V= VD" + VD

Vos Vis ses Vus Vn désignant des fonctions de p, g,..., D,, D,, ..., qui ne renfermeront plus ni r, ni D,. Cela posé, il est facile de voir qu’on pourra vérifier l'équation (1) en prenant pour & une fonction homogène de æ, y, x, ..., et même une fonction homogène d'un degré quelconque 2. En effet, une semblable fonction sera transformée, par le changement de variables indépendantes, en un produit de la forme

u, étant seulement fonction des nouvelles variables p, q, ... distinctes

de r; et, si l’on prend (4) | GB mer, l'équation (1), transformée à l’aide de la formule (3), deviendra

TP run —= O0,

la valeur de CE}, étant O,=Vn+nVmnitn(n—i1)Vy ot... .+n(n—1)...(nr—m+i)Ve. Donc, dans l'hypothèse admise, l'équation (1) pourra être réduite à

(5) Euro:

et, pour la vérifier, il suffira de substituer dans la formule (4) une valeur de w, qui représente une intégrale de l'équation (5). Or cette équation (5), ne renfermant plus que les nouvelles variables p, g, . distinctes de r, avec les lettres caractéristiques correspondantes D,, D,, ..., pourra être vérifiée par des valeurs convenables de w,. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Tuéorème 1. — Étant donnée une équation aux dérivées partielles, linéaire, à coefficients constants et homogène, entre une inconnue u et diverses variables indépendantes x, y, 3, ..., on pourra satisfaire à cette équation en prenant pour intégrale une fonction homogène de x, y,z,... et même une fonction homogène d'un degré quelconque n. De plus, la recherche d'une telle intégrale pourra être réduite à l ‘intégration d'une équation linéaire, mais à coefficients variables, qu renfermera une va-

riable indépendante de moins et changera de forme avec le nombre n.

Ce n’est pas tout : puisque l’on vérifiera l’équation (1) en prenant

pour 5 le produit ur",

on la vérifiera encore en prenant pour & une somme de semblables produits, c’est-à-dire en posant

(6) misdu, rs.

u, représentant toujours une intégrale de l'équation (5), et la somme indiquée par le signe £ s'étendant, ou à un nombre fini, ou même à un nombre infini de valeurs rationnelles ou irrationnelles, entières ou fractionnaires, positives ou négatives, de l’exposant » de 7”. Enfin la valeur de 5, déterminée par la formule (6), continuera évidemment de vérifier l'équation (1), si l’on multiplie sous le signe X chaque terme ur* par un coefficient constant a,. On obtiendra ainsi pour l'intégrale de l'équation (1) une expression de la forme

(7) wo—= Zau,r".

La valeur du coefficient a, dans chaque terme pourra d’ailleurs être

choisie arbitrairement lorsque le nombre des termes restera fini. Lorsque ce nombre deviendra infini, la seule condition à laquelle a, devra satisfaire sera que le système de tous les termes offre une série convergente.

Au lieu de faire servir l'intégration de la formule (5) à celle de léquation (1), on pourrait réciproquement faire servir l'intégration de cette équation à l'intégration de la formule (5). En effet, supposons d’abord que l'on connaisse une intégrale homogène 5 de l'équation (1). On pourra toujours, par le changement de variables indépendantes opéré à l’aide des formules (2), réduire cette intégrale homogène à la forme u,r", et alors, comme on l’a dit, &, sera une intégrale de l’équation (5). Mais il y a plus : étant donnée une intégrale quelconque 5. de l'équation (1), après avoir exprimé cette intégrale en fonction des nouvelles variables p, g, r, ..., on pourra, dans un grand nombre de cas, la développer en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes ou suivant les puissances descendantes de 7, et poser en conséquence

ma 2ur", u, étant une fonction des nouvelles variables p, q, ... distinctes de r. Or, en substituant la valeur précédente de & dans la formule (1), on en conclura (8) ZvV(ur")=0; et, comme on aura identiquement

VAUT Er RS

la formule (8) donnera

(9) Sri lie 0 Cette dernière formule, devant être vérifiée quel que soit r, entraînera nécessairement l'équation (5) ou

[lrüui= 0.

