FES

2° qu’en chaque point intérieur du cylindre terminé par la surface à laquelle appartient l'équation (2) ou (8) on aura toujours (9) FAITS

Cela posé, pour résoudre le problème ci-dessus énoncé, il suffira évidemment d'attribuer aux fonctions 9 (x) et y(x) des formes telles que la valeur de & déterminée par l'équation (7) se réduise, pour r—1, à une fonction déterminée de l’angle p. Nommons Ÿ(p) cette dernière fonction; (x) et y(æ) devront être choisies de manière que l'on ait, pour r — 1,

Dans le cas particulier où la base de la surface cylindrique se réduit au cercle représenté par l'équation (11) HN Et les formules (5), (6) donnent

{ a — COSp, 6 —sinp, (12) | ju u—erv-1, Pr PNEE Alors p, r se trouvent liées à x, y par les formules

Le æ = r COSP, y =rsinp

et deviennent des coordonnées polaires. Alors aussi on peut satisfaire à la condition (10), en prenant pour o(u) et y(e) deux fonctions telles

que, pour un module de r inférieur ou tout au plus égal à l'unité, o(r) et y(r) soient développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de r. En effet, supposons

o(r)= a+ ar + ar +..., (14)

At bir+b:r?+...s les formules (7) et (10), jointes aux formules (12), donneront

| D—=A+AUr + AU Tr +...

+b,er+b,r?r?+..., ou, ce qui revient au même,

et rep V-1 + de rePV—1 +...

+a yre PVt+a ,rte-2PVT +...

(17) W(p) = ZanerrV-1,

la somme indiquée par le signe Z s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives de n, et les coefficients

A4; 2 À; se confondant avec ceux que nous avons représentés par b;, b», b;,

. dans la seconde des formules (14). D'ailleurs on tirera immédiatement de la formule (17)

27% I NTI (18) = fe") ap et, par suite, 27% (19) YOP)= De Bern [ep V 4 (p) dp,

tandis que la formule (16) donnera

(20) BJ O)ap,

p étant distinet de p, et la valeur de @ étant déterminée par la for-

mule O—1+227r"cosn(p — D),

dans laquelle le signe È s’étendra seulement aux valeurs entières et positives de ». Enfin, comme la somme réelle

L+ J'COSD + 1? COS2D +...

se réduit à la partie réelle de la somme imaginaire

Es is I 1+ rer net = ——— >) 1 — r'ePV-1 c’est-à-dire à I— r COSp 1— 27 COSP + r?

on trouvera

) ar it

et par suite l'équation (20) donnera

J Lee Ÿ € ee < Bus A)

(22 FR 9 1—2/rCOS(p —p) + a (p) ap.

Or, en désignant par « un nombre infiniment petit et posant TI — 6,

on réduira le second membre de la formule (22) à une intégrale singulière dont la valeur sera précisément L(p). Donc la formule (19) subsistera toujours, quelle que soit la fonction L(p); ou, en d’autres termes, la valeur de & déterminée par l'équation (22) se réduira toujours à Ÿ(p) pour r — 1, et, comme cette même valeur de 5, ne différant pas de celle que fournit l’équation (15) jointe à la formule

FR = en PT 4 (p) dp,

vérificra certainement l'équation (1), nous devons conclure qu'elle OEuvres de C.—S.1,1. VII. 3)

remplira toutes les conditions requises dans le cas particulier où la base de la surface cylindrique sera le cercle représenté par la formule (11).

Pour s'assurer directement que la valeur de w, déterminée par la formule (20) ou (22), vérifie l'équation (1), il suffit de prouver que, dans l'intégrale que cette formule renferme, la fonction sous le signe f est la somme de deux autres qui dépendent, la première du produit ur, la seconde du produit er. Or effectivement, si l’on nomme

ce que deviennent

quand on remplace p par p, on trouvera

SE Fo NOT ME 1— 27 COS(p p+rz(i DIE ar).

et par suite la formule (21) donnera

= (1 —r?)uu F 1 je r à 7 (u—ur)(u—ur) \u—ur u—ur D'autre part, on aura (23) Met,

/ I par conséquent u — =: Donc on trouvera encore

Or, cette valeur de @ se composant de deux parties, dont l’une est fonction de ur, l’autre fonction de er, il en résulte immédiatement que la valeur de 5, déterminée par la formule (20), est de la forme

QCur) + Y(wr).

Si, pour plus de commodité, on nomme U ce que devient la valeur

de u tirée de l'équation (23) quand on y remplace + par er, on aura (25) U= —; et la formule (24) sera réduite à

I I O — + 1; ur | f SE

Par suite, l'équation (20) donnera

27H I I I (26) D — ( 4 gx) #n) db,

2T Jo Ur ou, ce qui revient au même, eu égard à léquation identique —— D, u,

or.