C. R., T. XV, p. 559 (17 octobre

Dans les séances précédentes, j'ai dit comment j'avais appliqué l’Analyse mathématique à la recherche des lois suivant lesquelles un rayon de lumière se propage, en passant d’un milieu dans un autre, à travers une portion de surface plane. Une première conclusion, déduite de mes formules et dont l'exactitude se trouve déjà constatée, comme on l’a vu, par une ancienne expérience de MM. Arago et Fresnel, c’est que les rayons réfléchis sont diffractés tout comme les rayons trans-

mis. Une autre conclusion digne de remarque, c’est que, dans un rayon simple, transmis ou réfléchi suivant une direction perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux, les paramètres des diverses paraboles, correspondantes aux points où l'intensité de la lumière devient un maximum ou un minimum, forment à très peu près une progression arithmétique dont la raison ou différence est la longueur d’une ondulation lumineuse. On a pu remarquer encore la règle qui fait connaître les transformations subies par ces diverses paraboles dans le cas où le rayon lumineux vient à s’incliner sur la surface à travers laquelle il est transmis. Mais, aux règles et aux propositions énoncées dans mes précédents Mémoires, j'ajouterai aujourd'hui une remarque nouvelle, qui me paraît devoir éveiller particulièrement l'attention des physiciens : c’est que l’analyse dont j'ai fait usage ne s'applique pas seulement à la théorie des ombres et de la diffraction des rayons lumineux; elle s’applique généralement à la propagation des mouvements infiniment petits transmis d’un milieu dans un autre à travers une portion de surface plane, et prouve que les lois générales de cette transmission doivent rester les mêmes, quelle que soit la nature des phénomènes que les mouvements produisent. Ainsi, par exemple, il résulte de notre analyse que les ondes sonores doivent être, tout comme les ondes lumineuses, non seulement réflèchies, mais encore réfractées, quand elles viennent à rencontrer la surface de séparation de deux milieux. Il y a plus : si le son est transmis à travers une ouverture pratiquée dans une cloison très mince qui sépare l’une de l’autre deux portions d’un même milieu, les ondes sonores transmises devront être des ondes diffractées, dans lesquelles l'intensité du son, mesurée à une distance donnée de la surface de la cloison, offrira des maxima et des minima correspondants à divers points de l’espace. Si les ondes sonores qui rencontrent la eloison émanent d’une source placée à une très grande distance, et si d’ailleurs l'ouverture qui leur livre passage se réduit à une fente verticale, alors, dans chaque plan horizontal, les points correspondants aux plus grandes et aux moindres intensités du son se trouveront situés, à très

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peu près, sur diverses paraboles dont les paramètres formeront une progression arithmétique qui aura pour raison l'épaisseur d’une onde sonore. À la vérité, ces conséquences de notre analyse doivent paraitre au premier abord d’autant plus extraordinaires, qu’une différence bien marquée semble exister entre les phénomènes que produit d’une part la transmission de la lumière à travers les fentes d’un volet, d’autre part la transmission du son à travers une ouverture pratiquée dans une cloison ou dans une muraille. En effet, sans qu’il soit nécessaire de recourir à des expériences délicates, l’observateur le moins exercé reconnaitra sans peine que derrière une cloison, et tout près de cette cloison même, les sons peuvent être perçus par l'oreille à des distances considérables de l’ouverture par laquelle ils sont transmis, tandis qu’un rayon de lumière passant à travers une fente devient insensible pour l'œil à une petite distance de l’axe de ce rayon. Toutefois l'accord qui a subsisté jusqu'ici entre les résultats de lobservation et les conclusions tirées de mes formules me donne la ferme confiance que cette fois encore l'expérience viendra confirmer les prévisions de la théorie. Déjà même l'Analyse explique la différence capitale que je signalais tout à l'heure entre les phénomènes produits par la transmission de la lumière et celle des sons à travers une petite ouverture. Cette différence cessera de nous étonner si nous comparons les épaisseurs des ondes sonores aux épaisseurs des ondes lumineuses. En effet, tandis que l'épaisseur d’une onde lumineuse varie entre des limites très resserrées, sensiblement représentées, pour les rayons que l'œil aperçoit, par le tiers et par les deux tiers de la millième partie d'un millimètre, l'épaisseur d’une onde sonore, pour les sons perçus par l'oreille, ne s’abaisse jamais au-dessous de deux centimètres, et peut s'élever à plusieurs mètres. Par suite, chacune des paraboles qui correspondront aux plus grandes et aux moindres intensités de la lumière, dans un rayon diffracté, offrira un très petit paramètre et s'écartera très peu de l’axe de ce rayon. Mais on ne pourra plus en dire autant des paraboles qui, dans les ondes sonores et diffractées, correspondront aux plus grandes et aux moindres intensités du son.