On peut remarquer d’ailleurs que développer l'intégrale 5, considérée

comme fonction de p, g, r, ... en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de r, c’est aussi développer la même intégrale, considérée comme fonction de æ, y, z, ..., en une série de termes représentés par des fonctions homogènes de æ, y, 3, .... On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Tnéorème IT. — Pour intégrer l'équation (5), il suffit d'obtenir une intégrale de l'équation (x), représentée par une fonction homogène de x, Y; 3, ..., ou de développer une intégrale quelconque de l'équation (1) en

une série de termes représentés par de semblables fonctions.

Corollaire I. — On peut toujours intégrer l'équation (1) et même obtenir son intégrale générale à l’aide des formules que j'ai données dans le XIX* Cahier du Journal de l’École Polytechnique (*) et dans le Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique (?). Donc, par suite, on pourra toujours intégrer l'équation (5). Ainsi, le théorème IT conduit à l'intégration d’une infinité d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients variables. Je développerai cette conclusion importante dans un prochain Mémoire, et pour l'instant je me bornerai à deux exemples.

Exemple I. — Si l’on pose V=D;+0D:, alors, l'équation (1), réduite à (10) (D:+D;)5 — 0,

aura pour intégrale générale la somme de deux fonctions arbitraires dépendantes, l’une du binôme &æ +7 —1, l'autre du binôme æ — y ÿ—x. On pourra donc prendre pour 5 la fonction homogène

(11) w=(ztyV—:)",

l’exposant » étant une constante quelconque réelle ou même imagi-

(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. I.

(2) Zbid., S. I, T. XY.

naire. Si d’ailleurs on établit entre x et y les relations (12) x — ar COSP, y==brsinp, a, b désignant deux quantités constantes, on trouvera

in? 2 2 in?

(our, [(r+ EE )n,u] +2 (Er + Se )u " à ‘

+ n (£ 2) (sin2p D, u + ucos2p).

Enfin on tirera des formules (11) et (12) (14) & — (acosp + bsinpy/—:1)"r".

Done, si l’on suppose la caractéristique C, définie par la formule (13), on vérifiera l'équation différentielle du second ordre

(15) ru —0o

en prenant u —(acosp + bsinpW—1)",

et, par suite, l'intégrale générale de Péquation (15) sera (16) u — A (acvsp + bsinp Y—1)" + B (a cosp — b sinp—1)".

A, B désignant deux constantes arbitraires.

Si l’on supposait a — 1, b — 1, l'équation (15), réduite à

Diu+ ru —0,

aurait pour intégrale générale, en vertu de la formule (16), la valeur de u déterminée par l’équation

u—AerrV-1+Be-rrV", ce qui est effectivement exact.

Exemple II. — Si l’on a

[ol © . à

on pourra satisfaire à l'équation (1) en prenant = [ef + (78) +(s— APT $, Î, g, h désignant des quantités constantes; et alors, en supposant æ — ar COSp, y = brsinp cosg, z — cr Sinpsing,

on obtiendra pour intégrales de l'équation (5), à l’aide du théorème Il, des expressions finies analogues aux fonctions de p, g que l’on rencontre dans la théorie de l'attraction des sphéroïdes; puis, en posant a—=1, b—1,c—1, on se trouvera immédiatement ramené aux propriétés déjà connues de ces mêmes fonctions.

Si, à la place de l’équation (1) supposée homogène, on considérait un système d'équations semblables, c’est-à-dire un système d’équations linéaires, homogènes et à coefficients constants, alors, à la place des théorèmes I et IT, on obtiendrait des théorèmes analogues qui fourniraient les moyens d'intégrer une infinité de systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients variables.

S III. — Sur une transformation remarquable de l'équation aux dérivées partielles qui représente l’équilibre des températures dans un corps de forme quelconque.

