C.R., T. XV, p. 44 (11 juillet

Peut-on intégrer généralement une équation aux dérivées partielles d’un ordre quelconque, ou même un système quelconque de semblables équations? C’est là, comme je l’ai remarqué dans l’avant-dernière séance, une question dont l'importance n’est pas contestée, mais dont la solution ne se trouve nulle part. Or, à l’aide du théorème fondamental précédemment établi, je parviens, non seulement à résoudre

la question dont il s’agit, mais encore à déterminer les limites des OEuvres de C.— S.1, t. VII. ÿ

erreurs que l’on commet quand on arrête, après un nombre de termes plus ou moins considérable, certaines séries qui représentent les développements des intégrales. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

En augmentant, s’il est nécessaire, le nombre des inconnues, on peut toujours réduire une ou plusieurs équations aux dérivées partielles d’un ordre quelconque à un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cela posé, concevons qu'il s'agisse d'intégrer une ou plusieurs équations aux dérivées partielles du premier ordre entre une ou plusieurs inconnues et des variables indépendantes

Vo: Vs: ASS CAES

dont la dernière £ pourra être censée représenter le temps. Pour une valeur particulière + de la variable indépendante £, les valeurs générales des inconnues se réduiront nécessairement à des fonctions des autres variables indépendantes æ, y, , ...; et, si ces valeurs générales peuvent être développées, par la formule de Taylor, en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la différence t— 7, les premiers termes de leurs développements seront précisément les fonctions dont il s’agit, et desquelles on pourra d’ailleurs disposer arbitrairement. Il est donc naturel de penser que les intégrales générales d’une ou de. plusieurs équations aux dérivées particlles du premier ordre renfermeront une ou plusieurs fonctions arbitraires, qui pourront être censées représenter les valeurs initiales des inconnues, c’est-à-dire leurs valeurs particulières et correspondantes à une valeur particulière + de la variable £. IT y a plus, pour être en état d'affirmer que les intégrales générales existent et sont représentées, du moins entre certaines limites, par les développements que fournit la formule de Taylor, 1l suffira de s'assurer que ces développements sont convergents, du moins pour des modules de la différence t— x inférieurs à une certaine limite. Or, c’est ce que je parviens à démontrer à l’aide des considérations suivantes. 3

J'examine d'abord le cas particulier où les équations données sont, non seulement du premier ordre,. mais de plus linéaires par rapport

aux dérivées partielles des inconnues, et où il s’agit d'intégrer ces équations de manière que toutes les inconnues se réduisent à des constantes données pour une certaine valeur 7 de la variable £. A l'aide du théorème fondamental précédemment rappelé, j'obtiens assez facilement, dans ce cas particulier, une limite en decà de laquelle le module de la différence £ — + peut varier, sans que les séries déduites de la formule de Taylor cessent d’être convergentes. La détermination de cette limite se trouve ramenée, par le même théorème, à l'intégration d'une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, et une analyse, dont la simplicité paraît digne de quelque attention, me conduit à l'intégrale de l’équation dont il s’agit. Cette intégrale fournit immédiatement les moyens de calculer, non seulement la limite cherchée du module de la différence £ — +, mais encore des limites des erreurs que l’on commet lorsqu'on arrête après un certain nombre de termes les développements des inconnues en séries convergentes.

Après avoir ainsi résolu, dans un cas particulier, la question que je m'étais proposée, je ramène à ce cas particulier le cas général, à l'aide des deux observations que je vais indiquer.

J'observe, en premier lieu, que, si les valeurs initiales des inconnues ne vérifient pas la condition admise, en se réduisant à des constantes données pour la valeur primitive + de la variable £, on pourra représenter ces inconnues par leurs valeurs initiales augmentées d'inconnues nouvelles qui rempliront évidemment la condition dont 1l s’agit, puisqu'elles acquerront des valeurs constantes et même nulles pour =".

