FT) V2) 22, CR
LR EU 3 . If. dx dy ds; HS T6: 40
TX — P, Y =; Ceres #g
dans le second cas,
f(a, 7, 3) = Cp, gr) — 3 règ(1—cosp), u—=r'sinp,
V sf if p r?sinp dp dq dr, Po o “ro
Pos P étant deux quantités constantes, 45, Q deux fonctions de p, et r,, R deux fonctions de p et de g.
TuéorÈME IL. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème 11, st l’on nomme M la masse d’un corps comprise sous le volume V, alors, en OEuvres de C. — S.I,t. VII. 34
désignant par p la densité du corps au point æ, y, z, on obüiendra, au
lieu de la formule (4), la suivante :
QU, ENS AL (3) “= f [ se pv dx dy dz.
Xo "Je F8
Corollaire. — En faisant usage, par exemple, de coordonnées rectangulaires ou polaires, on verra l'équation (5) se réduire à lune des
m=f ff eteayas, R nf [S or?sinp dp dq dr.
Po
formules connues
La manière la plus simple d'établir les théorèmes qui précèdent est de recourir à l'emploi des rapports différentiels, dont nous allons rap- peler la définition en peu de mots.
Comme nous l'avons expliqué dans la 19° livraison des Exercices d'Analyse ('), nous appellerons grandeurs ou quantités coexistantes deux quantités qui existent ensemble et varient simultanément, de telle sorte que les éléments de l’une varient et s’évanouissent en même temps que les éléments de l’autre. Tels sont, par exemple, le rayon d’un cercle et sa surface, le rayon d’une sphère et son volume, la hauteur d’un triangle et sa surface, le volume d’un corps et la masse ou le poids de ce corps.
Des grandeurs ou quantités coexistantes peuvent varier simultanément dans un ou plusieurs sens divers. Par exemple, la masse d’un parallélépipède peut varier avec le volume de ce solide dans un, deux ou trois sens, correspondants à ses trois dimensions.
Cela posé, soient
A et B deux grandeurs ou quantités coexistantes qui varient simultanément dans un ou plusieurs sens divers. Concevons que la grandeur B soit
(1) OEuvres de Cauchy, S. W, T. XIL.
décomposée en éléments
dont les valeurs numériques soient très petites, et nommons Œis PA RACR An
les éléments correspondants de la grandeur A. Supposons d’ailleurs que, l’un quelconque des éléments de la grandeur B étant représenté par b, et l'élément correspondant de la grandeur A par a, la valeur numérique de l'élément à vienne à décroître indéfiniment dans un ou plusieurs sens. L'élément & s’approchera lui-même indéfiniment de zéro ; mais on ne pourra en dire autant du rapport qui convergera en général vers une limite finie différente de zéro. Cette limite est ce que nous appelons le rapport différentiel (*) de la grandeur À à la grandeur B. Ce rapport différentiel est du premier ordre, ou du second, ou du troisième, ete., suivant que pour l'obtenir on fait décroitre l’élément à dans un, ou deux, ou trois, ... sens différents.
Ces définitions étant admises, on établira sans peine, avec les théorèmes I, Il, HT, ceux que nous allons énoncer.
Taéorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, nommons K une grandeur qui varie et s'évanouisse avec la surface À. Si le rapport différentiel de la grandeur K à l'aire À est représenté par p, on
aura
(6) Eh pu dx dy.
Yo
(:) Le rapport différentiel de deux grandeurs reçoit souvent divers noms particuliers relatifs à la nature même de ces grandeurs. Ainsi, par exemple, la densité d’un corps en un point donné n’est autre chose que le rapport différentiel entre la masse et le volume de ce corps; la vitesse d’un point mobile est le rapport différentiel de l’espace parcouru au temps; la pression hydrostatique supportée par une surface en un point donné est le rapport différentiel de la pression totale à l'aire de cette même surface, etc.
TuéorÈme V. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème II, nommons K une grandeur qui varie et s'évanouisse avec le volume V. Si le rapport différentiel de la grandeur K au volume N est représenté par o, on aura
(7) K=f [ ['rvardyas.
Yo 3Q
ILest bon d'observer ici qu'étant données : 1° une surface ou un volume quelconque; 2° une grandeur K correspondante à cette surface ou à ce volume, on peut toujours décomposer ces deux quantités en parties correspondantes dont chacune puisse être déterminée, soit à l’aide des formules (2) et (6), soit à l’aide des formules (4) et (7).
S II. — Remarques sur les formules obtenues dans le paragraphe premier.
