C. R., T. XV, p. 605 (26 septembre
Dans la théorie de la lumière et dans le système de l’émanation, chaque rayon lumineux est animé d’un mouvement de translation, et les molécules dont il se compose se meuvent en ligne droite, en vertu de vitesses acquises; c’est même en vertu des vitesses de translation des molécules que les rayons lumineux, après avoir traversé une ouverture pratiquée dans un écran, continuent à se mouvoir en ligne droite, de manière à laisser généralement dans l'ombre les points situés en dehors de leurs propres directions. Mais comment est-il possible de concevoir l'existence de ce phénomène dans le système des ondulations? Comment peut-on alors expliquer la marche rectiligne des rayons lumineux et les filets de lumière qui s’échappent, par exemple, au travers des fentes d’un volet? Ce problème est l’un de
ceux que j'ai résolus depuis longtemps. Il est précisément celui dont j'ai annoncé la solution dans les deux Lettres adressées de Prague à M. Libri, les 22 et 26 avril 1836. Ces Lettres, insérées dans le Compte rendu de la séance du 9 mai 1836, contiennent le passage suivant:
Comme une des plus graves objections que l’on ai faites contre la théorie des ondulations de l’éther se tire de l'existence des ombres et de la propriété qu'ont les écrans d'arrêter la marche des vibrations lumineuses, Je désirais beaucoup arrwer à déduire de mes formules générales les lois relatives aux deux phénomènes des ombres et de la diffraction. Mais, pour y parvenir, Ü fallait surmonter quelques difficultés d'analyse. J'y ai enfin reussi; el, pour représenter les mouvements de l’éther lorsque la lumière est interceptée par un écran, j & trouve des formules dont je veux un 1nstant vous entretenir. SUN
Dans la suite de la même Lettre, je donnais les formules que j'avais obtenues pour le cas où la lumière se trouve en partie interceptée par un écran dont la surface est plane et perpendiculaire à la direction du rayon incident; puis j'examinais ce qui arrive quand la lumière passe à travers une fente pratiquée dans la surface, et j'ajoutais que mes formules générales représentaient le rayon diffracté, quelles que fussent la direction et la nature du rayon incident. J'indiquais en particulier cette conséquence de mes formules, que, si le rayon incident est polarisé dans un certain plan, le rayon diffracté restera toujours polarisé dans le même plan.
La question à laquelle se rapportait ma Lettre du 22 avril 1836 étant effectivement une des plus importantes que présente la théorie de la lumière, j'ai pensé que les géomètres ne verraient pas sans intérêt l'analyse qui m'avait conduit aux formules et aux conséquences exposées dans cette Lettre. Je vais transcrire ici cette analyse, telle que je la retrouve dans le quatrième paragraphe d’un Mémoire sur la Théorie de la lumiëre, contenu dans l’un des cahiers manuscrits et reliés que j'ai rapportés d'Allemagne. Parmi les diverses formules qui ont rapport à la diffraction, dans les cahiers dont il s’agit, celles que présente
le paragraphe cité sont évidemment celles qu'indique ma Lettre du 22 avril. En effet, ces formules qui, sur le cahier où elles se trouvent inscrites, précèdent le texte original du Mémoire lithographié à Budweiss dans le mois d'août 1836, sont conformes à celles que la Lettre renferme et fournissent tous les résultats énoncés dans cette Lettre. Les trois premiers paragraphes du Mémoire dont elles font partie renferment précisément la théorie des ondes sphériques ou cylindriques, mentionnée d’une part dans la même Lettre, d'autre part dans le Compte rendu de la séance du 18 novembre 1839; et c’est pour cette raison que M. Flourens, Secrétaire perpétuel de l’Académie, a bien voulu, sur ma demande, apposer sa signature en tête du Mémoire, dans la séance que je viens de rappeler.
Je tenais d'autant plus à donner en détail les calculs dont les résultats se trouvent consignés dans le Tome IT des Comptes rendus de l’Académie, qu'avant l’époque où ma Lettre a été publiée, c’est-à-dire avant le mois de mai 1836, personne, à ma connaissance, n’était parvenu à déduire des formules qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de points matériels, une théorie mathématique des ombres et de la diffraction. Par ce motif, je crois pouvoir, avec confiance, offrir mon Mémoire à l’Académie, comme un témoignage des efforts que je n’ai cessé de faire afin de contribuer, autant qu’il dépendait de mot, aux progrès de la Physique mathématique.
ANALYSE (!)
Considérons, dans la théorie de la lumière, le cas où le mouvement se propage en tous sens, suivant les mêmes lois, et soient, au bout du
temps £, ; ë& nn, &
(1) Pour rendre cette analyse plus facile à suivre, je transcris ici, avec le quatrième paragraphe du Mémoire cité dans le préambule, quelques lignes empruntées au premier paragraphe de ce Mémoire; et d'ailleurs, pour plus de simplicité, je représenterai les dérivées des divers ordres d’une même fonction, prises par rapport à , y, 3, t, à l’aide des caractéristiques
D, D,, D:, D,; Di, D},
les déplacements de la molécule qui occupe le point (x, Y,:), mesurés parallèlement aux axes coordonnés. Si l’on conserve seulement dans le calcul les dérivées du second ordre de &, n, € prises par rapport aux coordonnées +, y, 3, les équations du mouvement de l’éther seront de
la forme D'E = Q(D5 + D; + Di)é + 2RD:,
(1) { Din = (Di + Di +Di)n+2RD,r, D?6 = Q?(D2 + D; + D2)6 + 2RD,v,
Q, R désignant deux quantités constantes, et la valeur de v étant (2) v—=D,Ë+D,n+D.6. On tire des formules (1) et (2)
Div—(@+32R) (D? + D; + Di).