J'observe, en second lieu, qu’étant données une ou plusieurs équations aux dérivées partielles du premier ordre, mais de forme quelconque, il suffit de substituer à la recherche des inconnues la recherche de leurs dérivées du premier ordre, pour obtenir de nouvelles équations du premier ordre, qui soient linéaires par rapport aux dérivées partielles des nouvelles inconnues. A la vérité, quand il existe plus de deux variables indépendantes, le nombre des équations nouvelles semble devoir surpasser le nombre des nouvelles inconnues ;

mais je prouve que la vérification de quelques-unes de ces équations entraine la vérification de toutes les autres.

ANALYSE

Intégration par série des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre.

Considérons d’abord une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, entre des variables indépendantes æ, y, 3, ..., 4, dont la dernière pourra représenter le temps, et l’inconnue 5. Supposons d’ailleurs que cette équation, étant linéaire, au moins par rapport aux dérivées partielles de l’inconnue 5, puisse, en conséquence, se réduire à

(1) D5—AD,;5+BD,;5+...+K, ou, ce qui revient au même, à (2) sS—Ap+Bqg+...+K, les valeurs de p, g, ..., s étant (3) p =D,5, qg=—D,5, NES s = D,w, et A, B, ..., K désignant des fonctions données de | M VS CS Lan L, AD.

Enfin représentons par © la valeur particulière de & qui correspond à une valeur donnée 7 de la variable #, et qui ne peut être généralement fonction que des seules variables | |

Ty Vs 3; Si l’inconnue 5, assujettie à la double condition de vérifier, quel que soit £, l'équation (1), et, pour 4 — +, la condition

peut être développée, par la formule de Taylor ou de Maclaurin, en

une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence

; PRES Ts le développement sera de la forme

(5) | g—o+hti-r) + r)+...,

la valeur de I, étant donnée par la formule

nm [o]

6 2 Va

(6) Le PRESENT

dans laquelle on devra déterminer D’ à l’aide de l'équation (r), puis remplacer, après les différentiations, £ par + et & par w. D'ailleurs, à l’aide du théorème général que j'ai donné sur le développement des fonctions en séries, on prouvera aisément que, si la série

est convergente pour de très petits modules de £ — +, la valeur de. fournie par l’équation (5) vérifiera l'équation (1), tant que la série (3) sera convergente et que les fonctions

ne cesseront pas d’être continues par rapport aux variables dont elles dépendent. Done, pour établir l’existence de l'intégrale générale de l'équation (1), il suffira de s'assurer que la série (3) est convergente, au moins pour les modules de la différence £ — + inférieurs à une certaine limite. C’est ce que nous allons démontrer, en supposant d'abord, pour plus de simplicité, la valeur initiale de 5, c’est-à-dire la valeur w que & acquiert pour £ — 7, réduite à une quantité constante.

La valeur de D’5, tirée dans cette hypothèse de l’équation (1), se composera évidemment de termes dont chacun sera le produit d’un nombre entier par des facteurs variables de la forme

(8) D£D/...D/DZK,

ou par des facteurs du même genre, mais dans lesquels la fonction K

se trouvera remplacée par l’une des fonctions A, B, .... Représentons

d’ailleurs par ke SES : nt ee

ce que deviennent les fonctions LE.

quand on attribue aux quantités variables Vs Vu Man 6 des accroissements imaginaires CS 0 3, ART AUTRES dont les modules RE. Ze Rois D D soient tels que, pour ces modules ou pour des modules plus petits, à dE

restent fonctions continues des arguments et des modules des accrois-

sements imaginaires dont il s’agit. Enfin soient es Mb 0,

les plus grands modules des fonctions

correspondants aux modules

M ON Di be 0 Ù des accroissements imaginaires OM 4 0.) à 0:

de sorte que, en adoptant les notations du calcul des limites, on ait

(9) L—AAÀ, V=AB, ..., N—AK.

