C.R., T. XVI, p. 12 (2 janvier

Pour être en état d'appliquer facilement la Géométrie à la Mécanique, il ne suffit pas de connaître les diverses formes que les lignes ou surfaces peuvent présenter et Les diverses propriétés de ces lignes et de ces surfaces, mais il importe encore de savoir quels sont les changements de forme que peuvent subir les corps, considérés comme des systèmes de points matériels, et à quelles lois générales ces changements de forme se trouvent assujettis. Ces lois ne paraissent pas moins dignes d’être étudiées que celles qui expriment les propriétés générales des lignes courbes ou des surfaces.courbes, et, aux théorèmes d'Euler sur la courbure des surfaces qui limitent les corps, on peut ajouter d’autres théorèmes qui aient pour objet la condensation ou la dilatation linéaire, et les autres modifications éprouvées en chaque point par un corps qui vient à changer de forme. Déjà, en 1827, j'ai donné, dans les Exercices de Mathématiques (*), la théorie des condensations ou dilatations linéaires et les lois de leurs variations dans un système de points matériels. A cette théorie, fondée sur

(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. VII, p. 82 et suiv.

une analyse que je reproduis avec quelques légères modifications, se trouve jointe, dans ce nouveau Mémoire, la théorie des rotations qu'exécutent, en se déformant, des axes menés par un point quelconque du système. Pour ne pas trop allonger cet article, je me bornerai à indiquer, en peu de mots, les principaux résultats auxquels je suis parvenu; et, pour le détail des calculs, je renverrai le lecteur au Mémoire même, qui sera prochainement publié dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (").

Considérons un système de points matériels qui passe d’un premier état naturel ou artificiel à un second état distinct du premier, et dans ce système deux molécules m, 7, réduites chacune à un point matériel. Tandis que ce système changera de forme, le rayon vecteur r, mené de la première molécule m à la seconde m», variera dans un certain rapport. La valeur numérique de la quantité positive ou négative £, qui exprimera la différence entre ce rapport et l’unité, dans le cas où le rayon vecteur r deviendra infiniment petit, représentera la dilatation ou condensation linéaire, mesurée au point occupé par la première molécule m, dans la direction du rayon vecteur r. Ajoutons que, pendant le changement de forme du système, le rayon vecteur r, supposé infiniment petit, tournera autour de la première molécule m, en décrivant un angle à propre à mesurer la rotation qu’exécutera, en se déformant, un demi-axe partant de cette molécule et constamment dirigé dans le même sens que le rayon vecteur. Cela posé, je démontre les propositions suivantes :

… TaéorÈème 1. — Sozent, dans un système de points matériels qui change de forme, e la dilatation mesurée suivant un demi-axe qui part de la molécule m, et à la rotation qu'exécute ce demi-axe en se déformant; les

rappor ls I I

à E. (1+e)sind

varieront avec la direction qu'offrira ce demi-axe dans le premier état du

(1) Œuvres de Cauchy, S. W, T. XII.

EXTRAIT N° 199. 237 système, de manière à pouvoir être représentés, le premier par le rayon vecteur d’une surface du second degré, le second par le carré du rayon vecteur d'une surface du quatrième degre.

Taéorème Il. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, les rapports FFE Érerret ” sind varieront avec la direction qu'ofirira le demi-axe donné dans le second état du système, de manière à pouvoir étre représentés, le premier par le rayon vecteur d’une surface du second degré, le second par le carré du

rayon vecteur d’une surface du quatrième degre.

Concevons maintenant que la seconde molécule »2 soit l’une quelconque de celles qui entourent la première nt dans un certain plan. La projection de l'angle à sur ce plan mesurera ce qu’on peut nommer la rotation du rayon vecteur r autour d’une droite OA perpendiculaire à ce plan. Cela posé, je démontre encore la proposition suivante :

TaéorÈue IF. — La rotation d'un demu-axe partant de la molécule m et compris dans un certain plan, autour d’une droite OÂ perpendiculaire à ce plan, varie avec la direction primitive ou définitive de ce demu-axe,

%74 4 , he A 4 4 de telle manière que sa tangente trigonométrique peut étre représentée par le rapport entre les carrés des rayons vecteurs de deux surfaces du second

degre.

