C.R., T. XV, p. 670 (3 octobre

J'ai reproduit, dans la séance précédente, l'analyse que j'avais appliquée en 1836 au problème des ombres et de la diffraction, ainsi que les formules auxquelles se rapporte ma Lettre du 22 avril de la même année. Ces formules suffisent déjà pour expliquer la marche rectiligne des rayons lumineux qui traversent les fentes d'un écran, la dilatation de ces rayons, appelés, en raison de cette dilatation même, rayons diffractés, les franges qui accompagnent leurs bords, et l'ombre qui occupe la partie de l’espace située derrière l'écran à des distances sensibles de ces mêmes bords. Toutefois les formules que je viens de rappeler se trouvent seulement comprises, comme cas particulier, dans les formules générales auxquelles on arrive quand on applique au problème des ombres et de la diffraction l’une des deux méthodes que j'indiquerai tout à l'heure. Alors, il est vrai, on se trouve conduit à des conclusions singulières et inattendues. Mais, comme ces conclusions me paraissent exactes et propres, en raison de leur singularité même, à fixer l'attention des physiciens et des géomètres, j'ai cru que l’on me permettrait volontiers d'entrer à ce sujet dans quelques détails.

Je-commencerai par faire voir comment la solution du problème énoncé peut se déduire directement de la simple intégration des équations aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de molécules. On sait que ces équations renferment, avec les variables indépendantes, c’est-à-dire avec les coordonnées et le temps, trois inconnues qui représentent les déplacements d’une molécule mesurés parallèlement aux axes coordonnés.

Supposons, pour plus de simplicité, ces équations réduites à des équations homogènes, ce qui arrive, par exemple, dans la théorie de la lumière, quand on ne tient pas compte de la dispersion. Elles seront du second ordre, non seulement par rapport au temps, comme les équations générales de la Dynamique, mais aussi par rapport à chaeune des coordonnées. Donc l'intégration introduira dans les intégrales générales deux fonctions arbitraires relatives à chacune des inconnues. Mais ces fonctions arbitraires auront des significations diverses, suivant la nature du problème qu'il s’agira de résoudre. Si, le mouvement infiniment petit du système de molécules étant supposé connu à une certaine époque, il s’agit d'en conclure le mouvement qui s’observera dans le même système à une époque quelconque, par exemple, au bout du temps £, les fonctions arbitraires seront celles qui représenteront au premier instant les déplacements moléculaires et leurs dérivées prises par rapport au temps, ou les vitesses des molécules. Si, au contraire, le mouvement étant supposé connu à une époque quelconque dans une portion du système, il s’agit d'en conclure le mouvement transmis à une autre portion séparée de la première par une surface plane ou courbe, par exemple par le plan des >, 3, les fonctions arbitraires représenteront les déplacements des molécules situées dans ce plan, c’est-à-dire les déplacements moléculaires correspondant à une valeur nulle de l’abscisse +, et les dérivées de ces déplacements relatives à +, ou plutôt les valeurs que prennent ces dérivées pour une valeur nulle de æ. Ce n’est pas tout : on peut concevoir, dans la première hypothèse, que l’ébranlement initial reste circonscrit dans une certaine portion de l’espace, ou, en d’autres termes, que les déplacements et les vitesses des molécules s’évanouissent au premier instant pour tous les points de l’espace situés hors d'une certaine enveloppe. Pareillement on peut concevoir, dans la seconde hypothèse, que le mouvement propagé à une époque quelconque d’un certain côté du plan de y, z, par exemple du côté des æ négatives, traverse seulement une portion de ce plan renfermée dans un certain contour et se trouve intercepté dans ce même plan en

chacun des points situés hors de ce même contour. Ces restrictions étant admises, chaque fonction arbitraire sera une fonction discontinue des coordonnées qu’elle renferme, et cette fonction discontinue, qui s’évanouira pour tous les points situés dans l’espace hors d’une certaine enveloppe, ou dans le plan de y, z hors d’un certain contour, pourra être représentée par une somme d’exponentielles qui prendra la forme d’une intégrale définie sextuple ou quadruple. D'ailleurs. dans la seconde hypothèse, comme dans la première, les méthodes que nous avons données pour l'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles pourront être immédiatement appliquées à la recherche des valeurs générales des inconnues. Mais l'interprétation des formules à l’aide desquelles ces valeurs générales seront exprimées peut offrir, dans la seconde hypothèse, de sérieuses difficultés que nous allons éclaireir, et dont la solution nous paraît devoir contribuer notablement aux progrès de la Physique mathématique.