Ces dernières paraboles, qui seront encore tangentes à la surface de la cloison, à travers laquelle le mouvement est transmis par une fente, offriront au contraire des paramètres sensibles, qui pourront s'élever à plusieurs mètres; et en conséquence le son pourra s'entendre derrière la cloison, et assez près de cette cloison même, à de grandes distances de la fente. Il est toutefois une observation essentielle que nous devons faire : c’est que, si divers sons, les uns plus graves, les autres plus aigus, mais d’égale intensité, sont transmis successivement ou simultanément à travers une même ouverture pratiquée dans une cloison, les sons aigus seront ceux qui s’éteindront le plus rapidement à mesure que l’on s’éloignera de l'ouverture dans un plan parallèle à la surface de la cloison. Il pourra même y avoir à cet égard entre les divers sons une différence très marquée; car, si l’on prend pour mesure de l'intensité du son le carré de l’amplitude des vibrations moléculaires, cette intensité, mesurée dans les ondes diffractées et dans un plan parallèle à la cloison à de très grandes distances de l’ouverture, sera sensiblement proportionnelle à l’épaisseur de ces mêmes ondes.

En terminant cet exposé, je ferai une dernière remarque. M. Coriolis, à qui je communiquais les résultats de mes recherches, vient de m’apprendre à l'instant même que des expériences faites en sa présence par M. Savart, dans le grand amphithéâtre du Collège de France, avaient constaté l’existence de variations périodiques dans l'intensité du son, tandis que l’on passait d’un point de la salle à un autre. Ces expériences confirment évidemment mes calculs, en vertu desquels, dans la théorie du son comme dans la théorie de la lumière, le phénomène de la diffraction peut être observé, soit dans les mouvements transmis, soit dans les mouvements réfléchis.

Post-scriptum. — Après avoir entendu l'exposé qu'on vient de lire, M. Arago a cité une expérience que M. Young lui avait communiquée, mais qui n’a été publiée nulle part, et qui confirme les conclusions ci-dessus énoncées.

ANALYSE

Formules générales pour la réflexion, la réfraction et la diffraction des mouvements infiniment petits, propagés dans un ou plusieurs systèmes de molécules.

Comme nous l’avons dit ailleurs, lorsque des mouvements infiniment petits sont propagés dans un ou plusieurs systèmes homogènes de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, les équations différentielles de ces mouvements infiniment petits sont des équations linéaires. IT y a plus : si, comme il arrive ordinairement, les coefficients des dérivées de chaque inconnue dans ces équations différentielles sont des fonctions périodiques des coordonnées, alors, dans la recherche des lois suivant lesquelles les mouvements infiniment petits se propagent à de grandes distances, on pourra, en vertu des principes établis dans un précédent Mémoire, remplacer chaque coefficient par sa valeur moyenne, et réduire en conséquence les diverses équations données à des équations aux dérivées partielles et à coefficients constants. Enfin tout mouvement infiniment petit pouvant être censé résulter de la superposition d’un nombre fini ou infini des mouvements simples, nous pourrons nous borner ici à rechercher les lois de la réflexion, de la réfraction et de la diffraction des mouvements simples, propagés dans un ou plusieurs systèmes de molécules.

Cela posé, considérons des molécules d’une nature donnée, par exemple, des molécules d’éther renfermées dans deux milieux que sépare le plan des y, 3. Soient nt une de ces molécules, et &, n, Ü ses déplacements infiniment petits, mesurés parallèlement aux axes rectangulaires des +, y, 3. Les mouvements infiniment petits de l’éther et des autres systèmes de molécules qui pourront être renfermés avec l'éther dans les deux milieux se trouveront représentés par des équations aux dérivées partielles et à coefficients constants, entre les déplacements £, n, € de la molécule w, et les déplacements correspondants des molécules de chaque espèce, les variables indépendantes