En vertu des principes de ce mème calcul, et en supposant que, dans

l'expression (8), on prenne après les différentiations

on trouvera £gNn/ s {DK N os (10) mod.D£D;...D; T < x6 y... tu?

la valeur de N étant

(13) N—(1.2...8) RS A LRAODCR m,

D'autre part, si l’on attribue aux fonctions

ti 1 À RC 4

les formes particulières que déterminent les équations (12)

a, b, .., k désignent des quantités constantes; alors, en posant après

les différentiations Et D 0,

on trouvera

One à a se À ME UE à. RE) MM

(13) D£D*...D/DZK —N et, pour obtenir le second membre de la formule (10), il suffira évidemment de prendre, dans le second membre de la formule (15),

(14) LT ——X, Y=—?Y;, 4 T—=—t, D—— V,

(1) ne Cela posé, soit 3, ce que devient, dans l'équation (5), le coefficient

re L= Far... n

lorsque, dans les divers termes dont ce coeflicient se compose, on rem-

place les facteurs variables ou de la forme D£D*...D'DZK

par des limites supérieures à leurs modules, tirées de la formule (10) et des formules analogues. Si d’ailleurs on nomme : le module de

t— 7, alors, pour que la série (7) soit convergente, il suffira que la série

(16) ; it, dot?

le soit elle-même; et si, en supposant cette condition remplie, on prend

(17) 8— dt + dot +...,

# sera précisément ce que devient la valeur de & — w, tirée de l’équation (1), et donnée par la formule (5), quand on attribue à æ, y, #, …, 7, © les valeurs que déterminent les équations (14), puis à la différence { — 7 et aux constantes ne

CAGE. POSE les valeurs que déterminent, d'une part, la formule (18) C—T—=:i, d'autre part les équations (19) ND B = 1%, a + À jointes aux formules (12), ou plutôt à celles-ci

ART VS To

(46) RE AR AS le te

attendu qu’en calculant la valeur de I, on doit, dans les diverses dérivées de À, B, ..., K, remplacer £ par + ets par ©. Il nous reste à intégrer l’équation (1) jointe aux formules (12), c'est-à-dire, l'équation

linéaire aux dérivées partielles

se ap+bq+...+k D — 2

(38 TyY3...1w ou (22) SAVS..: TS

pebqtictk :?

que l’on peut encore présenter sous la forme

es STYs...lS LÉ :

oo” (RE) 0,

et à l'intégrer de manière que la valeur initiale de & se réduise à la

constante w, par conséquent, de manière que, pour { — 7, on ait (24) D — G, P — 9; q —0;

Or, pour intégrer sous ces conditions l’équation (23), il suflira, d’après ce que nous avons dit ailleurs, d'éliminer de nouvelles variables ë, 1, L

entre les intégrales de la formule

dx dy SR: | ie do M Cu) do renyemwerr | 2 dp ++ dgq LES ds TT =(X+pl) —(Y+ql) °° —(T+sll)

pourvu que l’on suppose

PR Vi. Lie Pad ne æ k à l [a] (26): b RE Li Ï Ps = CARE Ne PU hi. LA Q apHbGE s

et que l’on intègre la formule (25), de manière à vérifier pour ? — = les conditions (24) jointes à celles-ci

(27) Dre, = #50 TS SRG; Œuvres de C.—S.I,t. VII,

Fu *

la valeur de & étant k

ps AD ane

(28) ra

afin que l’une des intégrales dont il s'agit se réduise précisément à l'équation (21).

Observons maintenant que, de la formule (25), jointe aux équations (26), on tire non seulement

ne CCR __Pp+Qg+...+ss > ” rs b — 0. — TE 2 et par suite dr AY. "00 RS BAT be AR puis en intégrant DE Y-n | Oo (29) p* es D DL + A k ?

mais encore Ss—Tt—=o,

et par suite

30) ds : - sdt+tds sdt+tds Pp+Qg+...+Ss —stlÙ (£) Lo)

D'ailleurs les formules (26) et (21) donnent

; VA Lis :