C.R.,T. XVI, p. 517 (6 mars

Dans un grand nombre de questions de Mécanique rationnelle et de Physique mathématique, il s’agit, non seulement d'intégrer une équation linéaire aux dérivées partielles, qui, lorsqu'on fait usage de coordonnées rectangulaires, offre dans ses divers termes des coefficients constants, mais encore d’assujettir l'intégrale à vérifier certaines conditions, par exemple à prendre une valeur donnée en chaque point de l'enveloppe extérieure d’un corps solide. Telle est, en particulier, la question de l'équilibre des températures dans un corps de forme quelconque. Les géomètres qui ont approfondi cette question particulière l'ont d’abord résolue pour un prisme rectangulaire, sans être obligés

de recourir à un changement de variables indépendantes ou, ce qui revient au même, à un changement de coordonnées. Plus tard la question a été résolue à l’aide de coordonnées polaires, pour la sphère et pour le cylindre droit à base circulaire; puis M. Lamé a fait voir qu'on pouvait la résoudre pour certaines espèces de cylindres et pour l'ellipsoïde, en prenant pour surfaces coordonnées deux ou trois systèmes de surfaces orthogonales entre elles. Il m'a paru important de rechercher s’il ne serait pas possible d'obtenir pour les problèmes de ce genre des solutions plus générales, par exemple si l’on ne pourrait pas trouver généralement les lois de l’équilibre de la chaleur dans un corps cylindrique terminé par une surface quelconque. Mes recherches relatives à ce dernier problème m'ont conduit à des formules nouvelles qui me paraissent devoir contribuer aux progrès de l’Analyse, et dont je vais donner une idée en peu de mots.

ANALYSE

Proposons-nous de trouver les lois de l’équilibre de la chaleur dans un corps terminé par une surface cylindrique qui offre une température indépendante du temps et constante sur chaque arête, cette température pouvant d’ailleurs varier tandis que l’on passe d’une arète à une autre. Le problème d'Analyse qu'il s'agira de résoudre sera le suivant :

PROBLÈME. — /ntégrer l'équation linéaire aux dérivées partielles (1) | (D: +D;)5 — 0

entre les deux coordonnées rectangulaires x, y prises pour variables independantes et l'inconnue ©, de manière que cette inconnue acquiere une valeur donnée sur chaque arête d'une certaine surface cylindrique repre-

sentée par une équalion de la forme (2) F(æ, y) = 0.

Il est bon d'observer que l'équation (2) représentera, non seulement

la surface cylindrique dont il s’agit, mais encore la courbe qui sert de base à cette surface cylindrique dans le plan des æ, y. Pour plus de commodité, nous supposerons ici que l’on a pris pour origine des coordonnées un point O intérieur à cette courbe, et que chaque rayon vecteur, mené à partir de cette origine dans un sens déterminé, rencontre la courbe en un seul point.

L'intégrale générale de l'équation (2) sera de la forme

(3) m—g(r+yV—1) +%(x—yy—1),

2(æ) et y(æ) désignant deux fonctions arbitraires, réelles ou imaginaires, de la variable æ. Si d’ailleurs on transforme les coordonnées rectangulaires æ, y en d’autres coordonnées p, r, liées aux premières par les formules

(4) ‘ZT—=ar, y =6r,

dans lesquelles «, 6 désignent deux fonctions de p déterminées par les équations

— # CE cosSp sinp

alors, en posant, pour abréger,

(6) u—atéget, va CU, on aura simplement

(7) | m—q(ur)+y(er).

Observons ici qu’en vertu des équations (4) et (5) les surfaces coordonnées se réduiront à des plans passant par un même axe et à des surfaces cylindriques semblables entre elles. En effet, les formules (4) et (5) étant admises, les équations de la forme

p = const.

représenteront évidemment des plans dont chacun renfermera la droite OA menée par l’origine O des coordonnées perpendiculairement au

plan des æ, y, tandis que les équations de la forme

r = Const.

représenteront des surfaces cylindriques semblables à celle à laquelle appartient l'équation (2). Ajoutons : 1° que la substitution des coordonnées nouvelles p, r aux coordonnées rectangulaires +, y transformera l’équation (2) en cette autre