C.R., T. XVI, p. 413 (20 février

J'ai donné à la Faculté des Sciences, dans mon Cours de Mécanique, en décembre 1821, une méthode générale à l’aide de laquelle j'ai obtenu, pour un système quelconque de coordonnées curvilignes, des formules propres à la détermination des surfaces, des volumes, des masses, etc. Ces formules se distinguent des formules du même genre données par Lagrange pour l’évaluation des surfaces et des volumes dans la Théorie des fonctions analytiques, en ce que‘les formules de Lagrange se déduisent de celles qui supposent les coordonnées rectangulaires, par un changement de variables, tandis que mes formules se trouvaient établies directement pour des coordonnées curvilignes quelconques. Leur démonstration se déduit aisément de la considération des quantités que j'ai désignées sous le nom de rapports différentiels, dans mes leçons à l'École Polytechnique, ainsi que dans les dernières livraisons de mes Ærercices d'Analyse. L'emploi des coordonnées curvilignes pouvant être utile, non seulement dans la comparaison ou l'évaluation de diverses transcendantes, mais aussi dans les questions de Mécanique rationnelle et de Physique mathématique, comme l’ont prouvé le Mémoire de M. Yvori, relatif à l’attrac-

tion exercée par un ellipsoide sur un point matériel, et plus récemment les travaux de M. Lamé, j'ai pensé que mes formules générales, qui sont d’ailleurs très simples, pourraient même aujourd'hui n'être pas dépourvues d'intérêt pour les géomètres. Tel est le motif qui me détermine à les reproduire dans ce Mémoire, avec les théorèmes qu’elles fournissent. Je dirai ensuite, en peu de mots, comment on peut de ces formules passer à celles que Lagrange a données et à

d’autres du même genre.

ANALYSE

$S I. — Formules générales pour la détermination des surfaces, des volumes, des masses, etc.

La position d’un point sur une surface plane ou courbe peut être déterminée par le moyen de deux coordonnées +, y, rectangulaires ou obliques, rectilignes ou curvilignes; et une ligne quelconque tracée sur cette surface peut être représentée par une équation qui renferme les deux variables æ, y, ou au moins l’une d’entre elles.

Pareillement, la position d’un point dans l’espace se trouve complèetement déterminée par le moyen de trois coordonnées æ, y, 3, rectangulaires ou obliques, rectilignes ou curvilignes, et une surface quelconque peut être représentée par une équation qui renferme les trois variables æ, y, z, ou deux de ces variables, ou au moins l’une d’entre elles. «

Lorsque les coordonnées, étant au nombre de deux, se rapportent aux divers points situés sur une même surface, les Lignes coordonnées des æ et y sont celles qui se trouvent représentées par les deux équa-

tions LEO et YO.

L'origine des coordonnées est le point d’intersection de ces deux lignes, ou, en d’autres termes, le point dont les coordonnées se réduisent à Zéro.

Lorsque les coordonnées sont au nombre de trois, les surfaces coor-

données des y, 3, des z, æ et des æ, y sont celles qui se trouvent représentées par les trois équations

Les lignes coordonnées des x, des y et des z sont les trois lignes suivant lesquelles se coupent les surfaces coordonnées. L'origine est le point commun aux trois surfaces et aux trois lignes coordonnées, ou, en d’autres termes, le point dont les trois coordonnées se réduisent à zéro. :

Cela posé, les propositions générales que nous avons établies dans les lecons données à la Faculté des Sciences, en décembre 18271, se réduisent aux suivantes :

TuéorÈème 1. — La position d’un point, sur une surface plane ou courbe, étant déterminée par le moyen de deux coordonnées rectilignes ou curvilignes x, y, cherchons l'aire comprise sur cette surface entre les quatre

lignes droites ou courbes représentées par les quatre équations PTE, EX, ‘ Y = Jos Y — YŸ,

dans lesquelles x,, à Vos YŸ désignent des valeurs particulières des

variables x, y; et soit f(X, Y)

la valeur de cette aire, considérée comme fonction de X et de Y. Si l’on nomme À ce que devient l'aire dont il s'agit quand y, Y se transforment en deux fonchons données de la variable x, alors, en posant, pour

abréger, (1) u=D,D,f(z,7),

on aura

| (2) Az f à u dx dy.

Lo “Yo

Corollaire I. — On peut, dans la recherche de la fonction Ff(X, Y),

attribuer à x,, y, des valeurs arbitraires, par exemple des valeurs

nulles.

Corollaire II. — La position d'un point dans un plan étant déterminée par deux coordonnées rectangulaires æ, y, ou par deux coordonnées polaires p, r, alors, en ayant égard au corollaire 1, on verra l'aire représentée par f(X, Y) se réduire, dans le premier cas, à un rectangle, dans le second cas, à un secteur circulaire, et l’on trou-

vera, par suite, dans le premier cas,

Mar) = er, É,

x 7 il dx dy ;

dans le second cas, Le ser 5e P; À A Pris r,

f(2,7) = f(P, r)= = rt(1—cosp), u—=rsinp, R A sh d r sin dp dr.

Po ro r,, R désignent deux fonctions de p, et p,, P deux quantités constantes.

Taéorème Il. — La position d'un point dans l’espace étant déterminée par le moyen de trois coordonnées rectiignes ou curvilignes æ, y, 3, cherchons le volume compris entre les six surfaces représentées par les

six équalions

Fe à 7e BIS A; Y — Jos VIS AS 3 — Z9 SA,

dans lesquelles x,, X3 yo, Y 3 3,, Z désignent des valeurs particulières des variables x, y, z; et soit f(X, Y, Z)

la valeur de ce volume considéré comme fonction de x, y, 3. St l’on

nomme V ce que devient ce méme volume quand y,, Y se transforment

en deux fonctions données de x, et ,, Z en deux fonctions données de

x, y, alors, en posant, pour abréger, (3) % v—D,D,D.f(x, 7,3),

} CN HER (4) CE à fe 14 e dx dy dz.

Lo “Jo <o

Corollaire I. — On peut, dans la recherche de la fonction f(X, Y,Z), attribuer à æ,, y,, 3, des valeurs particulières, par exemple, des valeurs nulles.

Corollaire II. — La position d’un point dans l’espace étant déterminée par trois coordonnées rectangulaires æ, y, z, ou par trois coordonnées polaires p, q, r, alors, en ayant égard au corollaire 1, on verra le volume représenté par f(X, Y, Z) se réduire, dans le premier cas, à’ un parallélépipède rectangle; dans le second cas, à un secteur sphérique; et l’on trouvera, par suite, dans le premier cas,