LT RME AE 2 U 3 2U 4 3V X

Si d’ailleurs on nomme z le nombre des variables indépendantes

l'équation (39), résolue par rapport à 2, offrira 72 + 1 racines, et celle de ces racines qui s’évanouira en même temps que € sera précisément la valeur de 2 que détermine l’équation (17). La racine dont il s’agit, développée en série suivant les puissances ascendantes de &, se déduira aisément, par le théorème de Lagrange, de l'équation (39), présentée

sous la forme

(40) "Ras A à PARNTE - ne. FA “HU. QUE Le mr u ane À PA ET" #42. qu Do 144 A

et se réduira simplement à

AE db RER TE 8 NE + Gratis X

Ÿ U p.22 dd? . 1° a? 7 (% (de. Ur Fi DE +++ +—)+4{— +... )+5—-+—- +...) [x x y U En X y vd: F.2 ge mt DE CL LE. Rd re ne à 0 el RS Me a M Bin ie ee etaidiee se se ele de à don 50 «0

Si l’on substitue dans cette dernière équation la valeur de & développée en série suivant les puissances ascendantes de 1, savoir

} EE pue (42) LS D

on obtiendra une valeur de # composée, comme on devait s’y attendre, de termes tous positifs, et respectivement supérieurs aux modules des

termes correspondants de la série qui, en vertu de l’équation (5), représenterait le développement de la différence 5 —w suivant les puissances ascendantes de 4 —7. Ajoutons que les séries comprises dans les seconds membres des formules (41), (42) ne cesseront pas d'être convergentes, tant qu’on aura simultanément

(43) de rt

(rate Res RS ee Re VE ee 11 AeS HE FT 149 Vs Re A RE AR

æ étant la plus petite valeur positive de # propre à vérifier l'équation 8 L :

É 9— À 0 \b 0 do NN EDR 0 CAT ANS X X/ \ À y

ou, ce qui revient au même, la plus petite racine positive de l'équation

(46) I “A Sa Ha — | w(s+22|+...—0 (4 +) ErES A DAN C ...— 0:

Lorsque le module : de : — 7 conservera une valeur assez petite pour que les conditions (44) soient satisfaites, la convergence de la série (16) entrainera celle de la série (5), ou, en d’autres termes, la formule (41) entrainera l'équation (5); et alors la somme de la série (7), c'est-

à-dire la valeur de la différence & — w, déterminée par l'équation (5), vérifiera certainement l'équation (1), si d’ailleurs le module de cette différence est inférieur à v, ce qui aura nécessairement lieu si lon a (47) v > «a.

D'ailleurs, on peut s'assurer que l'équation (45) entraine toujours la formule (43). En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Tuéorème. — Supposons l'inconnue 5 assujettie : 1° à vérifier, quel que

soit t, l'équation Do —AD,0+BD,m+...+K,

dans laquelle À, B, ..., K désignent des fonctions données de cette Mass 22 vérifier,

De.G)

inconnue et des variables indépendantes x, y, 3,

pour t = 7, la condition

w étant une constante donnée. Soient d'ailleurs

ce que deviennent les fonctions F. FD : PÉDSOES

lorsque, après avoir réduit t à 7 et 5 à w, on attribue aux quantités OT)

Ty Yo %, des accroissements imaginaires AN lo ue rss is Supposons encore les modules de ces ascroissements UmagInGUreS représentés par X, Y, 2Z, .s À, v, et tellement choisis que, pour ces modules ou pour des modules plus petits, D K

les fonctions restent fonchons continues des arguments et des modules des accroisse-

ments dont il s'agit. Enfin, soient b, vb, Vass

les plus grands modules des fonctions US: PURE +

correspondants aux modules

et nommons 1 le module de la différence t — 7. L'inconnue 5 sera développable, par la formule de T aylor, en une série convergente ordonnée sutvant les puissances ascendantes de la différence & — 7, si le module 1 de 1 — 7 est assez petit pour que les conditions (43) et (44) se vérifient. Alors aussi, en arrétant après un certain nombre de termes la série (7), c'està-dire le développement de 5 — w suivant les puissances ascendantes de 1 — 7, on obtiendra un reste dont le module sera inférieur au reste correspondant de la série (16), qui représente le développement de 2 suivant les puissances ascendantes de 1.

Si les fonctions . BUS SARRU ER «

ne renfermaient pas explicitement la variable l, on pourrait, dans Île second membre de chacune des formules (12), supprimer le facteur 4". Par suite, on devrait, dans les formules (32), (35) et (36),

sn 1(:) et ui?) st £: t

remplacer

par

Par suite aussi, la condition (43) disparaitrait, et l’on devrait, dans les formules (59), (41), (44), poser

Nous avons supposé,-dans ce qui précède, que la valeur w de 5, correspondante à £ — 7, était une valeur constante. Pour ramener à ce cas particulier, et même au cas où l’on aurait & — 0, le cas général dans lequel w serait représenté par une certaine fonction

He, v Rs ;:)

des variables indépendantes autres que la variable 4, il suffira évidemment de remplacer l’inconnue 5 par une autre inconnue équivalente à & — 0).

Les principes que nous venons d'appliquer à l'intégration par série

EXTRAIT No 171. 33

d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles peuvent être évidemment étendus à l'intégration d’un système de semblables équations, et, par suite, en vertu des observations faites dans le préambule de ce Mémoire, à l'intégration des équations non linéaires. C’est d’ailleurs ce que nous expliquerons plus en détail dans un autre article.

Nota. — Les équations aux dérivées partielles se réduisent simplement à des équations différentielles, quand les variables indépendantes se réduisent à une seule. En conséquence, les résultats de l'analyse que nous venons d'exposer doivent comprendre ceux que. nous avons obtenus dans le précédent Mémoire. C’est ce qu'il est aisé de reconnaître, en comparant les résultats avec les formules établies dans le Compte rendu de la dernière séance.

ira

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur l'application du calcul des limutes

à l'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles.