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intégrales dont la valeur est finie d’avec celles dont les valeurs deviennent infinies ou indéterminées. Ces diverses applications de la théorie des intégrales singulières se trouvent déjà exposées et développées, d’une part dans le Tome I des Mémoires des Savants étrangers ('), de l’autre dans mes Exercices de Mathématiques (?) et dans les leçons données à l'École Polytechnique sur le Calcul infinitésimal (?).

Il arrive souvent que, dans une intégrale simple, la fonction sous le signe f se compose de divers termes dont plusieurs deviennent infinis pour une valeur de la variable comprise entre les limites des intégrations, ou représentée par l’une de ces limites. Alors il importe de savoir, non seulement si l'intégrale est finie, ou infinie, ou indéterminée, mais en outre, lorsqu'elle reste finie, quelle est précisément sa valeur. La théorie des intégrales singulières, qui sert à résoudre généralement le premier problème, conduit souvent encore à la solution exacte où approchée du second. Ainsi en particulier cette théorie, combinée avec le calcul des résidus, fournit, sous une forme très simple, la valeur générale d’une intégrale prise entre les limites o et æ, lorsque la fonction sous le signe / est une somme d’exponentielles multipliées chacune par un polynôme dont les divers termes sont proportionnels à des puissances entières positives ou même négatives de la variable x.

La théorie des intégrales singulières peut encore être employée avec avantage dans l'évaluation des intégrales qui représentent des fonctions de très grands nombres. Elle permet de séparer, dans ces dernières, la partie qui reste finie ou qui devient même infinie avec ces nombres, de celle qui décroît indéfiniment avec eux. Cette séparation devient surtout facile quand, les limites de l'intégrale étant zéro et l'infini, la fonction sous le signe / se compose de deux termes, dont l’un est indépendant d’un très grand nombre donné, tandis que

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. I.

(2) 1bid., S. II, T. VI à IX.

(3) Zbid., S. I, T. IV.:

l’autre a pour facteur une exponentielle dont l'exposant est proportionnel à ce même nombre.

L'observation que nous venons de faire s'applique particulièrement à deux intégrales dignes de remarque. La première est celle qui représente la somme des puissances négatives semblables des divers termes d'une progression arithmétique dans laquelle le nombre des termes devient très considérable. La seconde est le logarithme d’une des intégrales eulériennes, savoir, de celle que M. Legendre a désignée par la lettre F. En appliquant les principes ci-dessus énoncés à la première, on la décompose en deux parties, dont l’une, qui décroît indéfiniment avec le nombre des termes de la progression arithmétique, peut être développée en série convergente, tandis que l’autre partie peut être présentée sous une forme finie et débarrassée du signe d'intégration, pourvu que l’on introduise dans le calcul une certaine constante analogue à celle dont Euler s’est servi pour la sommation approximative de la série harmonique.

Quant à l'intégrale définie qui représente le logarithme de la fonction l'(2), elle se décompose immédiatement, d’après les principes cidessus énoncés, en deux parties, dont l’une croît indéfiniment avec le nombre » et peut être complètement débarrassée du signe d’intégration, tandis que l’autre peut être développée de plusieurs manières en série convergente. Cette décomposition est précisément celle à laquelle M. Binet est parvenu par d’autres considérations dans son Mémoire sur les intégrales eulériennes, et constitue, à mon avis, l’un des beaux résultats obtenus par l’auteur dans cet important Mémoire, A la vérité, M. Gauss avait, en 1812, exprimé par une intégrale définie la différentielle du logarithme de T(2), et l’on pouvait aisément, par l'intégration, remonter de cette différentielle au logarithme lui-même. A la vérité encore, en retranchant de ce logarithme la partie qui croit indéfiniment, telle qu'on la déduit de la formule donnée par Laplace pour la détermination approximative de F(2), on devait tenir pour certain que la différence décroitrait indéfiniment avec le nombre ». Mais, en supposant même que ces rapprochements se fussent présentés à l’es-

OEuvres de C.— S. 1, t. VII 39

prit des géomètres, ils n’auraient pas encore fourni le moyen de développer en série convergente et d'évaluer par suite, avec une exactitude aussi grande qu’on le voudrait, la différence entre deux termes très considérables, dont un seul était représenté par une intégrale définie. Avant que l’on pût obtenir un tel développement, il était d'abord nécessaire de représenter la différence dont il s’agit par une seule intégrale qui se prêtàt facilement à l'intégration par série. C’est en cela que consistait, ce me semble, la principale difficulté qui s’opposait à ce que l’on pût évaluer avec une exactitude indéfinie, et aussi considérable qu’on le voudrait, les fonctions de très grands nombres, et en particulier la fonction T(#). Cette difficulté, que n'avaient pas fait disparaitre Les Mémoires de Laplace, de Gauss, de Legendre et de Poisson, est, comme nous l’avons dit, résolue dans le Mémoire de M. Binet. Les amis de la science ne verront peut-être pas sans intérêt que l’analyvse très délicate et très ingénieuse dont ce géomètre a fait usage peut être remplacée par quelques formules déduites de la théorie des intégrales singulières, et qu’on peut tirer immédiatement de cette théorie la plupart des équations en termes finis auxquelles M. Binet est parvenu.

Lorsqu'une fois on a décomposé le logarithme de (7), ou même une fonction quelconque de », en deux parties, dont l’une croît indéfiniment avec z, tandis que l’autre est représentée par une seule intégrale définie, alors, pour obtenir le développement de cette intégrale en série, 1l suffit de développer la fonction sous le signe f en une autre série dont chaque terme soit facilement intégrable. Le développement de l’intégrale se réduit à une seule série convergente, lorsque le développement de la fonction sous le signe LL ne cesse jamais d’être convergent entre les limites des intégrations. Telle est effectivement la condition à laquelle M. Binet s’est astreint dans son Mémoire. Toutefois il n’est pas absolument nécessaire que cette condition soit remplie. Si, pour fixer les idées, on représente, comme je le fais dans ce Mémoire, la partie décroissante du logarithme de F(7) par une intégrale prise entre les limites zéro et infini, on peut, avec quelque avan-

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tage, dans le cas où z est très considérable, décomposer cette intégrale en deux autres, prises, la première entre les limites o, 1, la seconde entre les limites 1, », puis développer la première intégrale par la méthode de Stirling en une série dont les divers termes ont pour facteurs les nombres de Bernoulli, et la seconde par la méthode de M. Binet en une autre série dont les divers termes ont pour facteurs les nombres que lui-même a introduits dans l'expression du logarithme de T(2).

Nous ferons remarquer, en finissant, que les principes exposés dans ce Mémoire fournissent les moyens de trouver a priori et d'établir, par une marche uniforme, non seulement les diverses propriétés de la fonction T(r) déjà connues des géomètres et représentées par des équations en termes finis, mais encore des propriétés nouvelles représentées par des équations qui renferment des séries de termes dont Le nombre est infini.

ANALYSE

Parmi les propositions auxquelles nous avons été conduit par la

théorie des intégrales définies singulières, on doit particulièrement

remarquer la suivante :

Taéorème |. — Soient x, y deux variables réelles, : = x + y V — j une variable imaginaire, et f (z) une fonction de z tellement choisie que le résidu