En vertu du théorème de Fourier et d’autres théorèmes analogues que j'ai donnés dans les £xercices, toute fonction continue, ou même discontinue, peut être représentée par la somme d’un nombre fini ou infini d’exponentielles réelles ou imaginaires. Par suite, comme je lai déjà remarqué dans mes précédents Mémoires, tout mouvement infiniment petit qui se propage à travers un système de molécules peut être considéré comme résultant de la superposition d’un nombre fini ou infini de mouvements simples. D'ailleurs un mouvement simple peut être durable et persistant, ou s’affaiblir et s’éteindre avec le temps, ou croître indéfiniment, tandis que le temps augmente. Pareillement un mouvement simple peut se propager dans l’espace sans s’affaiblir, ou bien il peut croitre ou décroître, suivant que l’on s'éloigne, dans un sens ou dans un autre, d’une surface donnée, par exemple du plan des y, :. Enfin, dans un mouvement simple qui ne s’affaiblit pas en se propageant à travers l’espace, les ondes planes peuvent marcher dans un sens où dans un autre, par exemple dans le sens des æ positives ou dans le sens des x négatives. Cela posé, considérons d’abord, dans un système de molécules, le mouvement produit au bout du

temps £ par un ébranlement initial et infiniment petit, qui ne s'étendait pas au delà d’une certaine enveloppe. Pour que ce mouvement, en se propageant dans l’espace, reste toujours infiniment petit, il sera nécessaire qu'il ne croisse indéfiniment, ni avec le temps, n1 avec la distance; par conséquent, il sera nécessaire que, dans les exposants des exponentielles dont la somme représentera la valeur générale de chaque inconnue, le coefficient du temps ou d’une longueur absolue n'offre jamais de partie réelle positive. Cette condition se trouve généralement remplie pour les intégrales qui représentent le mouvement produit, dans un système de molécules, par un ébranlement initial imprimé au système dans le voisinage d’un point donné ; et, par suite, ces intégrales fournissent effectivement, comme on devait s’y attendre, les valeurs générales des déplacements et des vitesses moléculaires, au bout d’un temps quelconque. Mais, si l’on suppose qu'un mouvement infiniment petit, propagé dans la portion de Fespace qui est située, par rapport au plan des y, z, du côté des æ négatives, doive être sans cesse transmis à la portion de l’espace située du côté des x positives, à travers une surface, ou, si l’on veut, à travers une ouverture terminée, dans ce plan, par un certain contour, en sorte que le mouvement se trouve intercepté par le plan en chacun des points situés au dehors du même contour, alors on obtiendra souvent, pour représenter les valeurs générales des inconnues, des formules qui sembleront paradoxales au premier abord. En effet, les valeurs des inconnues étant réduites à des sommes d’exponentielles, il arrivera souvent que, dans les exposants de quelques exponentielles, les coefficients des distances absolues offriront des parties réelles positives. Donc, alors, quelquesuns des mouvements simples dont les exponentielles seront les symboles caractéristiques sembleront devoir devenir de plus en plus sensibles et croître indéfiniment aux yeux d’un observateur qui s’éloignerait indéfiniment du plan des y, z, du côté des æ positives. Il y à plus : parmi les mouvements simples correspondants aux mêmes exponentielles, ceux qui se propageront sans s’affaiblir offriront souvent cette circonstance remarquable que Les uns sembleront devoir se pro-