étant les coordonnées +, y, 3 et le temps #. Ces équations seront, dans chaque milieu, en nombre égal à celui des inconnues, c’est-à-dire que le nombre des équations sera triple du nombre des systèmes de molécules; et, si l’on élimine toutes les inconnues, à l'exception d’une seule, on obtiendra, entre cette inconnue 2 et les variables indépendantes æ, y, 3, {, une équation résultante

que nous nommons l'équation caractéristique. D'ailleurs les valeurs des coefficients que renfermeront les équations des mouvements infiniment petits, par conséquent la forme de ces équations et celle de l’équation caractéristique, pourront varier dans le passage du premier milieu au second. Enfin, si l’on nomme déplacements symboliques, et si l’on représente par 2

É nptlé ae des variables imaginaires, dont les déplacements effectifs

DENIS ces

soient les parties réelles, on pourra, dans les équations aux dérivées partielles des mouvements infiniment petits, et dans l'équation caractéristique, remplacer Ë, n, €, ..., 8 par &, n, €, ..., #. On aura donc

(2) . FOD,, D,, D., D)8— 0.

Ajoutons qu'un mouvement simple, propagé dans les divers systèmes de molécules, se trouvera représenté par des équations finies, dont chacune sera de la forme

(3) ÿ — H COETENERIE

u, #, #, 8, H désignant des constantes réelles ou imaginaires, dont les quatre premières vérifieront la formule

(4) Fu, v, w,s)—0,

tandis que le paramètre symbolique H, relatif à l’inconnue #, et les paramètres analogues relatifs aux autres inconnues se trouveront liés entre eux par des équations linéaires, que l’on obtiendra en remplaçant,

dans les équations différentielles des mouvements infiniment petits, chaque inconnue par le paramètre correspondant, et æ, y, z, { par u, v, æ, s. En vertu de ces équations linéaires, les rapports entre les divers paramètres symboliques deviendront des fonctions connues de

HS 4,

L'exponentielle népérienne

UX+VY+W2+St e Y

dont l’exposant se réduit à une fonction linéaire des quatre variables indépendantes, est ce que nous appelons le symbole caractéristique du mouvement simple propagé à travers les divers systèmes de molécules. Pour que ce mouvement simple ne puisse ni croître n1 décroitre en se propageant, il est nécessaire que les coefficients

RE HR : RUE | n'offrent pas de parties réelles, ce qui arrivera, par exemple, si l'on a ue men op = vY—1, — WV— 1 S—+sV—1, u, v, W, s désignant des constantes réelles. Alors, si l’on pose

k = Vu?+ v+ w?

et

les quantités T, 1, Q représenteront la durée d'une vibration moléculaire, V'épaisseur des ondes planes et la vitesse de propagation de ces mêmes ondes.

Observons maintenant que chaque équation aux dérivées partielles est du second ordre par rapport au temps. En conséquence, le degré de l'équation (4) par rapport à s° sera égal au double du nombre des inconnues. D'ailleurs, pour chaque valeur de s? tirée de léquation (4), l’équation (3) et les autres équations semblables représenteront un mouvement simple, qui se propagera dans un sens ou dans un autre, suivant le signe attribué à s. Donc le nombre des mouve-

ments simples qui correspondront aux diverses valeurs de s? tirées de l'équation (4), et dont chacun pourra se propager en deux sens opposés, sera généralement égal au double du nombre des systèmes de molécules. |

Concevons à présent qu’un mouvement simple, propagé dans le premier des deux milieux que l’on considère, vienne à rencontrer la surface qui sépare le premier milieu du second, c’est-à-dire le plan des v, 3, et supposons, pour plus de simplicité, que les équations différentielles des mouvements infiniment petits se réduisent pour chaque système de molécules à des équations homogènes, de sorte que chacune de ces équations soit du second ordre, non seulement par rapport au temps, mais aussi par rapport aux coordonnées. Si les épaisseurs des ondes planes sont très grandes par rapport au rayon de la sphère d'activité sensible des molécules de chaque système, le mouvement simple qui tombera par hypothèse sur la surface de séparation des deux milieux, et que nous appellerons pour cette raison zrouvement incident, donnera généralement naissance à des mouvements réflechis et réfractés dont le nombre dans chaque milieu sera égal au nombre des systèmes de molécules. Alors la valeur totale de chaque inconnue 2 sera représentée : 1° dans le premier milieu, par la somme des valeurs de cette inconnue successivement calculées dans le mouvement ineident, puis dans chacun des mouvements réfléchis; 2° dans le second milieu, par la somme des valeurs de la même inconnue successivement calculées dans chacun des mouvements réfractés. Cela posé, pour obtenir les équations de condition relatives à la surface de séparation des deux milieux, il suffira d'écrire que les valeurs totales de 2 et de D,#, correspondantes à une molécule située dans le plan des y, s, restent les mêmes, soit que l’on considère cette molécule comme appartenant au premier ou au second milieu. Si, pour plus de commodité, on désigne par la lettre 2, non plus la valeur totale d’une inconnue, mais sa valeur partielle relative au mouvement incident, et par les notations

