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leurs valeurs tirées des formules (9), (10), (11), (r2) du $ I. Or, si l’on choisit la constante k de manière que l’on ait
les formules (9), (10), (11), (12) du S I donneront, non seulement
et, par suite,
mais encore
Donc, pour obtenir la série (5), il suffira de développer, suivant les puissances ascendantes de :, la valeur particulière s de F(Ë, n, £, ...) déterminée par le système des formules
(6) ui) = f (Rs) (To) (1 Ë6).….a8, t À X k à Z
D'ailleurs, pour que la série (4) soit convergente, il suflira que la série (5) le soit. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Tuéorème 1. — Soit donné, entre la variable indépendante t et les
inconnues L, N'a
un système d'équations différentielles. Soient de plus Ë INT ee
de nouvelles valeurs de ces inconnues, qui correspondent à une nouvelle valeur 7 de la variable t. On pourra tirer des équations différentielles don-
nées des valeurs de
RE ot be et méme de TE MP de À
développables en series convergentes suivant les puissances ascendantes de = —1, si la valeur de S que détermine l'équation (7), jotnte à la formule (6), est elle-même developpable en une série convergenle ordonnee
suivant les puissances ascendantes de 1.
Corollaire I. — Si l'on pose, pour abréger,
la formule (6) deviendra
8 as HR (9) ef (Ro) (55) (25)... de Jo LR SA À ; Z
Corollaire II. — Si les équations différentielles données ne renferment pas explicitement la variable £, alors, d'après ce qui a été dit précédemment (voir le $ Il), on pourra, dans la formule (2), remplacer le premier membre, c’est-à-dire le produit
par la différence 4 — 7; et, en posant d’ailleurs
(—2)(-y) ten SR
on obtiendra, au lieu de la formule (6) ou (9), l'équation
À 8 + L é (10) fl (-%5)(— Te) 20). 25 0 X y \ Z
Corollaire II. — La valeur de e que donne l'équation (8) se déve-
loppe en série convergente par la formule
2? 3 (11) NE PEAR +...) Li 3 {?
lorsqu'on à (12) age À
La valeur de 2, que détermine l'équation (9), se développe elle-même, par la formule de Lagrange, en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de e, lorsqu'on a
(13) e<f (25) Te)(- 20)... d, À x y Z
« étant le plus petit des rapports
GI N Se "2
et il suffit évidemment que les conditions (12), (13) soient remplies pour que la valeur de s, fournie, par l’équation (3), soit elle-même développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de :. Cela posé, on pourra énoncer encore la proposition
suivante :
THéoRÈME Il. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème 1, les valeurs de
RE PS EE et même de Em)
seront développables en séries convergentes, suivant les puissances ascendantes de 5 — 1, si le module x de = — 1 vérifie sunultanément les deux conditions
NT À e o * $ \ Hit et. ufr) <f (—To)(—25)(1— 20)...
Alors aussi, en arrétant après un certain nombre de termes la série qui représente le développement de F(Ë, n, €, ...), suivant les puissances ascendantes de 7 — 1, on obtiendra un reste dont le module sera inferieur au reste correspondant de la série que représente le développement de s suwant
les puissances ascendantes de 1.
Corollaire I. — Si les équations différentielles données ne renferment pas explicitement la variable 4, alors, la formule (10) devant ètre substituée à la formule (13), la première des conditions (14) dis-
paraîtra, et la seconde se trouvera remplacée par celle-ct :
En terminant ce Mémoire, nous ferons une observation importante. Les divers termes du développement de F(£, n, Ÿ, ...), suivant les puissances ascendantes de = — #, ne cesseront pas d'offrir des modules inférieurs aux termes correspondants du développement de 8, si lon fait croître ce dernier. Or c’est précisément ce qui arrivera si l’on substitue
à chacun des rapports
le plus grand d’entre eux, c’est-à-dire la quantité positive . attendu que, dans le développement de s, chaque terme sera positif et proportionnel à une puissance positive de chacun de ces rapports. I suit de cette observation que les formules (6), (7) pourraient être remplacées
par les suivantes
\=1 8 n—1 3 é nn (16) ufr) = (1-2) d0=<|1-(1-°) | (3 À t n | t :
desquelles on tire
(18) s=afi-ntifi-) | ue
n désignant le nombre total des variables x, y, z, ..., 4.
En substituant la formule (10) à la formule (6), comme on peut le faire quand les équations différentielles données ne renferment pas explicitement la variable 4, on obtiendrait, au lieu de la formule (18), celle-ci
(19) s—a(i—nt) sé
tT
Pareillement, la seconde des conditions (14) et la condition (15). pourront être, si l’on veut, remplacées par les suivantes
L t (20) ufi—)<£ et (21) be dé
La formule (21), pour le cas où l’on suppose »? — 2, se trouve déjà dans le Mémoire lithographié de 1835.
CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur l'emploi du calcul des limites
dans l ‘intégration des équations aux dérivées partielles.