L'équation aux dérivées partielles qui représente l'équilibre des températures dans un corps quelconque est, comme l’on sait, de la forme

(1) (Di+D;+D!)s=0,

æ, Y, 3 désignant trois coordonnées rectangulaires. On peut la réduire à

(2) Vw—=o, en posant, pour abréger, (3) V—D2+D?+ D?

Si maintenant on nomme p, q, rtrois coordonnées polaires, ou même

plus généralement trois coordonnées curvilignes liées à æ, y, 3 par trois équations de forme déterminée, on trouvera, quelle que soit la

fonction ©, Vo = LD;© + MD,5 + ND?5

(4) + 2PD,D,5 + 2QD,D, 5 + 2RD,D,5w +£D,5 +ND,s+XD,",

les valeurs de L, M, N, P,Q,R, £, 90, 3 étant

(3) L—(D;p)}+(D,p} + (D:p}, Mi... N—..., (6) P=D,gDr+D,9D,r+D,;qD;r, Q—=..., Rh=:.:

(7) fe Dip+bip-#Drn Mit Mori

Si, pour le nouveau système de coordonnées p, q, r, les surfaces coordonnées deviennent orthogonales, on aura

(8) Pro GED Ro, et, par suite, la valeur de V5 sera réduite à (9) Vo = LD? +MD?5-+ND;s +£{D,s+D,® + XD,w.

Or, dans cette hypothèse, en posant, pour abréger,

S(+D:pD,;gD:r) — :

ou, ce qui revient au même,

w—S(+<D,xD,yD,5s), on déduira aisément de l’équation identique

D,(D,q9D:r—D,rD;q)+D,;(D:qD;r —D:rD;g) + D,(D:9D,r —D;rD,g)—=o

la formule GE =D, (ob):

On aura de même (10) M —D,(wM),

0% —D,(wN),

et, par suite, l’équation (9) donnera

Par suite aussi, en nommant w, # deux valeurs particulières de 5, propres à vérifier l'équation (1) ou (2), on trouvera

o(oVu—uVe)=D,[oL(eD,u—uD,e)]+D,{woM(eD,u — uD,v)]

(12) + D,[oN(eD,u — uD,v)].

Les équations (11) et (12), dont la dernière est analogue à la formule (6) du $ I, paraissent dignes de remarque. On les déduit de l'équation (1) en supposant que les surfaces coordonnées soient orthogonales entre elles; et ainsi se manifeste une propriété des surfaces orthogonales qui, comme je l’expliquerai plus tard, me paraît très propre à rendre raison des avantages que présentent ces surfaces dans les solutions élégantes, données par M. Lamé, de diverses questions de Physique mathématique.

S IV. — Sur une certaine classe d'équations linéaires aux dérivées partielles.

Considérons une équation linéaire aux dérivées partielles de la forme

s étant supposé fonction de deux variables indépendantes x, y: F(F) désignant une fonction entière de V, et la valeur de V étant

(2) Ÿ V—aD2+ 6D?+o2cD,D..

Un changement de variables indépendantes suffira pour ramener léquation (1) à une équation de même forme, dans laquelle on aurait

ah V=—D:+D:.

C’est ce que l’on reconnaïitra sans peine, en faisant usage des formules Œuvres de C.— S.1,t. VII. 38

que j'ai données à la page 104 du I* Volume des Exercices d’Analyse et de Physique mathématique (").

Pareillement, si, & étant fonction de trois variables indépendantes x, y, 3, on suppose dans l’équation (1) (4) V—aDi+ bD?+ cD?+24D,D.+2eD,D,+2/fD,D,, il suffira d’un simple changement de variables indépendantes pour

ramener l'équation (1) à une équation de même forme dans laquelle on aurait

(5) :V=Di+D:+D:.

On pourrait étendre ces remarques au cas où la fonction 5 renfermerait des variables indépendantesæ, y, z,... en nombre quelconque, et où V serait une fonction homogène du second degré de D,, D,, D,, ..…..

Dans ce cas encore, on pourrait ramener l'équation (1) à une équation de mème forme, dans laquelle on aurait |