Cette dernière équation sera vérifiée si l’on a, quel que soit #, (3) ae
Effectivement, l'équation (3) parait subsister dans les phénomènes lumineux toutes les fois que la propagation du mouvement est la même en tous sens. Si d’ailleurs on a
et si Ë, n deviennent indépendants de z, les équations (1) seront réduites à |
u D'n—@(D:+ D?)n, tandis que les formules (2) et (3) donneront (5) | DË+D,n=o.
Supposons maintenant que, les rayons lumineux étant dirigés vers la partie de l’espace située du côté des æ positifs, la lumière soit interceptée dans le plan des +, y, excepté entre les limites
(6) P=# Y = Ji.
Supposons d’ailleurs que, du côté des x négatives, les variables imaginaires
dont les parties réelles sont £, n, se trouvent déterminées par les équations
(7) E—— Cretuz+vy-s) V1 n = Cueluz+vy-st) V1 (!), u, #, s désignant des constantes liées entre elles par les formules
et C une constante imaginaire. On pourra supposer généralement, du côté des æ positives, |
4 — E=— Cf
Yo
Yi Ld n = Cu f LÉ exr—WV-tetvu-st)V-TA du da (2), 2T Yo FAR
Y1 e es us 1, exyr-b)V-1etvt—s0 VIA du da,
À désignant une fonction de æ et de « qui, en vertu des formules (4), devra vérifier l’équation
Q(D2A — A) ——s'A ou
(10) DiA——(4?— œ?)A,
qui devra se réduire à l’unité pour x — o, et qui de plus devra être telle que les formules (9) se réduisent aux formules (7), pour y, = — =»,
Y, = +. Or, si l’on pose At Fi#,. a}
(1) Ces valeurs de Ë, n sont celles qui représentent un mouvement simple, pour lequel se vérifient les équations (4) et (5).
(2) La forme donnée aux valeurs de £, n dans les équations (9) n’est pas arbitraire ment choisie; elle est telle que, en vertu de ces équations, et quand on y pose À — 1, les valeurs de Ë, 7 s’évanouissent hors des limites y = yo, 7 — 71, et se réduisent entre ces limites aux valeurs que donnent, pour x — o, les équations (7).
OEuvres de C.— S.1,1. VII. +
on aura, en vertu d’une formule connue,
= f L exp) tetes) VT À du da — er V-TF(x, +), 27 2 — ©
et, par suite, la supposition y, ——, y,— réduira les formules (9) à
E—— Coetvr-s)VTF(x,v), n—=Cuerr-sDVTF(x, +).
Donc, pour que cette supposition réduise les formules (9) aux formules (7), il suffit que l’on ait F(æ, 0) = enr Vi — eth-v) ay et, par suite, AF(&, a) ePrsner (6), Cela posé, les formules (9) donneront généralement
Y1 œæ so are L es Ë ER Ce f . eXY-U) V1 (PU 51) ET et43— a) æ dy. da, Yo suahrd
II { (11) : de 5 et 1n— Cu f [ eur BV-letrp—s0 V-ietk- eat Qu da. Yo Roed
On a d’ailleurs
Gt) =k- — +...
(12) (6 a) = PR
et, attendu que la valeur de # est très considérable, la formule (12) donnera sensiblement, pour des valeurs finies de «& (?},
1 Ci ! kx ÿ=i — y—1 (13) K—d}=k- ACC OLET ETES 2À :
On a, d'autre part, en supposant la partie réelle de la constante a posi-
J e(aa+ba) da — (5) É", 2 œ
tive,
(1) Cette valeur de A vérifie évidemment la formule (10), et en conséquence elle satisfait à toutes les conditions énoncées.
(2) Les valeurs infinies de « ne doivent pas influer sur les valeurs des seconds membres des formules (11); autrement ces seconds membres deviendraient indéterminés.
et, par suite,
(14) pelreonre-(yr : ,
Donc les formules (11) donneront
|E=ce ce. RENE Lette
5 { (e: L ne 4 CAT 1e [ere u) LES ., F Gui) e Fe
Si les directions des rayons lumineux sont parallèles à l’axe des x,
on aura? — 0, u —k, pas E=0,
sn Y1 er LA Fes res sa D PERF
puis en posant, pour abréger,
LA Leiv-1,
et, supposant I réel ainsi que à, on trouvera
TORENTES LEP 28 2 (16) ie EU A dpi;
par conséquent,
ATOME ON dé tr k(y—u} (19) fe) f cos] ke +25 74 FU ET Tan,
ou, ce qui revient au même,
R(Y—Y0) I 5 T (18) N=— cos(kæ+—st— 7 +4) da.
Tr? 1 4 K°(Y—Y1) v2x
Reprenons maintenant le problème de la diffraction dans toute sa généralité.
Supposons toujours la lumière interceptée dans le plan des y, 3, excepté entre les limites y — 7, y —7,. Mais concevons que, du côté des + négatives, le rayon lumineux soit un rayon quelconque repré-
senté par le système des formules
| E e (Bw ie Ce ) etux+Vy+Wwz—st) Ver,
(19) n = (Cu — Aw) etur+vy+wz—st) V1, 4 sa (Av — Bu)etur+vy+ws-st) VI (9, u? + p+ wi £?, S—
dans lesquelles 4, v, æ représentent des coefficients réels et A, B, C des coefficients imaginaires. On pourra supposer généralement, du côté des æ positives,
. Boo — Co Ve ie r [ E — Bw — Ce É Î eXty-b) V1 etwz+ep-st) V-T A dy. da,