pager dans le sens des x positives, les autres en sens contraire. Cependant il paraît absurde de supposer qu’un mouvement infiniment petit, propagé dans un système de molécules du côté des x négatives, fasse naître du côté des æ positives des mouvements simples qui croissent indéfiniment avec la distance au plan des y, z, ou des mouvements simples dans lesquels les ondes planes soient ramenées vers ce plan. Pour faire disparaître ces paradoxes, il suffit de considérer les valeurs des déplacements moléculaires données par l'intégration comme composées chacune de deux parties, et d'admettre que la première partie représente le déplacement d’une molécule dans un mouvement infiniment petit, qui se transmet et se propage du côté des æ positives, mais que la seconde partie, prise en signe contraire, représente le déplacement d’une molécule dans un mouvement réfléchi, c’est-à-dire dans un mouvement qui se propage du côté des x négatives, en se superposant au mouvement donné. Alors, pour obtenir le mouvement transmis, on doit superposer les uns aux autres ceux des mouvements simples et relatifs aux diverses exponentielles qui se propagent dans le sens des æ positives, ou s’affaiblissent et s’éteignent quand on s'éloigne dans le même sens du plan des y, 3. Au contraire, pour obtenir le mouvement réfléchi, on doit superposer les uns aux autres des mouvements directement opposés aux mouvements simples qui se propagent dans le sens des + négatives, ou s’affaiblissent et s’éteignent quand on s'éloigne dans ce même sens du plan des y, z. En opérant ainsi, on verra toutes les difficultés s’évanouir. On pourrait objecter, il est vrai, que l'intégration effectuée semblait avoir pour but la recherche unique des déplacements et des vitesses des molécules situées, par rapport au plan des y, z, du côté des æ négatives; mais l'Analyse, en nous conduisant à des formules qui sont inadmissibles quand on se borne à tenir compte du mouvement transmis, prouve qu’en ayant égard à ce seul mouvement on ne peut résoudre la question proposée. D'ailleurs, pour interpréter avec justesse les intégrales obtenues, 1l est nécessaire de revenir sur ses pas et d’examiner, d'une part, quelles sont les données que l’on a introduites

dans le calcul; d'autre part, quelles sont les quantités dont l’'intégration peut fournir la valeur. Or ici les données du problème sont évi-

demment les déplacements et les vitesses des molécules dans le plan des y, 3, ou plutôt dans une tranche infiniment mince comprise entre le plan des y, 3 et un plan parallèle infiniment voisin. Ces déplacements et ces vitesses sont tout ce que l'intégration emprunte aux faits énoncés. Supposées connues à une époque quelconque, elles sont considérées comme l’origine et la cause permanente des mouvements qui se propagent hors de la tranche dont il s’agit, et les inconnues du problème sont précisément les déplacements et les vitesses des molécules situées hors de cette même tranche. Du reste, il suffit que les valeurs générales des inconnues aient la double propriété de vérifier les équations différentielles des mouvements infiniment petits et de se réduire, dans l'épaisseur de la tranche, aux valeurs données. I] importe peu que les nouveaux mouvements simples, dont la naissance permettra de remplir cette double condition, soient des mouvements transmis ou des mouvements réfléchis. D'ailleurs, comme l'expérience prouve que des mouvements peuvent être réfléchis, et se réfléchissent en effet dans certaines circonstances, il est clair que rien ne s'oppose à ce qu'on admette comme véritable l'interprétation à laquelle nous venons de parvenir; c’est même, à ce qu'il semble, une chose digne d'être remarquée, que l’examen approfondi des formules données par l'Analyse nous ait nécessairement conduits à la notion de mouvements réfléchis.

Les principes que nous venons d'exposer nous paraissent applicables à la recherche des lois suivant lesquelles un rayon de lumière, propagé dans un milieu transparent, surtout dans l’éther isolé, du côté des æ négatives, est transmis à la portion de ce milieu située du côté des æ positives, à travers une ouverture pratiquée dans un écran très mince dont une surface coincide avec le plan des y, z. Ce dernier problème est précisément celui des ombres et de la diffraction. I diffère très peu du problème que nous venons de résoudre. La principale différence entre l’un et l'autre consiste en ce que, dans la ques-

