C. R., T. XVI, p. 469 (27 février
Les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles jouissent de diverses propriétés dignes de remarque et spécialement utiles
pour la solution des problèmes de Physique mathématique. Telles sont, en particulier, celles que j'établis dans ce Mémoire, et dont je vais donner une idée en peu de mots.
ANALYSE
S 1. — Sur quelques propriétés générales des intégrales qui vérifient les équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants.
Comme je l’ai remarqué dans le Mémoire sur l’application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique, si l’on désigne par &, v deux fonctions données de la variable æ, et par » un nombre
entier quelconque, on aura (1) pDru—u(—D,)"0 =D,X, X désignant une fonction entière de
d' DH: Di pi. Dir, CDI
déterminée par la formule
(2) RP lu D oDE TRS, . COUV VENDEE TR
En conséquence, si l’on nomme F(æ) une fonction entière de +, on
aura généralement (3) PF(D,)u—uF(—D,)e = D,X,
x désignant encore une fonction entière des quantités w, + et de plusieurs de leurs dérivées relatives à æ. Il y a plus : si l’on désigne par u, # deux fonctions quelconques des deux variables æ, y, et par m, 7 deux nombres entiers quelconques, alors, en remplaçant dans la formule (1) : 1° u par Déu; 2° m par n, x par y, ete par (— D,)"v, on tirera successivement de cette formule DS Dyu—Diu(—D,)"v=D,X, D'u(— D)" — u(—D,)"(— D, =D,5
et, par suite,
(4) oD> Dyu—u(—D,)"(—D,)ve=D;X + D,7,
x, 3 désignant deux fonctions entières des quantités « et v et de plusieurs de leurs dérivées relatives à æ et à y; puis on en conelura généralement, quelle que soit la fonction entière de æ et de y représentée par F(æ,y),
(5) ve F(Dz, D,)u — u F(— D, —D,)e =D;X + D,7,
x, 3 désignant encore deux fonctions entières des quantités w, et de leurs dérivées relatives à æ et à y. Enfin, si l’on représente par &, e deux fonctions quelconques des variables æ, y, 3, ... et par F(æ,7y,3,...) une fonction entière quelconque de ces mêmes variables, on trouvera
généralement
6 F(D;, D,, D:, …)u—uF(—D,,—D,, — D:,...)9
(6) Lie =D,X + D,35 + D.b +...,
x, 7, *, .… désignant encore des fonctions entières des variables &, e, æw, .… et de leurs dérivées relatives à æ, y, 3, .... Ajoutons que, si l’on nomme » le degré de la fonction entière de æ, y, 3, ... représentée par F(x,7y, z, ..….), les fonctions
seront composées de termes dans chacun desquels les ordres des dérivées de u et de e relatives à æ,.y, x, ... se trouveront représentés par des nombres dont la somme sera égale ou inférieure à 72 — 1.
On déduit aisément de l'équation (6) (‘) diverses propriétés remarquables des intégrales des équations linéaires, par exemple celles que fournissent les théorèmes suivants :
Tuéorème [. — Nommons F(x,y,z,...) une fonction entière des variables æ, y, =, .... Supposons d’ailleurs qu'une fonction u de ces
variables ait la double propriété de vérifier généralement l'équation aux
(1) J'aurais voulu pouvoir comparer les résultats auxquels je parviens ici avec ceux que M. Ostrogradsky avait obtenus dans un Mémoire où il avait établi quelques propositions générales relatives à l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles. Mais, n'ayant qu'un souvenir vague de ce Mémoire, et ne sachant pas s’il à été publié quelque part, je me trouve dans l'impossibilité de faire cette comparaison.
derivées partielles (7) F(D:,D,,D;,,...)}4—0, et de s'épanouir : 1° quels que soient y, z, ... pour chacune des valeurs de x représentées par x,, X; 2° quels que soient æ, z, ... pour chacune des valeurs de y représentées par y,, Y ; 3° quels que soient x, y, ... pour chacune des valeurs particulières de z représentées par z,, Z, .... Enfin, nommons v une fonction quelconque des variables x, y, 3, .... On aura généralement Ë x Y Z (8) Re: ..UuF(—D,,—D,, —D.,...)edxdydz...—0.
Xo “Yo ” Fo Corollaire. — A la rigueur, pour que l'équation (8) se déduise de la
formule (7), il suffira que des fonctions représentées par x, 7, %, ..., dans la formule (6), la première X reprenne la même valeur pour æ—=%,, et pour æ —X; que la seconde 3 reprenne la même valeur
pour y —Y, et pour y = Ÿ; que la troisième % reprenne la même
valeur pour 3 — z, et pour 3 — Z, etc. | ; TaéorÈME Il. — Supposons que F(x, y, z, ...) représente une fonction
entière et du degré m des variables æ, y, =, .... Sorent de plus u, v deux
fonctions de æ, y, z, ... propres à vérifier les équations aux dérivées par-
tielles
(9) EC DS," De DS: MR ou,
(10) F(— À 2 —D,, —D,, Lu IPS DE,
a, b étant deux quantités constantes. Si les fonctions désignées par X, 3, *, ... dans la formule (6) reprennent les mêmes valeurs, la première pour æ = x, et pour æ — X; la seconde pour y = y, et pour y = Y; la troisième pour 3 = 2, el pour z — 72, ..., on aura, en vertu des équa-
ons (9), (10), jointes à la formule (6),
RC ete (15) an ff f WP 0T AY ds... 70;, To du re
Le |
[ol Le
EXTRAIT No 204.