c'est-à-dire par la même lettre z affectée d'indices inférieurs ou supérieurs, les valeurs partielles de la même inconnue, successivement calculées dans chacun des mouvements réfléchis ou réfractés, les équations de condition relatives à la surface de séparation des deux milieux, par conséquent à une valeur nulle de +, seront les unes de la forme

(5) BR ir ae et Les autres de la forme (6) Do FD EDE TT DT Der.

Si le mouvement incident est un mouvement simple, et si d’ailleurs ce mouvement se transmet du premier milieu au second à travers la surface entière du plan des y, z indéfiniment prolongée, chacun des mouvements réfléchis et réfractés sera encore un mouvement simple, dont le symbole caractéristique se réduira, pour une valeur nulle de æ, au symbole caractéristique du mouvement incident. Donc alors les valeurs

de 8,,8,,..., 8’, 8”, ... seront de la forme (7) 8, — H,emz+vr+wi+st, 3 a S à ES nu dades ee 26 drande to ss (8) 8 — H'evz+ertwi+st g! — H” eu"T+ef+w2+st, Se

u,u,, ..., u',u”,... désignant de nouveaux coefficients qui représenteront de nouvelles valeurs de w, propres à vérifier l'équation (4), et déterminées par cette équation même en fonction de ?, w, s. Si, pour fixer les idées, on suppose s — s ÿ— +1, s désignant une constante positive; si, d'autre part, on compte les æ positives dans le sens suivant lequel se propage le mouvement incident, en sorte que le demi-axe des æ positives soit renfermé dans le second milieu, on devra, dans les symboles caractéristiques des mouvements réfléchis, prendre pour

Us

celles des racines de l’équation (4) qui offriront des parties réelles positives, ou des parties imaginaires dans lesquelles le coefficient de

V— 1 sera négatif; et l’on devra, au contraire, en passant aux mouvements réfractés, prendre pour w’, uw”, ... celles des racines de l’équation (4), ou plutôt de l'équation analogue, relative au second milieu, qui offriront des racines réelles négatives, ou des parties imaginaires dans lesquelles le coefficient de ÿ— 1 sera positif. Les valeurs de

Mi He us Us 0%

étant choisies comme on vient de le dire, on tirera des formules (5) et (6), jointes aux équations (3), (7) et (8),

(10) Hu+H,u,+H,u,+...=Wu+HW'u"+....

Les équations de la forme (9) ou (10), jointes aux équations linéaires qui, dans chaque mouvement simple, existent, comme on l’a dit plus haut, entre les paramètres symboliques relatifs aux diverses inconnues, suffiront pour déterminer complètement ces paramètres dans les mouvements réfléchis et réfractés quand on les connaîtra dans le mouvement incident. Donc ces diverses équations fourniront les lois de la réflexion et de la réfraction des mouvements simples, par exemple, dans la Théorie de la lumière, les lois de la réflexion et de la réfraction d’un rayon simple passant de l’air ou d’un milieu quelconque dans un cristal doublement réfringent.

Jusqu'ici nous avons supposé que le mouvement incident traversait la surface du plan des y, z indéfiniment prolongée dans tous les sens. Supposons maintenant que le mouvement incident soit, au contraire, transmis au second milieu, à travers une portion de cette surface terminée par un certain contour, et soit intercepté par le plan des y, = en chacun des points situés hors du même contour. Si le contour dont il s’agit est compris, d’une part, entre deux courbes représentées par les équations

2=f(y} s=f(y); d'autre part, entre deux ordonnées représentées par les équations

Fee J'ai OŒEuvres de C.— S.I, t. VII. 29

alors, en nommant Psio pas ui

quatre variables auxiliaires, en posant d’ailleurs, pour abréger,

v= (pH), æfi(m),

et en désignant par

ce que deviennent les fonctions de ?, æ, s représentées par