tion ci-dessus traitée, on n’a point spécifié la cause en vertu de laquelle le mouvement se trouvait en partie intercepté par la tranche infiniment mince dont une surface coïncide avec le plan des y, z, et que l’on a raisonné, au contraire, comme si cette tranche pouvait acquérir le pouvoir d'intercepter le mouvement sans cesser d’être formée avec les molécules qui composent le milieu donné. On pourrait donc craindre qu'il ne füt nécessaire de faire intervenir la nature même de l'écran dans la solution du problème des ombres et de la diffraction; et, dans la réalité, pour résoudre le problème avec une rigueur mathématique, il conviendrait non seulement de spécifier la substance dont se forme l'écran, mais encore de calculer l'extinction des rayons lumineux opérée par cette substance. Toutefois, comme l'expérience prouve que la nature de l'écran n’a pas d'influence sur la nature des phénomènes observés et sur les lois de la diffraction, il parait que, dans la recherche de ces lois, on peut sans inconvénient se borner à développer les conséquences des formules auxquelles on arrive par la méthode ci-dessus exposée.

Nous avons maintenant à signaler une conclusion extraordinaire à laquelle nous conduisent les principes que nous venons d'établir. Cette conclusion est que, si la lumière passe à travers une ouverture pratiquée dans un écran, cette circonstance fera naître généralement deux espèces de rayons diffractés, les uns transmis, les autres réfléchis. Remarquons d’ailleurs qu’il s’agit en ce moment, non pas de rayons réfléchis par la portion de l'écran qui avoisine louverture, mais de rayons réfléchis, si je puis le dire, par cette ouverture même. Si jusqu'ici l’on n’a observé que les rayons transmis, cela tient sans doute à ee qu'il est beaucoup plus facile de les apercevoir à côté de l'ombre que porte l'écran. Il serait intéressant d'examiner si, en faisant usage d’un écran très noir et qui absorberait, autant que possible, tous les rayons incidents, on ne parviendrait pas à rendre sensibles les nouveaux rayons réfléchis et diffractés.

Au reste, dans certains cas particuliers et sous certaines conditions, les rayons réfléchis peuvent disparaître. Les formules que nous avons

EXTRAIT N° 189. | 177 rappelées dans la séance précédente résolvent le problème des ombres et de la diffraction de la lumière propagée à travers un milieu transparent et isophane, dans le cas où ces conditions se trouvent remplies et où d’ailleurs la vitesse de propagation des vibrations transversales devient équivalente à la vitesse de propagation des vibrations longitudinales, ce qui réduit les trois équations différentielles des mouvements infiniment petits à des équations dans lesquelles les trois - inconnues se trouvent séparées l’une de l'autre.

La méthode dont je viens de me servir pour traiter le problème des ombres et de la diffraction n’est pas la seule qui fournisse la solution de ce problème. Cette solution peut encore se déduire des principes que j'ai développés dans mes précédents Mémoires, et spécialement dans le Mémoire du 12 septembre dernier. Il ne sera pas inutile de montrer ici en peu de mots comment l'application de ces principes au problème qui nous occupe confirme et généralise même les résultats ci-dessus énoncés.

Dans le Mémoire du 12 septembre dernier, j'ai particulièrement examiné ce qui arrive lorsqu'un rayon simple est transmis, d’un premier milieu à un second, à travers une surface plane, et j'ai trouvé six équations de condition relatives à la surface. Ces équations sont celles qui expriment que les déplacements d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, et les dérivées de ces déplace: ments prises par rapport à æ, acquièrent les mêmes valeurs sur la surface prise pour plan des y, 3, soit que l’on considère la molécule ‘comme appartenant au premier ou au second milieu. J'ai remarqué d'ailleurs que, si un rayon simple se propage dans le premier des deux milieux, et tombe sur la surface plane, la réflexion et la réfraction feront naître, dans chaque milieu, non seulement les deux rayons qui peuvent être perçus par l'œil, savoir, ceux dans lesquels les vibrations moléculaires sont transversales ou sensiblement transversales, mais encore un troisième rayon dans lequel les vibrations moléculaires seraient longitudinales s’il se propageait sans s’affaiblir. On aura donc à déterminer les symboles caractéristiques et les paramètres

OEuvres de C. — S. 1,1. VII. 23

symboliques de trois rayons réfléchis et de trois rayons réfractés. Or, comme nous l’avons dit, pour que les conditions relatives à la surface réfléchissante puissent être vérifiées, il sera d’abord nécessaire que les symboles caractéristiques des six rayons réfléchis et réfractés deviennent égaux, sur la surface, au symbole caractéristique du rayon incident; et, cette égalité étant admise, non seulement les directions des plans des ondes et des vibrations moléculaires seront connues dans les six nouveaux rayons, mais, de plus, les six équations de condition suffiront pour déterminer les seules inconnues que présentera encore le problème, savoir, les six paramètres symboliques correspondants aux trois rayons réfléchis et aux trois rayons réfractés.