Par suite, on trouvera
RP HS.
(12) ff f-udsdyas...=0
%o:. Jo ” 30 excepté dans le cas où l’on aurait (13) bus.
Corollaire I. — Les conditions relatives aux fonctions X, 7, &, seront évidemment remplies si ces fonctions s’évanouissent chacune pour les deux limites de l'intégration qui se rapporte à la variable correspondante æ, ou y, ou 3, .... C’est ce qui arrivera en particulier si, d’une part, la fonction w et ses dérivées d’un ordre non supérieur à m', d'autre part, la fonction + et ses dérivées d’un ordre non supérieur à m" s’évanouissent : 1° pour chacune des valeurs de x représentées par &,, X; 2° pour chacune des valeurs de y représentées par y,, Y; 3° pour chacune des valeurs de z représentées par z,, Z; etc., m', m” étant d’ailleurs deux nombres entiers, assujettis seulement à vérifier
la condition DM EE M ET:
Corollaire II. — Si F(x, y, z, ...) représente une fonction paire des variables æ, y, 3, ..., c’est-à-dire si l’on a généralement
l'équation (10) sera de la même forme que l’équation (9) et se réduira simplement à (14) F(D,, D, D, ...)e == bp.
Corollaire III. — Si les variables æ, y, 3, ... se réduisent à la seule variable æ, les formules (9), (10) deviendront
(5) F(D,)u = au, (16) F(— D) = be,
et l'équation (12) sera réduite à
(17) 1h uv dx = 0.
To
On se trouvera ainsi ramené à la formule (124) du Mémoire sur l’application du calcul des résidus aux questions de Physique mathéma-
tique ().
Corollaire IV. — Si l’on suppose en particulier
Flæ)= 2», AR, Let,
h, & désignant deux nombres entiers quelconques, on pourra prendre
u—=Coshzx, PÉCCOLEE,
Mate AIR,
et la formule (17) reproduira l’équation connue ; 2T (18) 7 coskæx cos kx dx — 0,
qui subsistera pour toutes les valeurs entières de 2 et de #, excepté
dans le cas où l’on aurait Mk:
L'équation (18) fournit, comme l’on sait, les moyens de développer une fonction donnée de x en une série dont les divers termes sont proportionnels aux cosinus des multiples d’un même arc. On pourra se servir de la même manière des formules (17) et (12) pour développer une fonction donnée de x ou de æ, y, z, ... en une série de termes respectivement proportionnels à diverses valeurs de w qui, étant propres à vérifier l'équation (15) ou (9), correspondraient à diverses valeurs de a représentées par les diverses racines d’une même équation transcendante.
(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. XV.
$& II. — Sur quelques propriétés remarquables des équations homogènes et de leurs intégrales.
Supposons que, F(æx, y, :, ...) désignant une fonction entière et homogène des variables æ, y, z, ..., on pose, pour abréger,
V—F(D,, D,, D. ...); l'équation linéaire aux dérivées partielles (1) Væ—=o
sera ce que nous appelons une équation homogène. Supposons encore que, dans l'intégrale ÿ de cette équation, l’on remplace les variables indépendantes æ, y, 3, ... par d’autres p, q, r, ..., liées aux premières de telle sorte que, si r vient à varier, æ, y, z, ..., Considérés comme fonctions de p, q, r, ..., varient proportionnellement à r. Les équa-
tions qui subsisteront entre x, y, 3, ..., p, q, r, ... seront de la forme (2) LOT); KES R 3 — Tr, ss
œ«, 6, y, .… désignant des fonctions qui renfermeront les nouvelles variables p, g, .. distinctes de r; et, lorsqu'on aura effectué le changement de variables indépendantes, V deviendra une fonction de p, q, | rs... Dh Dy D,, ... qui sera entière par rapport à D,, D,, D,, ...…. D'autre part, si # désigne une quantité constante, on pourra, dans les équations (2), remplacer simultanément
PUCES CURE PORTE par Kkæ,, Ky;:Ka, et r par kr, sans changer la forme de ces équations, et par conséquent sans changer la forme de l'équation par laquelle V sera exprimé en fonction de p, q, r,..., D,, D,, D,, .... D'ailleurs, si l’on nomme #2 le degré de la fonction homogène F(x, y, 3, ...), la substitution de #x, #y, 4z, ... à x, OEuvres de C.— S.1, t. VIL. 37
Y,3,….. transformera D,, D,, D,,...6n
et, par suite, l'expression
5 V Le L 4 ’ à .
en 7: Donc aussi, pour transformer V, considéré comme fonction de VE pq. Dh D, D, ... en 7 il suffira d'y remplacer r par #r et, : À I her : .
en conséquence, D, par ; D. Donc V, considéré comme fonction de D,
I » al La jp et de -» sera une fonction homogène du degré m, et l’on aura
1 Vus D, + pm Ve
