C.R., T. XVI, p. 572 (13 mars

A l’aide des principes exposés dans un de mes précédents Mémoires (voir la séance du 18 juillet dernier), on peut généralement intégrer par série une équation aux différences partielles de l’ordre #2, entre une inconnue 5 et plusieurs variables indépendantes æ, y, 3, ..., 4, lorsque l’inconnue & doit non seulement vérifier l'équation donnée, quel que soit /, mais encore se réduire, avec ses dérivées relatives à 4, et d’un ordre inférieur à », à des fonctions données de æ, y, =, ..., pour une certaine valeur particulière + de la variable #. Je montre, dans le premier paragraphe du présent Mémoire, comment on doit opérer, lorsque les conditions particulières auxquelles l'inconnue se trouve assujettie se rapportent, non plus à une certaine valeur 7 de la variable {, mais à certains systèmes de valeurs des variables æ, y, 3, ...,

par exemple, à ceux qui vérifient une certaine équation de forme déterminée. Alors il devient utile de recourir à un changement de variables indépendantes. Si d’ailleurs la question, qui exige l'intégration de l’équation proposée aux dérivées partielles, est un problème de Mécanique rationnelle ou de Physique mathématique, alors, avant d'affirmer que cette question est résolue par l'intégrale exprimée à l’aide des nouvelles variables indépendantes, on devra soigneusement examiner cette intégrale. Ainsi, en particulier, si les nouvelles variables indépendantes sont des coordonnées curvilignes d’un point mobile, et si l’inconnue doit varier par degrés insensibles avec la position de ce point, on devra s'assurer que l'intégrale obtenue reprend la même valeur pour les divers systèmes de valeurs des coordonnées qui peuvent correspondre à un même point.

Le deuxième paragraphe du Mémoire est relatif à une transformation remarquable des équations homogènes et de quelques autres.

Le troisième paragraphe se rapporte à l'intégration des équations homogènes du second ordre, spécialement de celle qui représente l’équilibre des températures dans un corps solide, et à des intégrales particulières de cette équation qui sont exprimées en termes finis.

ANALYSE

SI. — De l'intégration des équations aux dérivées partielles

sous des conditions données.

Considérons une équation aux dérivées partielles de l’ordre #2, entre une inconnue 5 et plusieurs variables indépendantes æ, y, z, ..., 4. Supposons encore que cette équation renferme la dérivée

D’'& et puisse être ramenée à la forme (1) rm=Kk,

K désignant une fonction déterminée des variables indépendantes, de linconnue % et de ses dérivées d’un ordre égal ou inférieur à ». Enfin

supposons que, pour une certaine valeur de la variable 4, l’inconnue 5 et ses dérivées relatives à 4, mais d’un ordre inférieur à », doivent se réduire à des fonctions données de æ, y, z, .... On pourra développer, par le théorème de Taylor, la valeur de l’inconnue & en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de 4 — +, et l’on conclura des principes établis dans un précédent Mémoire (voir Extrait n° 171), non seulement que la série obtenue sera convergente quand le module de la différence z — 7 ne dépassera pas une certaine limite, mais encore que la somme de cette série convergente représentera l’intégrale cherchée

Concevons maintenant que l'équation donnée renferme seulement trois variables indépendantes

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qui pourront être censées représenter trois coordonnées rectangulaires. Supposons encore que l’inconnue 5 de cette équation se trouve assujettie à vérifier certaines conditions relatives, non plus à une valeur particulière de l’une des variables indépendantes, mais à certains points situés sur une surface courbe et fermée, représentée par une équation de la forme