà dit, aux trois racines de l’équation caractéristique résolue par rapport au carré du coefficient qui détermine la durée des vibrations moléculaires. Ces trois racines elles-mêmes se trouvent introduites dans l’équation dont il s’agit, en raison des trois coordonnées qui appartiennent à chaque point, et qui correspondent aux trois dimensions de l’espace. Ainsi le nombre des dimensions de l’espace exprime nécessairement le nombre des rayons réfléchis ou réfractés par une surface plane.

Nous avons jusqu'ici considéré comme distinctes les trois espèces de rayons qui peuvent être propagés dans chaque milieu. Examinons maintenant le cas particulier où les deux milieux deviennent isophanes. Alors, dans chaque milieu, l'équation caractéristique ayant une racine double, deux des trois rayons correspondants à une direction donnée des plans des ondes se réuniront en un seul, dans lequel les vibrations pourront être dirigées suivant une droite quelconque perpendiculaire à l'axe du rayon. Par suite aussi, les trois rayons réfléchis ou réfractés se réduiront à deux. Il y a plus : pour ceux des rayons réfléchis et réfractés qui s’éteindront à une petite distance de la surface réfléchissante, les vibrations moléculaires resteront comprises dans le plan d'incidence, et, par suite, on pourra faire abstraction de ces derniers rayons, si les vibrations des molécules dans le rayon incident sont perpendiculaires au plan d'incidence. Donc alors, si le second milieu devient transparent, les principes ci-dessus établis fourniront précisément les lois de réflexion et de réfraction découvertes par Fresnel, et confirmées, par l'expérience, pour ce qu’on appelle un rayon polarisé dans le plan d'incidence, et l’on reconnaitra en particulier que le rayon réfléchi ne peut disparaitre sous aucune incidence, quand l'indice de réfraction, c’est-à-dire Le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction, ne se réduit pas à l’unité. Donc un rayon polarisé dans un plan est, comme le croyait Fresnel, un rayon simple dans

lequel les vibrations sont perpendiculaires à ce plan, ou, en d’autres termes, le plan de polarisation d'un rayon simple est le plan perpendiculaire aux droites suivant lesquelles sont dirigées les vibrations rectilignes des molécules éthérées.

Si les vibrations des molécules dans le rayon incident étaient, non plus perpendiculaires au plan d'incidence, mais renfermées dans ce plan, alors, dans la recherche des lois de la réflexion et de la réfraction, on devrait nécessairement tenir compte des rayons qui s’éteignent à une petite distance de la surface réfléchissante, et, en opérant ainsi, on obtiendrait des formules qui comprennent, comme cas particuliers, celles que Fresnel a trouvées, en supposant que le rayon incident fût un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence. Cette remarque vient encore à l'appui de l’opinion de Fresnel sur la direction des vibrations moléculaires par rapport au plan de polarisation.

Il ne sera pas inutile d'observer que, dans la recherche des lois de la réflexion et de la réfraction produites par la surface de séparation de deux milieux isophanes, ou non isophanes, les six équations de condition relatives à la surface peuvent être réduites à quatre par l’élimination des paramètres relatifs aux rayons qui s’éteignent en se propageant. Or il est remarquable que trois des équations ainsi obtenues pour les milieux isophanes sont précisément trois des quatre équations données dans la 7° livraison des Nouveaux Exercices de Mathémasiques (*), savoir celles qui renferment trois fonctions différentielles alternées. La quatrième équation de condition peut se réduire encore à celle que renferment les Nouveaux Exercices, mais seulement dans le cas où l’on suppose que les corps transparents et isophanes sont capables, comme le verre, de polariser complètement la lumière par réflexion.

Quant au principe des vibrations équivalentes, appliqué par Fresnel au cas où les vibrations sont parallèles à la surface réfléchissante, et par M. Mac-Cullagh à tous les cas possibles, ilest exact, dans la théorie de Fresnel et pour la raison que nous avons indiquée, quand on sup-

(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. X.

pose les vibrations perpendiculaires au plan d'incidence; mais il nous paraît inexact dans la théorie de M. Mac-Cullagh, lorsqu'on fait, avec cet auteur, abstraction des rayons qui s’éteignent à une petite distance de la surface réfléchissante. Il redeviendra exact si l’on tient compte de ces derniers rayons; et même les six équations de condition que fournit notre théorie coincident alors avec les trois équations fournies par ce principe et avec leurs dérivées prises par rapport à la variable qui représente une abscisse mesurée sur une perpendiculaire à la surface réfléchissante.

Dans ce qui précède nous avons supposé que chaque milieu renferme un seul système de molécules, toutes les molécules étant de même nature, mais leur arrangement pouvant n'être pas le même dans le premier milieu et dans le second. Le vide ou l’éther isolé peut offrir un tel milieu, et ce milieu est certainement isophane. Chacun des autres milieux renferme nécessairement un ou plusieurs systèmes de molécules, par exemple les molécules de l’éther et les molécules d’un : corps solide, liquide ou gazeux. Donc appliquer aux seules molécules d’éther les principes ci-dessus établis, c’est supposer que, dans le calcul des phénomènes relatifs à la réflexion et à la réfraction de la lumière, on peut, sans erreur sensible, faire abstraction des vibrations imprimées aux molécules des corps. On s’approchera davantage de la réalité, si l’on tient compte de ces dernières vibrations. Mais alors le nombre des rayons réfléchis et réfractés sera doublé, aussi bien que le nombre des racines de l'équation caractéristique et le nombre des équations de condition relatives à la surface réfléchissante. Alors aussi trois racines de l’équation caractéristique seront analogues à celles qui fournissent les mouvements simples de l’éther dans le vide; trois autres se rapporteront plus spécialement aux vibrations des molécules des corps. On pourrait donc alors distinguer, parmi les rayons réfléchis, ceux qui proviendront directement du rayon incident et ceux qui en proviendront indirectement, étant produits par les vibrations des molécules renfermées dans le second milieu. Ces conclusions seraient conformes à des expériences remarquables publiées par

M. Arago et à l’explication que notre illustre confrère en a donnée.

Il est d’ailleurs naturel de penser que les six rayons dont il s’agit, avec les six mouvements simples qui leur correspondent et auxquels participent à leur manière les molécules des corps, fourniront lexplication des phénomènes dus à ce qu’on nomme les rayons chimiques, calorifiques, etc.

Dans d’autres articles, je déduirai des principes que je viens d’exposer les lois de la réflexion et de la réfraction opérées par la surface de séparation de deux milieux isophanes ou non isophanes, les lois de la réflexion totale produite par la seconde surface de séparation d'un corps transparent, celles de la polarisation elliptique produite par la réflexion à la surface des métaux, et même les lois de la diffraction de la lumière.

Je me propose encore de montrer comment on peut appliquer les mêmes principes à la théorie du son, des cordes vibrantes, des surfaces “élastiques, etc.

PHysiQuE MATHÉMATIQUE. — Note sur la diffraction de la lumuëre.