Pour plus de précision, nous avons, dans ce Mémoire, donné des signes aux rotations exécutées autour d’un axe, ou plutôt autour d’un demi-axe. En supposant, pour fixer les idées, que les mouvements de rotation exécutés de droite à gauche autour des demi-axes des coor-. données positives sont, dans les plans coordonnés, des mouvements directs, nous considérons comme positives les rotations exécutées de droite à gauche autour d’un demi-axe quelconque OA, et comme négatives celles qui s’exécutent de gauche à droite.

La moyenne entre les diverses rotations exécutées autour d'une même droite par les divers demi-axes qui, partant d’une molécule m,

se trouvent renfermés dans un même plan, est ce que j'appelle la rotation moyenne du système de points matériels autour de cette droite. Lorsque cette droite change de direction, la rotation moyenne varie, et le maximum de cette rotation est la rotation moyenne principale.

Les lois suivant lesquelles s’effectue le changement de forme d’un système de points matériels se simplifient lorsque ce changement de forme devient infiniment petit. Alors on obtient de nouveaux théorèmes relatifs, les uns aux condensations et dilatations linéaires, les autres aux rotations. Les premiers se trouvent déjà dans le Mémoire de 1827; parmi les autres, on doit particulièrement distinguer ceux que je vais énoncer.

Tuéorème IV. — Si la rotation moyenne principale qui correspond à la molécule m est représentée par une longueur portée, à partir de cette molécule, sur le demi-axe autour duquel cette rotation s'effectue de droite à gauche, les projections algébriques de la même longueur sur les axes coordonnés des x, y, z représenteront. les rotations moyennes du système

autour de trois axes parallèles menés par la molécule w.

TuéoRèME V. — Si la rotation moyenne principale qui correspond à la molécule m est représentée par une longueur portée à partir de cette molecule sur le demi-axe autour duquel cette rotation s'effectue de droite à gauche, la rotation moyenne autour d'un autre demi-axe sera le produit

de la rotation moyenne principale par le cosinus de ! ‘angle compris entre les deux demi-axes.

Tnéorème VI, — Les mêmes choses étant posées que dans les théorémes précédents, la rotation moyenne autour d'un demi-axe quelconque sera représentée, au signe près, par la projection de la rotation moyenne principale sur ce demi-axe ; par conséquent elle s'évanoura si le nouveau demt-axe est perpendiculaire à celui autour duquel s'exécute la rotation moyenne principale. Dans le cas contraire, elle s'effectuera de droite à gauche ou de gauche à droite, suivant que l'angle compris entre les deux demi-axes sera positif ou négatif.

TuéorÈmMe VIT, — Portons, à partir de la molécule w, sur chacun des

demi-axes aboutissant à cette molécule et renfermés dans un méme plan, une longueur équivalente à l'unité disisée par la racine carrée de la rotation très petite qu'exécute en se déformant le demu-axe que l’on considere autour d'une droite perpendiculaire au plan. Cette longueur représentera le rayon vecteur d’une ellipse qui aura pour centre la molécule w, et dont les deux axes, grand et petit, correspondront, si toutes les rotations s'executent dans le même sens, le premier à la rotation dont la valeur numerique sera un minimum, le second à la rotation dont la valeur numérique sera un maximum. Si au contraire les rotations s'exécutent les unes dans un sens, les autres en sens contraire, l’ellipse se trouvera remplacée par deux hyperboles qui, étant conjuguées l'une à l’autre, offriront les mêmes äsymptotes avec des axes réels, perpendiculaires entre eux. Alors ces axes réels correspondront à deux rotations effectuées en sens contraires, et dont chacune sera un maximum, abstraction faite du signe, tandis que les directions des asymptotes répondront à deux demi-axes dont les rotations

s'évanoutront.

Si l’on projette en particulier la rotation moyenne principale sur les axes coordonnés, les projections que l’on obtiendra, et qui représenteront les rotations moyennes autour de ces demi-axes, seront précisément les fonctions différentielles des déplacements moléculaires, comprises, avec la dilatation du volume, dans les équations générales des mouvements infiniment petits des milieux isophanes qui présentent les phénomènes de la polarisation chromatique. Il y a plus : il résulte des formules contenues dans les Mémoires que j'ai présentés à l'Académie en 1830 que, si, dans les milieux isophanes ordinaires, on prend pour inconnues, au lieu des déplacements moléculaires, la dilatation du volume et les rotations moyennes autour des demi-axes coordonnés, chacune de ces inconnues se trouvera déterminée par une équation aux dérivées partielles, qui, réduite au second ordre, sera de la forme de celle qu’on appelle l'équation du son. Cette remarque suffit pour ramener l'intégration des équations aux dérivées partielles d’un milieu isophane ordinaire à un problème résolu depuis longtemps, savoir, à l'intégration générale de l'équation du son.

