MO

soit finie et déterminée, il sera nécessaire et ul suffira que les intégrales

singulières G) Î ftx)de, (8) MOT

s'écanouissent par des valeurs infiniment petites de e, quelle que sou d'ail-

leurs la valeur finie ou infiniment petite attribuée au coefficient 1 ou v. Corollaire. — Si l'on suppose, en particulier, (9) PLAT = PE ROe tr He EE .,

P, Q,R, ... désignant des polynômes dont chaque terme soit proportionnel à une puissance entière, positive ou négative de æ, on déduira sans peine du théorème précédent la seule condition qui devra être remplie pour que l'intégrale (6) conserve une valeur finie. Cette seule

(1) Euvres de Cauchy, S.H, T. IV.

condition sera que la fonction (x) se réduise à une constante finie pour x = 0.

Observons enfin que l’on arrive à des résultats dignes de remarque quand on transforme des intégrales singulières, dont les valeurs approximativement peuvent être facilement déterminées, en d’autres intégrales. Pour donner un exemple de cette transformation, supposons

que la fonction f(x) devienne infinie pour + —o, mais que le produit

æ f(x) se réduise alors à une constante finie f. Supposons d’ailleurs que le même produit s'évanouisse pour æ —®, et que la fonction f(x) ne devienne jamais infinie pour des valeurs finies de æ. Si l’on désigne

par € un nombre infiniment petit, et par x, y deux coefficients finis et positifs, on aura sensiblement

(10) ['reræ=n(s)

D'ailleurs l'intégrale singulière que détermine l'équation (10) pourra ètre considérée comme la différence de deux autres intégrales. On aura, en effet,

cu É ; l Jar = [ f(æ)de — f fte) de.

: On aura donc encore, pour de très petites valeurs de e,

LUE J, sara [rer de =0(t).

, st . . .

D'autre part, soient 9(z), y(z) deux fonctions de z qui deviennent nulles et infinies en même temps que la variable z, en conservant des valeurs finies pour toutes les valeurs finies et positives de z. Si les fonctions dérivées 4'(z) et y'(z) se réduisent, pour : — 0, à des quantités finies um = (0), v==Y{(0},

on aura sensiblement @(Ee) — pe, X(E) = ve,

ct par suite les formules

IPONOCERIQEE

f'etartetids= [| Jterdr, € p(E)

combinées avec l'équation (11), donneront sensiblement

[tre states ten) =ti(é); |

: > puis on en conclura en toute rigueur, en posant € — 0,

er - Co) (12) [ POMPES

Si l’on prend, en particulier, f(æ) — —)

la formule (12) deviendra

D ler

L'équation (13) comprend plusieurs formules déjà connues. Ainsi, par exemple, on trouvera : 1° en supposant 4(2) — 2, 9(z)=1(1+3),

jé 4 ch+sy* (14) f [E-ET le=0:

° 3 I(1+ 3) » en désignant par &, b deux quantités positives, et supposant (Es) = as, (5) = be,

280 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE, À l'aide d’intégrations par parties, jointes à la formule (14), on peut calculer la valeur de l'intégrale

PCT

lorsque, cette valeur étant finie, la fonction f(x) est déterminée par l'équation (9). Supposons, pour fixer les idées, que, dans les poly-

nomes RO D

les parties qui renferment des puissances négatives de æ soient repré-

sentées par

et, après avoir décomposé la somme (9) en diverses parties, dont chacune se forme de tous les termes proportionnels à une même puis-

sance négative, nommons

u p Le 4

FE nur nur €

ces diverses parties. Enfin posons u p(x)—=Le-2z + Der Herr +. = = + + — +, .s TX (Eh on aura, non seulement

(16) f rœde= f [CP — Peas + (Q— De-t+. de + f o(x) dx, 70 0 0

mais encore

FIST TE a o(x) dx Gta no 7 AE ve AT ire

(Ter l(a)+Q er 1(6) + Retz 1(c) +...).

Ajoutons que la première des intégrales comprises dans le second membre de l'équation (16) pourra être aisément déterminée à laide de la formule

LE °] F:3.9c5m (18) f amer at dx — ARTS à a

qui subsiste quel que soit le nombre entier 72. Si, dans la formule (19), on pose, par exemple,

[Gel

cette formule donnera

[-Gpe-coent = (etes)

Soient maintenant » un nombre très considérable et

(19) fn)= [RP + Qe-e) dr

une fonction déterminée de 2, représentée par une intégrale définie, dans laquelle le facteur R conserve une valeur finie pour x — 0, P, Q étant d’ailleurs deux fonctions de x développables suivant les puissances ascendantes et entières de æ. Si, en nommant 9 la partie de la fonction Q qui renferme des puissances négatives de æ, on pose

(20) F(n) sp he + De-"*) dx, (21) m(n)= [ R(Q— 2e" de,

et la fonction &(A), qui s’évanouira pour » = +, deviendra infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de 7. OEuvres de C.—S.I, t. VII. 36

Pour montrer une application de ces dernières formules, supposons

(23) ’ ÉCRIS Se ES SES anne 7

«, a désignant deux quantités positives. Si l’on fait, avec M. Legendre,

T(a) nf valet de, on trouvera

(24) ES EL ne nn : = re J ee

On réduira la formule (24) à la formule (19), en posant

a er xx , ON NT