Si l’on veut passer des formules obtenues dans le paragraphe premier à celles que Lagrange a données dans sa Théorie des fonctions analytiques, et aux formules analogues établies de la même manière, il suffira de recourir à deux théorèmes connus de Géométrie analytique,
dont voici l'énoncé :
TnéorÈme 1. — Tous les points d’un plan étant rapportés à deux axes rectangulaires des æ, y, si l'on construit un parallélogramme qui ait pour côtés les rayons vecteurs menés de l’origine à deux points donnés (x,, y) el (æ,, y,), l'aire du parallélogramme aura pour mesure la valeur nu-
mérique de la résuliante ToV1 — Li Yo — S(+ LoY1).
TuéorÈme Il. — Les divers points de l’espace étant rapportés à trois axes rectangulaires des æ, y, z, si l’on construit un parallélépipède qui ait pour côtés les rayons vecteurs menés de l'origine à trois points donnés (5 Vas 26) (Bio Var 2) CMS Vas 25) MROUONT de A op: vero
aura pour mesure la valeur numérique de la résultante
LoV132 — LoVa81 + L1Y250 — 1052 + La Vo 51 — LoY180—= SE LoY1%2).
| EXTRAIT N° 202. 269 Supposons maintenant que, les lettres Ty Ÿs =
représentant toujours des coordonnées rectangulaires, on désigne par nr
des coordonnées polaires ou des coordonnées curvilignes quelconques ; alors, en vertu de l'équation (7) du paragraphe précédent, on aura, non seulement \
CAS. | Z (1) B= f Î £ o dx dy dz, Xo “Yo 3
a A L à pv dp dgq dr, o ro
Pos P étant deux quantités constantes, g,, Q deux fonctions de p; r,, R
mais encore
P Po
deux fonctions de p, g, et o le rapport différentiel de la grandeur K au volume V. Quant à la fonction ?, elle sera déterminée par la formule
pe D,D,D, f(p, VE r'),
pourvu que f(P, Q, R) désigne le volume renfermé entre les surfaces représentées par des équations de la forme
.P = Po» I —= Qos F—= To, des de Ro. rs |
dans le cas où les quantités P, Q, R deviennent indépendantes les unes des autres et de p,, gs, r,. D'autre part, si l’on nomme © le volume f(p, q,r), et si l’on attribue aux coordonnées p, q, r de très petits accroissements Ap, Ag, Ar, l'accroissement correspondant du volume © pourra être représenté par
et l’on aura sensiblement LEA - ApAgqAr
270 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE D'ailleurs, il est facile de s’assurer que le très petit volume A, A,4,0 sera le produit qu’on obtiendra en multipliant, par un facteur très peu
différent de l’unité, le volume du parallélépipède qui aura pour arêtes les trois droites menées du point (x, y, 3) aux trois points
(æ+A,x, Yy+A,Y,; 3 + As}, (æ + A,æx, y + AY, 3 + Az), (x + À,x, y+ 4,7, 3 +A,3).
Done, en vertu du second théorème, on aura A, A, A,V =(1+e)S(+A,xA,7y 4,2),
£ désignant une quantité dont la valeur numérique décroitra indéfiniment avec Ap, Ag, Ar. Cela posé, la valeur de + deviendra
À,æx À À ,.3 à ne Hi P q r $ + (i+e)s (+ )
Si maintenant on réduit Ap, Ag, Ar à zéro, l'équation que nous venons de trouver donnera
(3) p=ES(+tD,xzD,yD,z),
Telle est la valeur de # qui devra être substituée dans la formule (2) et que l’on peut d’ailleurs obtenir en appliquant à l'équation (1) la méthode donnée par Lagrange (") pour un changement de variables dans une Intégrale double.
Si, en considérant des points situés, non plus dans l’espace, mais dans un plan, on désignait par æ, y des coordonnées rectangulaires, et par p, r des coordonnées polaires ou curvilignes quelconques, alors,
(1) On peut voir, sur l'application de cette méthode aux intégrales multiples de divers ordres, d'une part les formules que j'ai obtenues dans le XIX° Cahier du Journal de l’École Polytechnique (4), et d'autre part un Mémoire publié récemment dans le Journal de Crelle, par M. Jacobi.
(4) Œuvres de Cauchy, S. K, T. I.
en vertu de la formule (6) du paragraphe précédent, on aurait, non seulement
(4) kf f'odrar
mais encore P R
(5) K—f f oudpar,
* Po 0
Pos P étant deux quantités constantes, r,, R deux fonctions de p, et p le rapport différentiel de la grandeur K à la surface A. Alors aussi, par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, on déduirait du théorème I la formule
(6) u=ES(ED,xD,y)=+(D,xD,y—D,yD;zx).
Nous remarquerons en finissant que, dans les formules (3) et (6),
le double signe doit être déterminé de manière que la valeur de & ou de + reste positive.
CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur la théorie des intégrales définies singulères appliquée généralement à la détermination des intégrales définues,
et en particulier à l'évaluation des intégrales eulériennes.