ANALYSE

S IL — Formules générales relatives au changement de forme que peut subir un système de points matériels.

Concevons qu’un système de points matériels vienne à changer de forme, en passant d’un premier état naturel ou artificiel à un second état distinct du premier.

Soient, dans le premier état du système,

æ, y, = les coordonnées rectangulaires d’une molécule m, supposée réduite à un point matériel;

r le rayon vecteur mené de la molécule m à une autre molécule #7;

a, b, c les cosinus des angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives.

Soient, dans le second-état du système,

THE Y+N 2+ € les coordonnées de la molécule m:

r + p le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule »;

a, b, c les cosinus des angles formés par ce rayon vecteur avec les demiaxes des coordonnées positives.

Soient encore

à l’angle compris entre les rayons vecteurs r, r + p;

9, 4, Ÿ les projections algébriques de cet angle sur les plans coordonnés, ou, ce qui revient au même, les angles décrits dans les plans coordonnés par les projections du rayon vecteur r, chacun de ces angles étant pris avec le signe + ou le signe —, suivant que le mouvement de rotation est direct ou rétrograde.

Enfin posons

(1) ef.

£, n, Ç représenteront les déplacements de la molécule m mesurée pa-

rallèlement aux axes coordonnés, et l’on aura

(2) sind —=[(be— ch}?+ (ca — ar)? + (ab — ba)?}?, be— cb ca— ar ab — ba (3) LR TETE ea ct+aa Wet aa + bb

Si Le rayon vecteur r devient infiniment petit, la valeur de e, déter-

minée par l'équation (1), représentera, au signe près, la dilatation ou

condensation linéaire, mesurée sur un demi-axe OA qui forme avec

ceux des coordonnées positives les angles dont les cosinus sont a, b, c.

Alors aussi l'angle à mesurera la rotation absolue de ce demi-axe

autour de la molécule m, tandis que les angles ©, y, Ÿ représenteront

les rotations du même demi-axe autour de trois demi-axes parallèles à

ceux des coordonnées positives. On trouvera d’ailleurs, dans cette

hypothèse, | (+ [a(i+ DE) DUR bD,. Ë + ch Er (4) + [aDan + 6(G+Dyn) +cD,n7 + [aD.E + bD,é + c(1+ D.6)l et e= ——[a(i+ Ds) +0D,E+c DE], (5) | b— La Dern + b(1+ Din) + cDirl, he = [aD.t +bD,E + e(1+ D.5)].

Dans le cas particulier où le demi-axe OA devient parallèle au plan

des y, z,ona FÉreos +

et, en nommant 7 l'angle polaire formé par le demi-axe OA avec celui

des y positives, on a encore

b — cosr, C=SIinT.

Par suite, on tire de la première des formules (3), jointe aux équa-

tions (5), (cosrD,+ sinrD.)(£ cost — nsinr) 1+ (costD,+sinrD.)(ncosr+£&sint) OEuvres de C — S.1,t. VII. 31

(6) tango —

Cela posé, si l’on prend f 2T

A — — o dr, 2T 0

ri SI

représentera ce qu'on peut appeler la rotation moyenne du système de points matériels autour du demi-axe des æ positives. Des formules semblables aux équations (6) et (7) détermineront les rotations moyennes # ou y du système autour du demi-axe des y ou des 3 positives. Enfin, à l’aide d’un changement de coordonnées rectangulaires, on déduira aisément des mêmes formules [a rotation moyenne du système autour d’un demi-axe OA qui formerait avec ceux des coordonnées positives des angles dont les cosinus seraient

L'un:

Quant à la dilatation moyenne du volume, si on la représente par v,

on aura (8) 1+v—(r1+e)(1+e")(1+e"),

e, e”, e” étant les délatations linéaires principales, c’est-à-dire celles qui se mesurent sur trois axes rectangulaires, et parmi lesquelles se trouvent les dilatations maxima et minima.

$S II. — Formules relatives aux changements de forme infiniment petits que peut subir un système de points matériels.