Dans le Mémoire que je viens de rappeler, la surface plane, traversée par les rayons lumineux, avait une étendue indéfinie. Considérons maintenant le cas où cette surface ne se laisserait traverser par la lumière que dans les points situés entre deux droites parallèles, et jouerait le rôle d’un écran pour tous les points situés hors de ces mêmes droites. La portion de surface plane comprise entre les deux droites pourra être envisagée comme une fente pratiquée dans un écran, et à travers laquelle la lumière serait transmise. Le problème à résoudre sera de trouver les lois suivant lesquelles s'effectue cette transmission. Or, pour obtenir la solution désirée, il suflira de recourir aux six équations de condition ci-dessus mentionnées et de représenter, dans le rayon incident, les déplacements des molécules situées sur la surface de l'écran, et les dérivées de ces déplacements prises par rapport à æ, à l’aide d’intégrales définies doubles qui aient la propriété de s’évanouir hors des limites correspondantes aux deux bords de la fente. D'ailleurs la réflexion et la réfraction, produites par la surface de séparation des deux milieux, feront naître, comme dans le cas où cette surface était illimitée, trois rayons réfléchis et trois rayons réfractés. Si les milieux sont transparents, deux des trois rayons pourront être perçus par l'œil dans chaque milieu, et ces deux rayons se réuniront en un seul dans les milieux isophanes. Quant au troisième rayon, il s'éteindra toujours à une petite distance de la surface réflé-

chissante. Ajoutons que, dans chacun des six nouveaux rayons, les déplacements symboliques des molécules pourront être exprimés chacun à l’aide d’une intégrale définie double. Lorsque la fente deviendra infiniment grande, les six intégrales correspondantes aux six rayons se réduiront, comme on devait s’y attendre, à six exponentielles qui représenteront les symboles caractéristiques de ces rayons; et chaque onde plane aura une étendue illimitée, soit dans le premier, soit dans le second milieu. Mais il n’en sera plus de même si la fente devient très étroite; et, dans ce dernier cas, chacun des rayons qui se propagera sans s’affaiblir se transformera en un filet de lumière dont la nature se déduira de la discussion de l'intégrale correspondante. Cette discussion deviendra facile si l’on applique à la détermination approximative de chaque intégrale les formules que j'ai données dans la séance précédente. Or, les six intégrales étant de même nature, on pourra en dire autant des six rayons, et chacun d'eux sera du genre de ceux que l’on nomme rayons diffractés. Donc, lorsqu'une fente, pratiquée dans un écran très mince qui couvre la surface de séparation de deux milieux, permet à un filet de lumière de rencontrer cette surface, les rayons réfléchis par la surface sont diffractés, aussi bien que les rayons transmis.

Considérons maintenant le cas particulier où, les deux milieux étant transparents et Isophanes, la nature du second milieu devient identique avec celle du premier. Alors, dans chaque milieu, les deux rayons qui se propagent sans s’affaiblir se réuniront en un seul. Mais cette circonstance n’entrainera nullement la disparition des rayons réfléchis, dont au contraire on sera obligé de tenir compte pour vérifier les six équations de condition relatives à la surface de l'écran. Nous voici donc amenés de nouveau à la conclusion singulière à laquelle nous avions été conduits par un examen attentif des intégrales générales qui représentent un mouvement transmis et propagé dans un seul milieu à travers une portion de surface plane. Ainsi les deux méthodes que nous avons suivies nous indiquent l’une et l’autre un nouveau phénomène qui parait propre à éveiller l'attention des

physiciens, et la seconde méthode a l'avantage de montrer comment ce nouveau phénomène se lie aux phénomènes déjà connus.

THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — Mémoire sur les rayons diffractés qui peuvent étre transmus ou réfléchis par la surface de séparation de deux milieux

isophanes.