Les formules obtenues dans le $ I se simplifient lorsque le changement de forme du système de points matériels devient infiniment petit, ou plutôt lorsque ce changement est assez petit pour que l’on puisse négliger les puissances supérieures et les produits des déplacements moléculaires et des quantités de même ordre, par exemple des dérivées de ces déplacements et des dilatations linéaires. Alors, à la place des formules (4) et (6) du $ I, on obtient les suivantes :

(1) e—(aD;+ bD,+ cD.)(aë + bn + c£), { o— cos®TD,é — sin*rD,n — sinrcosr(D,n — D:£)

(2) l = L(D,E — Din) + F(D,6 + Din) cos2r — E(D,n — D.6) sinar.

De cette dernière, jointe à l'équation (7) du $ I, on tire | aæ—3(D;6—D:n).

(3) { 6—3,(D:È— Dé), 7 = 3(Den — D, 6).

On trouve de même

Les formules (3) déterminent les rotations moyennes «, 6, y du système de points matériels donné autour des demi-axes des coordonnées positives, et il suffit de recourir à une simple transformation des coordonnées rectangulaires, pour déduire de l’une quelconque de ces trois formules la rotation moyenne 0 du système autour du demi-axe OA qui forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles dont les cosinus sont

on trouve alors (4) | 0—=aa+b6+ cy.

et la direction du demi-axe, autour duquel s'effectuera cette rotation moyenne principale, sera déterminée par les formules

5) a — c Ai di

Observons encore que, en vertu de la formule (1), la somme des

dilatations linéaires mesurées suivant trois directions rectangulaires entre elles sera équivalente au trinôme

D,Ë + Dyn + D.E£.

Donc, si l’on nomme e’, e”, e” Les dilatations linéaires principales, on

aura

(6) e"+e"+e"—D,E+D,n + Dé.

24h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

D'autre part, en considérant les dilatations linéaires comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre ou d’un ordre supérieur au premier, on tire de la formule (8) du SI

6,2) u—e te" Le", Cette dernière formule, jointe à l'équation (6), entraîne la suivante : (8) v—=D,ËE+D,n + D.6.

Il est aisé de s’assurer que les diverses formules données dans ce paragraphe et dans le précédent entrainent les théorèmes énoncés dans le préambule de ce Mémoire.

S IE. — Sur les équations aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système isotrope de molécules.

D’après ce que j'ai dit dans la séance du 14 novembre dernier, les équations aux dérivées partielles qui représentent les mouvements infiniment petits d'un système de molécules isotrope sont générale-

ment de la forme D?—E)E = FD,v +2Ga,

| ( (1) { (D?—E)n = FD, v + 2G6, (D? —E)S = FD;v+2Gy, les lettres v, “0 6 7 désignant, comme dans les paragraphes précédents : 1° la dilatation du volume mesurée au point (+, y,z); 2° les rotations moyennes du système autour de trois demi-axes menés par le même point parallèlement à ceux des coordonnées positives. Quant aux lettres E, F, G, elles représentent, dans les équations (1), trois fonctions entières de la somme DE+D;+ Di, .dont la première s’évanouit avec cette somme, et dont chacune peut ètre composée d’un nombre infini de termes.

On peut aisément déduire des formules (1) d’autres formules qui renferment seulement les inconnues

et d’abord, comme, en vertu des équations (3) du $ IH, on aura iden-

tiquement

on tirera des équations (1)

De plus, si l’on élimine v entre les équations (1), combinées deux à deux, on en conclura

PE me rs DRE et El (4) { (D?—E)6—2G(D:x— D,7y), ; (Di —E)y —=2G(D,:6 — D,a).

Lorsque G s’évanouit, les formules (4) se réduisent aux suivantes : (5) (D?—E)a—o, (D?—E)6— 0, (D—E)y= 0.

Les formules (3) et (5) sont du nombre de celles que j'ai données dans le Mémoire lithographié d’août 1836. Lorsqu'on a simplement

B=u(Di+De+ Di), FSSE

: { désignant des coefficients constants, elles se réduisent aux sui-

vantes :

(6) LEGER D(DE+D + Di)lvse, | [D?—(Di-+Di+ Di)]a=0, (7) [D?— (Di+D;+D:)]6— 0, | ns (DE+Dÿ+ D?)]y = 0.

Ces dernières sont toutes semblables à l'équation du son et s’intègrent de la même manière; elles sont d’ailleurs comprises, comme cas par-

ticulier, dans des formules plus générales que j'ai données dans un Mémoire présenté à l’Académie le 31 mai 1830, et qui sont relatives au mouvement de la lumière dans les cristaux à un seul axe optique.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Note sur les pressions supportées, dans un corps solide ou fluide, par deux portions de surface très voisines, l’une exte-

rieure, l'autre intérieure à ce même corps.